2025届高中数学二轮复习 板块三 数列 微专题20　数列求和的常用方法（课件+练习）

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近几年高考，数列求和常出现在解答题的第(2)问，主要考查通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和，难度中档．
(2024·全国甲卷)设Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4.(1)求{an}的通项公式；
因为4Sn＝3an＋4①，所以当n≥2时，4Sn－1＝3an－1＋4②.则当n≥2时，①－②得4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1.当n＝1时，由4Sn＝3an＋4得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0，所以数列{an}是以4为首项，－3为公比的等比数列，所以an＝4×(－3)n－1.
(2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
因为bn＝(－1)n－1nan＝(－1)n－1n×4×(－3)n－1＝4n·3n－1，所以Tn＝4×30＋8×31＋12×32＋…＋4n·3n－1，所以3Tn＝4×31＋8×32＋12×33＋…＋4n·3n， 两式相减得－2Tn＝4＋4(31＋32＋…＋3n－1)－4n·3n
热点一　分组求和与并项求和
热点二　裂项相消法求和
热点三　错位相减法求和
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，a2＝4，且Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝2.(1)证明：数列{an}是等差数列，并求{an}的通项公式；
由Sn＋2－2Sn＋1＋Sn＝2得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝2，∴an＋2－an＋1＝2，又a2－a1＝4－2＝2，∴数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴an＝2n.
(2)若等比数列{bn}满足b1＝1，b2＋b3＝0，求数列{an·bn}的前2n项和T2n.
设等比数列{bn}的公比为q，q≠0，则b2＋b3＝q＋q2＝0，∴q＝－1，∴bn＝(－1)n－1，∴an·bn＝2n·(－1)n－1，∴T2n＝2－4＋6－8＋…＋2(2n－1)·(－1)2n－2＋2(2n)·(－1)2n－1＝(2－4)＋(6－8)＋…＋[2(2n－1)·(－1)2n－2＋2(2n)·(－1)2n－1]＝－2＋(－2)＋…＋(－2)＝－2n.
分组求和的基本思路是把各项中结构相同的部分归为同一组，转化为若干个可求和的数列的和或差，然后再求和.
已知数列{an}的前n项和为Sn，an>0，且满足(an＋2)2＝4Sn＋4n＋1，n∈N＋.(1)求a1及通项公式an；
(2)若bn＝(－1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
(2024·东北三省三校模拟)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差为d，记{an}的前n项和为Sn，S4－2a2a3＋14＝0.(1)求数列{an}的通项公式；
由题意可得，S4－2a2a3＋14＝4a1＋6d－2(a1＋d)(a1＋2d)＋14＝4＋6d－2(1＋d)(1＋2d)＋14＝0，整理得d2＝4，则d＝±2，可得an＝1＋2(n－1)＝2n－1或an＝1－2(n－1)＝－2n＋3，故an＝2n－1或an＝－2n＋3.
裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.
(2024·西安二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6＝7，S6＝27.(1)求数列{an}的通项公式；
如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和Sn时，可采用错位相减法.用其求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)在写“Sn”和“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn－qSn”的表达式.
用错位相减法求和时，应注意：(1)等比数列的公比为负数的情形；(2)作差后所得等比数列的项数；(3)最后一项的符号.
因为an＋1＋n＋1＝2an＋n－1＋n＋1＝2an＋2n＝2(an＋n)，又因为a1＋1＝2≠0，所以{an＋n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋n＝2n，所以an＝2n－n.
(2)求数列{anbn}的前n项和Sn.
1.(2024·昆明诊断)已知数列{3×2nan}的前n项和Sn＝4n＋1－4.(1)求数列{an}的通项公式；
令cn＝3×2nan.当n＝1时，c1＝S1＝12；当n≥2时，cn＝Sn－Sn－1＝4n＋1－4n＝3×4n.因为c1＝12＝3×41，所以cn＝3×4n，所以3×2nan＝3×4n，解得an＝2n，
4.(2024·广州调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝2n＋1，数列{bn}为等比数列，且a2＋b2＝9，S10＋b3＝128.(1)求数列{bn}的通项公式；