2025届高中数学二轮复习 微专题3　抽象函数与嵌套函数（课件+练习）

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1.以选择题、填空题的形式考查抽象函数性质的应用，难度中档偏上；2.以选择题、填空题的形式考查嵌套函数零点的个数或由零点的个数求参数等，难度中档或偏上.
1.(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1]C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3]
因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].故选D.
法二(构造函数法)　令f(x)＝1－sin πx，
则g(x)＝f′(x)＝－πcs πx，g(x＋2)＝－πcs(2π＋πx)＝－πcs πx，满足题设条件，可得只有选项B，C正确.
3.(多选)(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则A.f(0)＝0B.f(1)＝0C.f(x)是偶函数D.x＝0为f(x)的极小值点
取x＝y＝0，则f(0)＝0＋0＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0；取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)＝0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确.综上，选ABC.
由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，可得g(2＋x)＝g(2－x).在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，可得f(－x)＝f(x).在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5中，得f(x)＋f(－x－2)＝－2，可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.
由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，又f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝－2，f(－1)＋f(1)＝－2，得f(2)＝－3，f(1)＝f(－1)＝－1，又f(3)＝f(－1)＝－1，f(4)＝f(0)＝1，
研究抽象函数性质的方法(1)用赋值法研究抽象函数.(2)利用数形结合法研究抽象函数.(3)利用函数性质之间的关系推理论证研究抽象函数.
设定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(1)＝________；f(2 025)＝________.
令x＝y＝0，得f(1)＝f(0)f(0)－f(0)＋2＝1－1＋2＝2.令y＝1，则f(x＋1)＝2f(x)－2－x＋2＝2f(x)－x，即f(x＋1)＝2f(x)－x.①又f(yx＋1)＝f(y)f(x)－f(x)－y＋2，令y＝1代入，得f(x＋1)＝2f(x)－f(x)－1＋2，即f(x＋1)＝f(x)＋1.②联立①②得f(x)＝x＋1，所以f(1)＝2，f(2 025)＝2 026.
考向1　赋值法研究抽象函数
由题意，定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，则f(x)为R上的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，又函数g(x)满足g(1－x)＝g(1＋x)，则函数g(x)关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增，
考向2　数形结合法研究抽象函数
对于A，函数f(x)的定义域为R，且f(0)＝－2，则f(x)不会是奇函数，A错误；
考向3　利用函数性质之间的关系推理论证
则有f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，B正确；
1.求函数在特定点的函数值、最值以及解析式，或判断函数的单调性、奇偶性及周期性，往往在条件等式中对变量赋予一些具体的值，构造出所需要的条件，其中赋予的具体的值常常起到桥梁的作用.2.数形结合可通过画图使抽象函数形象化，根据奇偶性、周期性等性质画出示意图，摘取有效信息，结合图象解题.3.函数的对称轴、对称中心及周期性，三者已知其中两个，可推出另外一个.
对于A，令a＝b＝0，则f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；对于B，令a＝b＝1，则f(1)＝1f(1)＋1f(1)＝2f(1)，则f(1)＝0，故B正确；对于C，令a＝b＝－1，则f(1)＝－f(－1)－f(－1)＝－2f(－1)，所以f(－1)＝0，又令a＝－1，b＝x，则f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故C错误；
(2)(多选)(2024·烟台调研)已知定义域为R的函数f(x)在(－1，0]上单调递增，f(1＋x)＝f(1－x)，且图象关于(2，0)对称，则关于f(x)的说法正确的是A.f(0)＝f(2)B.f(0)＝f(－2)C.周期T＝2D.在(2，3)上单调递减
由f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)的对称轴为x＝1，所以f(0)＝f(2)，A正确；又由f(1＋x)＝f(1－x)知f(2＋x)＝f(－x)，因为f(x)的图象关于(2，0)对称，则f(2＋x)＝－f(2－x)，故f(4＋x)＝－f(－x)，所以－f(2＋x)＝f(4＋x)，即－f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)的周期为4，所以f(－2)＝f(2)，
又f(0)＝f(2)，所以f(0)＝f(－2)，故B正确，C错误；因为f(x)在(－1，0]上单调递增，且T＝4，所以f(x)在(3，4]上单调递增，又图象关于(2，0)对称，所以f(x)在(0，1]上单调递增，因为f(x)关于x＝1对称，所以f(x)在(1，2]上单调递减，又因为关于(2，0)对称，可得f(x)在(2，3)单调递减，故D正确.
嵌套函数的零点问题主要涉及判断函数零点的个数或范围，常考查二次函数与复合函数相关零点，与函数的图象性质交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
又x