2025届高中数学二轮复习 微专题7　导数与不等式的证明（课件+练习）

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导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、不等式及其性质等.
(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.(1)讨论f(x)的单调性；
f′(x)＝aex－1，x∈R.当a≤0时，f′(x)0时，令f′(x)>0，得x>－ln a；令f′(x)0时，函数f(x)＝a(ex＋a)－x的最小值为f(－ln a)＝a(e－ln a＋a)＋ln a＝1＋a2＋ln a.
已知函数f(x)＝ex＋exln x(其中e是自然对数的底数).求证：f(x)≥ex2.
利用导数证明不等式问题的基本方法(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数.
(2024·长春调研)设函数f(x)＝ex－1，其中e为自然对数的底数.求证：(1)当x>0时，f(x)>x；
令g(x)＝f(x)－x＝ex－1－x，则g′(x)＝ex－1，当x>0时，g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，故当x>0时，g(x)>g(0)＝0，即当x>0时，f(x)>x成立.
(2)ex－2>ln x.
由(1)可得当x>0时，ex>1＋x.要证ex－2>ln x，可证ex－2>x－1≥ln x，即证x－1－ln x≥0.
3.(2024·全国甲卷)已知函数f(x)＝a(x－1)－ln x＋1.(1)求f(x)的单调区间；
(2)当a≤2时，证明：当x>1时，f(x)1时，ex－1－f(x)＝ex－1－a(x－1)＋ln x－1≥ex－1－2x＋ln x＋1.令g(x)＝ex－1－2x＋ln x＋1，则只需证当x>1时g(x)>0.
法二　设g(x)＝a(x－1)－ln x＋1－ex－1，只需证当x>1时g(x)0得，x∈(0，a)，则f(x)在(0，a)上单调递增；由f′(x)f(1)＝0，不合题意.综上所述，a＝1.