（寒假）2024-2025学年高二数学寒假提升讲义+随堂检测 第07课 单调性问题（2份，原卷版+教师版）

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知识点一：单调性基础问题
1、函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．
2、已知函数的单调性问题
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．
知识点二：讨论单调区间问题
类型一：不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；
求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；
类型二：含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；
（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；
（5）导数图像定区间；
【解题方法总结】
1、求可导函数单调区间的一般步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；
（3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；
（4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性．
注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数．
②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论：
单调递增；单调递增；
单调递减；单调递减．
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
例1.（多选）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是
A．函数的增区间是
B．函数的增区间是
C．是函数的极小值点
D．是函数的极小值点
变式1.已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中可能是图象的是（ ）
A． B． C． D．
变式2.已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）．
题型二：求单调区间
例2.函数的单调递增区间为（ ）
A．B．C．D．
变式3.函数的单调递增区间（ ）
A．B．C．D．
变式4.函数（a、b为正数）的严格减区间是（ ）．
A．B．与
C．与D．
【解题方法总结】
求函数的单调区间的步骤如下：
（1）求的定义域
（2）求出．
（3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线．
（4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开．
题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围
例3.若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．m>1
变式5.若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式6.已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
变式7.若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
变式8.已知函数（）在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解题方法总结】
（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等．
（2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围．
（3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解．
题型四：不含参数单调性讨论
例4.已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论在上的单调性．
例5.已知函数，.
(1)若，求a的取值范围；
(2)求函数在上的单调性；
【解题方法总结】
确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
题型五：含参数单调性讨论
情形一：函数为一次函数
例6.已知函数．讨论的单调性；
变式9.已知函数.讨论函数的单调性；
情形二：函数为准一次函数
变式10.已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)设，讨论函数的单调性；
情形三：函数为二次函数型
方向1、可因式分解
变式11.已知函数.讨论函数的单调性；
【解题方法总结】
1、关于含参函数单调性的讨论问题，要根据导函数的情况来作出选择，通过对新函数零点个数的讨论，从而得到原函数对应导数的正负，最终判断原函数的增减．（注意定义域的间断情况）．
2、需要求二阶导的题目，往往通过二阶导的正负来判断一阶导函数的单调性，结合一阶导函数端点处的函数值或零点可判断一阶导函数正负区间段．
3、利用草稿图像辅助说明．
情形四：函数为准二次函数型
变式12.已知.讨论函数的单调性；
单调性问题 随堂检测
1.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A． B． C． D．
2.函数（ ）
A．严格增函数
B．在上是严格增函数，在上是严格减函数
C．严格减函数
D．在上是严格减函数，在上是严格增函数
3.若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4.三次函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5.已知函数.若对任意，，且，都有，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7.已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数的单调递减区间是，则（ ）
A．3B．C．2D．
9.已知函数，其中.讨论函数的单调性；