湖北省部分市州2025年元月高三期末联考数学试卷(含答案)

这是一份湖北省部分市州2025年元月高三期末联考数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知命题，命题，则命题p是命题q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．已知单位向量a，b满足，则a与b的夹角为( )
A.B.C.D.
3．若复数是纯虚数，则的值可以为( )
A.B.C.D.
4．若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是( )
A.B.C.D.
5．函数在处的切线与直线垂直，则( )
A.B.C.D.
6．已知抛物线，O为坐标原点，M是抛物线上任意一点，F为焦点，且，则直线的斜率的最大值为( )
A.B.1C.D.2
7．正方体的棱长为3，平面内一动点Q满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为( )
A.B.C.D.
8．已知，对恒成立，则的最小值为( )
A.4B.6C.D.
二、多项选择题
9．下列说法中正确的是( )
A.回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点
B.用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好
C.将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大
D.基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过
10．如图所示，已知角，的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为A，B，M为线段的中点，射线与单位圆交于点C，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.点M的坐标为
11．直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线）.直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.已知直线族，则下列说法正确的是( )
A.若，，则该直线族的包络曲线为圆
B.若，.则该直线族的包络曲线为椭圆
C.当，时，点可能在直线族上
D.当时，曲线是直线族的包络曲线
三、填空题
12．等比数列的前n项和为，且，，则________.
13．若A，B为曲线上任意两点，则A，B两点间距离的最大值为________.
14．已知，若不等式恒成立，则的最大值为________.
四、解答题
15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求A；
（2）若，，求的周长.
16．已知函数.
（1）时，求的极值；
（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围.
17．如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以P为顶点的等腰直角三角形，O为的中点，Q为的中点，.
（1）证明：；
（2）过B，Q两点的平面与直线，分别交于点M，N，且平面，求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知椭圆的左，右焦点为，，点P是椭圆上任意一点，的最小值是.
（1）求椭圆M的方程；
（2）设A，B为椭圆的上，下顶点，C，D为椭圆上异于A，B的两点，记直线，的斜率分别为，，且.
（i）证明：直线过定点S；
（ii）设直线与直线交于点Q，直线的斜率为，试探究，，满足的关系式.
19．某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该活动立刻结束；若不选择这件产品，则看下一件产品，以此类推.整个过程参与者只能继续前进，不能返回，直至结束.同学甲认为最好的一定留在最后，决定始终选择最后一件，设他取到最大价值产品的概率为；同学乙采用了如下策略：不取前件产品，自第件开始，只要发现比他前面见过的每一个产品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最后一件，设他取到最大价值产品的概率为.
（1）若，，求和；
（2）若价值最大的产品是第件，求；
（3）当n趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时k的值.（取）
参考答案
1．答案：A
解析：由得，由得，所以命题p是命题q的充分不必要条件，故选A.
2．答案：C
解析：单位向量a，b满足，
设a与b的夹角为，,
,
求得，故，
故选：C.
3．答案：C
解析：由题意得，所以，
即，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故选C.
4．答案：D
解析：由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列，则，即，则．故选：D.
5．答案：B
解析：函数，求导得
在处的切线斜率为
又在处的切线与直线垂直，
所以，解得.
故选：B.
6．答案：B
解析：已知抛物线，焦点为，
点M为抛物线上任意一点，且.
设，则由抛物线定义，.根据向量关系，
可得.直线的斜率为.
将代入，得到.
利用基本不等式，，则.
当时，.
由于M为抛物线上任意一点，因此的最大值为1.
故选B.
7．答案：C
解析：（法一）平面内，以，为x，y轴建系，
则，，
设，则由，化简可得.
Q在平面上以为圆心，2为半径的圆上，当Q到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，此时，设此时锥体的外接球半径为R，可补体为长方体，则有，
（法二）平面内，，延长至M，使得，延长至，使得，由阿氏圆的性质可知，Q在以M为圆心，2为半径的圆上，则Q在时，三棱锥的体积最大，设此时锥体的外接球半径为R，则有（或同法一，补体为长方体）.
（法二）平面内，，延长至M，使得，延长至，使得，由阿氏圆的性质可知，Q在以M为圆心，2为半径的圆上，则Q在时，三棱锥的体积最大，设此时锥体的外接球半径为R，则有（或同法一，补体为长方体）.
8．答案：B
解析：分析得与有相同的零点1和7，
易知，且1和7是方程的两根，所以，
所以，，所以，取等，选B.
9．答案：BD
解析：回归直线恒过样本中心点，但不一定过一个样本点，故A错误；
用相关指数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好，故B正确；
将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，故C错误；
基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过，故D正确.
故选BD.
10．答案：ACD
解析：A.因为点M是的中点，且，
所以，故A正确；
B.有条件可知，,，
所以，故B错误；
C.，故C正确；
所以点M的坐标为，故D正确.
故选：ACD.
11．答案：ABD
解析：在处的切线方程为，所以A正确；
椭圆在处的切线方程为，B正确；
将代入得，
构造，，易知在无零点，C错误；
若不在直线族上，代入直线得，
，所以，联立和得，
所以，所以直线和相切，又不包括直线，所以是直线族的包络曲线，D正确.
12．答案：28
解析：设等比数列的公比为q，
由条件可知，,所以，，
所以.
故答案为：28
13．答案：
解析：当，时，曲线为在第一象限的部分，即，且图像关于x轴，y轴，坐标原点均对称．则A，B距离的最大值为直径的2倍，为.
14．答案：
解析：方法一：
，不等式恒成立
令，则
则在上单调递增，在上单调递减，．
且，，，
，，令，
则在上单调递增，在上单调递减，
，
方法二：，不等式恒成立.
即，
令，，，
在上恒成立．
令，则在上单调递增，在上单调递减，
，当时，；当时，；
令，则在上单调递增，在上单调递减，
，
15．
答案：（1）；
（2）
解析：（1）由正弦定理得
，，，，
，又，
，
，又，所以，
（2）由正弦定理及二倍角公式得，
，又，，
，
由正弦定理，，，
周长.
16．答案：（1）有极大值，无极小值；
（2）
解析：（1）时，，.
令，所以，
当，，当，；
所以时，有极大值，无极小值
（2）方法一：由题意可知，所以
由（1）知，取等号，
所以只需，取等号
下面证明时，不等式成立，
要证，即需证明成立.
令，，
当时，，当时，，
所以，所以不等式成立，
所以时，成立
方法二：由题意，
易知时，，所以
下面证明时，不等式成立，
要证，即需证明成立.
令，
当时，，
当时，，所以，
所以不等式成立，
所以时，成立.
方法三：依题意，恒成立
令，则，
当时，，，，单调递减；
当时，，，，单调递增；
，.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1），O为中点，，
在中，
又，即，
，平面，
平面，.
（2）取中点H，则，由（1）可知，平面，
，
以O为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，，，
设平面法向量为，
，
平面，面，面面
，，，
设平面法向量为，，，
，，，
平面与平面夹角的余弦值为.
18．答案：（1）；
（2）（i）证明见解析；（ii）
解析：（1）
，，
椭圆M的方程为.
（2）（i）若直线斜率不存在，则，不符合题意；
当直线斜率存在时，设直线，，，，
联立直线和椭圆方程，
韦达定理可得：且
方法一：
令直线斜率为，则，
又，，
即，，
，
，
，
展开可得：，，或，
若，直线恒过，不合题意，舍去；
若，直线恒过，直线恒过定点.
方法二：，，
，
，
，
又所以，直线恒过定点.
（ii）由（i）可知，直线，直线，
，，
即Q点在直线上，令与y轴的交点为，
则；；，
显然，，同号，则有.
19．答案：（1），；
（2）；
（3）
解析：（1）；
依题意，4个产品的位置从第1个到第4个排序，有种情况，同学B要取到最贵价值产品，有以下两种情况：
最贵价值产品是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况；
最贵价值产品是第4个，第二贵价值产品是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有种情况，所以所求概率.
（2）法一：若考虑全部产品排序，价值最大的产品是第件，共有种排法，先从件产品中挑件产品出来，其中价值最大的产品放在前k件，剩下的全排列，共种排法，剩下的件产品全排列，即
法二：若价值最大的产品是第件，则乙同学能取到该产品，只需要前件产品中价值最大的产品排在前k件，即.
（3）记事件A表示最贵价值产品被乙同学取到，
事件表示最贵价值产品排在第i个，则，
由全概率公式知：，
当时，最贵价值产品在前k个中，不会被取到，此时；
当时，最贵价值产品被取到，当且仅当前件产品中最贵的一个在前k个之中，此时，
因此，
令，求导得，由，得，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
则，于是当时，取得最大值，
所以的最大值为，此时k的值为.
3
4
5
6
7
P