2023-2024学年四川省省成都市高新区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年四川省省成都市高新区九年级上学期数学期末试题及答案，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 如图所示的几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案，本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握从左边看得到的图形是左视图是解题的关键．
【详解】解：从左边看得到的图形与A图相符，
故选：A．
2. 已知一元二次方程有一个根为1，则k的值为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．将代入方程即可求解．
【详解】解：将代入方程得：，
解得：
故选：B
3. 已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查比较反比例函数值的大小．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：
此函数在每个象限内，随的增大而减小，
点，都在反比例函数的图象上，且，
，
故选∶A．
4. 用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用配方法解答即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
即．
故选：C
5. 已知四边形是菱形，相交于点O，下列结论正确的是（ ）
A. B. 菱形的面积等于
C. 平分D. 若，则四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：如图所示：
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴
不一定成立，故A错误；
菱形的面积，
故B错误；
∵菱形的对角线平分一组对角，
∴平分，故C正确；
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴显然成立，
故D错误；
故选：C．
6. 如图，已知线段长为2，过点B作，使；连接，以点C为圆心，长为半径作弧，交线段于点D，再以点A为圆心，长为半径作弧，交线段于点E，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据已知易得，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
故选：B．
7. 不透明的盒子里装有分别标记了数字1，2，3，4，5，6的6个小球，这6个小球除了标记的数字不同之外无其他差别，小华进行某种重复摸球试验，从不透明的盒子中随机摸出一个小球，记录小球上的数字后放回袋中，如图是小华统计的试验结果，根据以上信息，小华进行的摸球试验可能是（ ）
A. 摸出标记数字为偶数的小球B. 摸出标记数字为5的小球
C. 摸出标记数字比2大的小球D. 摸出标记数字能被3整除的小球
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于0.33附近，所以估计此事件发生的概率为，再分别求出四个试验的概率即可得出答案．
【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定于0.33附近，所以估计此事件发生的概率约为，
A、摸出标记数字为偶数的小球的概率为，不符合题意；
B、摸出标记数字为5的小球的概率为，不符合题意；
C、摸出标记数字比2大的小球的概率为，不符合题意；
D、摸出标记数字能被3整除的小球的概率为，符合题意；
故选：D．
8. 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程．六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程．
【详解】解：设道路的宽为，根据题意得：，
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 已知，，则b的值为______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查比例的性质，把变形为，代入，即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
代入，得：，
解得，，
故答案为：1．
10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______．
【答案】####
【解析】
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可．
【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11. 如图，在中，，D为中点，若，则的度数为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线可，然后利用等腰三角形的性质可得，进而可得出结论．
【详解】 D为中点，
，
，
．
故答案为∶．
12. 以点为位似中心，将缩小后得到如图所示的，且．若，则线段的长为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形的性质得到，进而求解即可．
【详解】解：∵和是位似图形，点为位似中心，
∴，又，，
∴，
∴，
故答案为：4．
13. 已知某蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．如果某用电器以此蓄电池为电源，通过的电流是2A，那么此用电器的电阻是______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据图象上已知点的坐标求得对应反比例函数的解析式为，进而将代入解析式中求解即可．
【详解】解：由题意，设该反比例函数的解析式为，
由图象得，该反比例函数的图象经过点，则，
∴该反比例函数的解析式为，
当时，由得，
故答案为：6．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. 完成下列各题
（1）计算：；
（2）解方程：
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算以及解一元二次方程：
（1）先化简绝对值以及零指数幂、负整数指数幂，再运算加减法，即可作答．
（2）运用因式分解法进行解一元二次方程，令每个因式为0，即可作答．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：∵
∴，
则，．
15. 文化如水，润物无声，为了弘扬中国传统文化，某校开设了四类课程：A．诗歌；B．书法；C．剪纸；D．国学，要求每位学生都参加一门课程，为了解学生参与这四类课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次调查一共随机抽取了______名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有2000名学生，估计该校参加C类课程（剪纸）的学生人数；
（4）该校计划从参加D类课程（国学）学习组的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市级“经典传颂”比赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】（1）40 （2）见解析
（3）600人 （4）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体：
（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次调查一共随机抽取的学生人数．
（2）用此次调查一共随机抽取的学生人数分别减去条形统计图中A，C，D的人数，求出B的人数，补全条形统计图即可．
（3）根据用样本估计总体，用2000乘以样本中参加C类课程（剪纸）的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽中甲、乙两人的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：此次调查一共随机抽取了（名）学生．
故答案为：40．
【小问2详解】
解：参加B类课程的学生人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
【小问3详解】
解：（人）．
∴估计该校参加C类课程（剪纸）的学生人数约600人．
【小问4详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为．
16. 如图，某厂房外有一盏路灯，灯光能通过窗户照射到厂房内地面上，经过窗户最高点D的灯光落在地面F处，经过窗户最低点C的灯光落在地面E处，其中点在同一直线上、通过测量可得，窗户最低点C距地面的高米，窗户的高米，米，求路灯的高．
【答案】路灯的高为8米
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．根据题意可得，从而可得，然后证明字模型相似，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：由题意可知：，，
，
，，
设，
由，可得，
，
，，
，
解得：，
答：路灯的高为8米
17. 如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E作的垂线交边于点F，连接，延长交边于点G．
（1）求证：；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过点E作于M，于N，证明，得出；
（2）根据勾股定理求出，证明，得出，即，求出，根据勾股定理求出，即可求出．
【小问1详解】
证明：过点E作于M，于N，如图所示：
在正方形中，，平分，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：在正方形中，，，
在中， 由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中， 由勾股定理得：
，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定方法．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．

（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点P是x轴正半轴上一动点，过点P作x轴的垂线l，交一次函数的图象于点D，交反比例函数的图象于点E．
ⅰ)若，求线段的长；
ⅱ)将反比例函数的图象沿直线l翻折，翻折后的图象与一次函数的图象有两个交点M，N(点N的横坐标大于点M的横坐标)，连接，，若，求点P的坐标．
【答案】（1），
（2）ⅰ)或 ⅱ)点P的坐标为
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的综合问题，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质综合等知识，利用数形结合思想是解题的关键．
（1）将点代入一次函数和反比例函数的解析式即可求出a、k，从而得出反比例函数的表达式，令解出x即可得出点B的坐标；
（2）ⅰ)设点P的坐标为，，用m表示出点D、E的坐标，从而求出、，利用列方程求解出m，继而得解；
ⅱ)由求得，从而求出点N的坐标，继而求出其关于直线l对称的对称点的坐标，代入反比例函数解析式可求出m，从而得解．
【小问1详解】
∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点
∴，解得：，
∴，反比例函数的表达式为，
∵令得：，
∴；
【小问2详解】
ⅰ)设点P的坐标为，，
∵过点P作x轴的垂线l交一次函数的图象于点D，交反比例函数的图象于点E，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴或，
∴解得：，，，
∵，
∴或2，
∴或；
ⅱ)∵，
∴
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
过点A作，垂足为H，过点N作轴，垂足为G，则，
∵，
∴，
∴，
∵，垂足为H，，
∴，，
∴，，
∴
设点N关于直线l的对称点为，
∴，
∵将反比例函数的图象沿直线l翻折，翻折后的图象与一次函数的图象有两个交点M，N，
∴在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴点P的坐标为．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解决问题的关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
则，
故答案为：6．
20. 一个不透明袋子中有若干个完全相同的小球，从袋子里随机摸出30个小球，作下记号后放回袋中，摇匀后再随机摸出40个球，其中有5个是带记号的小球，则估计这个袋子中共有小球______个．
【答案】240
【解析】
【分析】此题主要考查了利用频率估计随机事件概率，根据已知得出带记号的小球在总数中所占比例与试验比例相等是解决问题的关键．设袋子中共有小球x个，利用带记号的小球在总数中所占比例得出与试验比例相等求出即可．
【详解】解：∵摇匀后随机摸出40个球，其中有5个是带记号的小球，
∴从袋子中任意摸出1个球，是带记号的小球的概率约为，
设袋子中共有小球x个，依题意，得
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：240．
21. 如图，反比例函数的图象经过A、两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点C，D，过点B分别作x轴，y轴的垂线，垂足为点E、F、若四边形和四边形不重合部分的面积和为6，则点A的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】由的坐标求出反比例函数的解析式，设，根据题意得，求解进而求出答案；
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形面积求法等知识，正确利用数形结合是解题关键．
【详解】由题意可知，将其代入
得：
解得：
反比例函数的解析式为
设,
四边形和四边形不重合部分的面积和为6，
，
解得，
∴点的坐标为
故答案为：．
22. 某工件横截面如图1所示，已知，，．现将一根宽为2cm的直尺分别按图2及图3的方式摆放（图3中，直尺恰好卡在AD之间），测得，，则该工件的内径长为______．

【答案】
【解析】
【分析】设直尺与的交点为F，过点D作于点H，先证明四边形是平行四边形，得到的长及，根据勾股定理求得的长，进一步得到，的长，再证明，求出的长，以及证明是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一性质得到的长，即得答案．
【详解】解：设直尺与的交点为F，过点D作于点H，
则由已知得，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
在中，，
，，
，
，
又，
，
，
，
解得，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
23. 如图，在菱形中，，，点P是边上一动点，将线段绕点P顺时针旋转得到线段（点B的对应点为点M），当点A与点M的距离最小时，的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形中的旋转问题，以A为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，分两种情况讨论，过B作于G，设交延长线于H，设，则，由，可得，，根据将线段绕点P顺时针旋转得到线段（点B的对应点为点M），知，，，，可证，故，，得，从而，即可得当时，取最小值，此时，有，可得．
【详解】解：以A为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，过B作于G，设交延长线于H，当点在点的左侧时，如图：
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∵将线段绕点P顺时针旋转得到线段（点B的对应点为点M），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，取最小值，此时，
∴，
∴；
当点在点的右侧时，如图：
同理可得，
故答案为：．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 某文具店购进A，B两种型号的笔袋，两次购进笔袋的情况如表：
（1）求A，B两种型号的笔袋进价各是多少元？
（2）在销售过程中，为了增大A型笔袋的销售量，超市决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市将每个A型笔袋降价多少元时，每天售出A型笔袋的利润为240元？
【答案】（1）A种型号笔袋进价是30元，乙种型号的笔袋进价是20元．
（2）设超市应将A型笔袋降价2或4元时，使得超市每天销售A型笔袋的利润为240元．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设、两种型号的笔袋进价各是、元，根据题意列出方程组即可完成；
（2）设型笔袋降价元时，每天售出型笔袋的利润为240元，可得关于的一元二次方程，即可求的结果．
【小问1详解】
解：设种型号的笔袋进价是元，乙种型号的笔袋进价是元，
由题意可知：，解得，
答：A种型号的笔袋进价是30元，乙种型号的笔袋进价是20元．
【小问2详解】
解：设超市应将型笔袋降价元，
由题意可知：，
整理的：，
，
解得，
答：设超市应将A型笔袋降价2或4元时，使得超市每天销售A型笔袋的利润为240元．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，点C在x轴正半轴上，且，在直线上取点D，使．

（1）求点D的坐标；
（2）点M在射线上，过点M作直线的垂线，垂足为N，设点M的横坐标为a，线段的长度为d，求d与a之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，在线段上取点E，使．点F在坐标平面内，是否存在以M、N、E、F为顶点的四边形是以为边的菱形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，点E的坐标为或
【解析】
【分析】（1）分别求出A，B，C的坐标，根据推出点D在线段AC的垂直平分线上，即可求解；
（2）求出直线的函数解析式可得，过点M作交直线CD于G，证即可求解；
（3）分类讨论①当四边形是菱形且时②当四边形是菱形且时，两种情况即可求解.
【小问1详解】
解：∵直线分别交于x轴，y轴于A，B两点
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴点D在线段的垂直平分线上，
∴点D横坐标为1
∵点D在直线上，
∴
【小问2详解】
解：设直线的函数解析式，
则，
解得，
∴
∵点M在直线上且横坐标为a，
∴
过点M作轴交直线CD于G，
则，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∴，
∴
∵，，
∴，，，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
即：
【小问3详解】
解：①当四边形是菱形且时，如图
过点M作x轴的平行线交过点E平行于y轴的直线于Q，点D作轴于H
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，，
∴，
∴
由（2）可知，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
②当四边形是菱形且时，如图
∵四边形是菱形
∴，，
∴
过点A作于G，则
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴
∴，
∴
∴综上所述，点E的坐标为或
【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了一次函数解析式的求解，相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊四边形的存在性问题等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的函数和几何基础 ．
26. 在矩形中，点P为边上一点，将沿直线翻折，使点B落在矩形内的点E处，直线与边交于点F．
（1）如图1，当点P中点时，求证：；
（2）如图2，若，，，求线段的长；
（3）若直线与的延长线交于点Q，，，当时，求的值（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由翻折可知，，由点P为的中点，可知．，得，结合，可知，进而可证得结论；
（2）过点E作于点H，交于K，则，先证为等腰直角三角形，进而可知也是等腰直角三角形，得，设，由翻折可得，可知，．根据勾股定理得，即，可求得，，进而求得，再证，得进而求出即可求得答案；
（3）如图，连接，分别过B，Q作于点M，交延长线于点N，则，结合题意易知，则，即，可证得，可知四边形为平行四边形，得，则，由翻折可得垂直平分BE，得，证得，可知，易证，得，由勾股定理得．，由等面积，过F作于点G，证，，由相似三角形得性质可知，，即可求得．
【小问1详解】
证明：如图，
∵将沿直线翻折得到，
∴，．
∵点P为的中点，
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
【小问2详解】
解：过点E作于点H，交于K，则，
∵，，
∴．
又∵，
∴为等腰直角三角形．
∴，则也是等腰直角三角形，
∴，
在中，设，
由翻折可得，．
∴，．
在中，由勾股定理得，
即，解得．
∴，．
∴．
在和中，
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．
【小问3详解】
解：如图，连接，分别过B，Q作于点M，交延长线于点N，则，
根据题意得：，则．
∵，
∴，
∴，即．
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
∴．
∴．
由翻折可得垂直平分BE．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴．
∴．
在中，由勾股定理得．
∴，
过F作于点G，则，
∵，，
∴，．
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了矩形的相关知识，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理的计算等知识点．其中利用面积相等求线段或证明平行是解题关键．进货批次
A型笔袋（个）
B型笔袋（个）
总费用（元）
一
100
50
4000
二
50
100
3500