湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附答案）

这是一份湖南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（Word版附答案），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{y|y＝x2+1，x∈R}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．{1，2}
C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
2．（5分）已知角θ的终边经过点P（3，4），则sinθ+2csθ＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．（5分）命题p：“∀x∈[0，+∞），ex＞2x+3”的否定形式￢p为（ ）
A．∀x∉[0，+∞），ex≤2x+3B．∃x∈（﹣∞，0]，ex＞2x+3
C．∃x∉[0，+∞），ex＞2x+3D．∃x∈[0，+∞），ex≤2x+3
4．（5分）若f（x）＝x+2x+a的零点所在的区间为（﹣1，1），则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．若a＞b，则B．若a＜b＜0，则|a|＞|b|
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac＞bc，则a＞b
6．（5分）在△ABC中，csA＝且csB＝，则csC等于（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
7．（5分）函数f（x）＝3ax﹣2+5（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，点P又在幂函数g（x）的图象上，则g（﹣2）的值为（ ）
A．﹣8B．﹣9C．D．
8．（5分）已知正数x，y满足20x+21y＝xy，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
（多选）9．（5分）下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．
B．函数f（x）＝2x2+2x+3在[0，+∞）上单调递增
C．cs4α﹣sin4α＝cs2α
D．当ab≠0时恒有
（多选）10．（5分）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学（一个数学分支）里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数f（x），存在一个点x0，使得f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A．f（x）＝x+1B．，x＞0
C．f（x）＝x2﹣x+3D．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为4，其图象的一个最高点为，下列结论正确的是（ ）
A．y＝f（x）图象的一个对称中心为
B．y＝f（x）的图象关于x＝1对称
C．若|f（x1）﹣f（x2）|＝4，则|x1﹣x2|的最小值为2
D．将f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到h（x）图象；再将h（x）图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12．（5分）计算＝ ．
13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（lg21.5）＝ ．
14．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），且在[2021，2022]上是减函数，若A、B是钝角三角形的两个锐角，对（1），k为奇数；（2）f（csA）＜f（csB）；（3）f（sinA）＞f（sinB）；（4）f（sinA）＜f（csB）；（5）f（csA）＞f（sinB）．则以上结论中正确的有 ．（填入所有正确结论的序号）．
四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（10分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+4﹣a2的定义域是[﹣2，3]．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的值域；
（2）设p：a∈M，q：∀x∈[﹣2，2]，都有f（x）≤0，若p是q的充分不必要条件，写一个满足题意的集合M并说明理由．
16．（12分）已知函数f（x）是偶函数，且当x≥0时，f（x）＝lga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）．
（1）求当x＜0时的f（x）的解析式；
（2）在①f（x）在（1，4）上单调递增；②在区间（﹣1，1）上恒有f（x）≥x2这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
17．（12分）已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的单调递减区间；
（2）将f（x）的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数g（x），若，，求sinx0的值．
18．（12分）游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，远眺岳麓山，俯瞰橘子洲，饱览湘江风光．据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口（人口在摩天轮距地面的最低处）处等待，当座舱到达最低处P时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟．以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）试将游客甲离地面的距离h（t）（单位：米）表示为其坐上摩天轮的时间t（单位：分钟）的函数；
（2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分钟
时甲乙的离地面距离之差首次达到最大．
19．（12分）若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使得f（x1）f（x2）＝1成立，则称该函数为“依赖函数”．
（1）判断函数g（x）＝sinx是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）＝2x﹣1在定义域[m，n]（m＞0）上为“依赖函数”，求mn的取值范围；
（3）已知函数h（x）＝（x﹣a）2在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的t∈R，不等式h（x）≥﹣t2+（s﹣t）x+4都成立，求实数s的最大值．
2020-2021学年湖南师大附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{y|y＝x2+1，x∈R}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．{1，2}
C．{0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
解：∵集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
B＝{y|y＝x2+1，x∈R}＝{y|y≥1}，
∴A∩B＝{1，2}．
故选：B．
2．（5分）已知角θ的终边经过点P（3，4），则sinθ+2csθ＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
解：∵角θ的终边经过点P（3，4），∴sinθ＝＝，csθ＝＝，
则sinθ+2csθ＝2，
故选：A．
3．（5分）命题p：“∀x∈[0，+∞），ex＞2x+3”的否定形式￢p为（ ）
A．∀x∉[0，+∞），ex≤2x+3B．∃x∈（﹣∞，0]，ex＞2x+3
C．∃x∉[0，+∞），ex＞2x+3D．∃x∈[0，+∞），ex≤2x+3
解：全称命题p：“∀x∈[0，+∞），ex＞2x+3”，
它的否定是特称命题：“∃x∈[0，+∞），ex≤2x+3”．
故选：D．
4．（5分）若f（x）＝x+2x+a的零点所在的区间为（﹣1，1），则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
解：f（x）＝x+2x+a是增函数，
因为f（x）＝x+2x+a的零点所在的区间为（﹣1，1），
所以只需f（﹣1）•f（1）＜0，
即，解得．
故选：C．
5．（5分）下列说法中正确的是（ ）
A．若a＞b，则B．若a＜b＜0，则|a|＞|b|
C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若ac＞bc，则a＞b
解：取a＝2，b＝﹣1，满足a＞b，但＞，故A错误；
若a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞|b|，故B正确；
若a＞b，则当c2＝0时，ac2＝bc2＝0，故C错误；
若ac＞bc，当c＜0时，＜0，可得a＜b，故D错误．
故选：B．
6．（5分）在△ABC中，csA＝且csB＝，则csC等于（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
解：∵在△ABC中，A+B+C＝π，
∴C＝π﹣（A+B），又csA＝，csB＝，
∴sinA＝，sinB＝，
∴csC＝cs[π﹣（A+B）]＝﹣cs（A+B）＝﹣csAcsB+sinAsinB＝（﹣）•+•＝．
故选：B．
7．（5分）函数f（x）＝3ax﹣2+5（a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，点P又在幂函数g（x）的图象上，则g（﹣2）的值为（ ）
A．﹣8B．﹣9C．D．
解：∵f（x）＝3ax﹣2+5，令x﹣2＝0，得x＝2，
∴f（2）＝3a0+5＝8，
∴f（x）的图象恒过点P（2，8）．
设g（x）＝xα，把P（2，8）代入得2a＝8，
∴α＝3，∴g（x）＝x3，∴g（﹣2）＝（﹣2）3＝﹣8，
故选：A．
8．（5分）已知正数x，y满足20x+21y＝xy，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
解：由20x+21y＝xy得，
，
当且仅当且时，等号成立．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
（多选）9．（5分）下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．
B．函数f（x）＝2x2+2x+3在[0，+∞）上单调递增
C．cs4α﹣sin4α＝cs2α
D．当ab≠0时恒有
解：对于A：cs480°＝cs120°＝﹣，故A错误；
对于B：f（x）＝2x2+2x+3＝，则f（x）在[0，+∞）上单调递增，故B正确；
对于C：cs4α﹣sin4α＝cs2α﹣sin2α＝cs2α，故C正确；
对于D：当ab＞0时，恒有，故D错误；
故选：BC．
（多选）10．（5分）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学（一个数学分支）里一个非常重要的定理，简单的讲就是对于满足一定条件的图象为连续不断的函数f（x），存在一个点x0，使得f（x0）＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A．f（x）＝x+1B．，x＞0
C．f（x）＝x2﹣x+3D．
解：对于A：当x0+1＝x0时，该方程无解，故A不满足；
对于B：当，x0＞0时，解得，故B满足；
对于C：当时，无实数根，故C不满足；
对于D；画出与y＝x的图象显然有交点，即存在一个点x0，使得f（x0）＝x0，D满足；
综上，BD均满足．
故选：BD．
（多选）11．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为4，其图象的一个最高点为，下列结论正确的是（ ）
A．y＝f（x）图象的一个对称中心为
B．y＝f（x）的图象关于x＝1对称
C．若|f（x1）﹣f（x2）|＝4，则|x1﹣x2|的最小值为2
D．将f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到h（x）图象；再将h（x）图象向右平移个单位长度，得到函数的图象
解：由已知，，A＝2，，，k∈Z，
又0＜φ＜π，∴，∴．
对于A，令，则，k∈Z，
当k＝1时，，故函数图象的一个对称中心为，故A正确．
对于B，在f（x）中，令x＝1，，k∈Z，B错．
对于C，因为f（x）max＝2，f（x）min＝﹣2，又因为|f（x1）﹣f（x2）|＝4，所以|x1﹣x2|的最小值为半个周期，
即|x1﹣x2|的最小值为2，故C正确．
对于D，将f（x）图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得，再将h（x）图象向右平移个单位长度，得图象的解析式为，D正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12．（5分）计算＝ ．
解：＝＝tan（45°﹣15°）＝tan30°＝，
故答案为：．
13．（5分）已知函数f（x）＝，则f（lg21.5）＝ ．
解：因为0＜lg21.5＜1，
所以．
故答案为：．
14．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x），且在[2021，2022]上是减函数，若A、B是钝角三角形的两个锐角，对（1），k为奇数；（2）f（csA）＜f（csB）；（3）f（sinA）＞f（sinB）；（4）f（sinA）＜f（csB）；（5）f（csA）＞f（sinB）．则以上结论中正确的有 （1）（4）（5） ．（填入所有正确结论的序号）．
解：∵f（x+1）＝﹣f（x），令x＝得，又f（x）是偶函数，
则，
∴，
且f（x+2）＝﹣f（x+1）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），可得函数f（x）是周期为2的函数．
故，k为奇数．所以（1）正确．
∵A、B是钝角三角形的两个锐角，
∴，可得，
∵y＝sinx在区间上是增函数，，
∴，即钝角三角形的两个锐角A、B满足sinA＜csB，
由y＝csx在区间上是减函数得csA＞sinB，
∵函数f（x）是周期为2的函数且f（x）在[2021，2022]上是减函数，
∴f（x）在[﹣1，0]上也是减函数，又函数f（x）是定义在R上的偶函数，
可得f（x）在[0，1]上是增函数．
∵钝角三角形的两个锐角A、B满足sinA＜csB，csA＞sinB，
且，sinA，csB，csA，sinB∈（0，1），
∴f（sinA）＜f（csB），f（csA）＞f（sinB）．所以（2）（3）不正确；（4）（5）正确．
故答案为：（1）（4）（5）．
四、解答题：本题共5个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知函数f（x）＝x2﹣ax+4﹣a2的定义域是[﹣2，3]．
（1）当a＝2时，求函数f（x）的值域；
（2）设p：a∈M，q：∀x∈[﹣2，2]，都有f（x）≤0，若p是q的充分不必要条件，写一个满足题意的集合M并说明理由．
解：（1）当a＝2时，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，f（﹣2）＝8，又函数的定义域是[﹣2，3]，所以f（x）的值域是[﹣1，8]；
（2）据题意使“∀x∈[﹣2，2]，都有f（x）≤0”为真命题的充要条件是f（﹣2）≤0且f（2）≤0，
即，解得a∈（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞），
要使p是q的充分不必要条件，只要M是（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）的真子集即可，可取M＝{4}；
此时p⇒q，当a∈M，即a＝4，f（x）＝x2﹣4x﹣12，满足∀x∈[﹣2，2]，都有f（x）≤0，反之不成立．
所以p是q的充分不必要条件．
16．已知函数f（x）是偶函数，且当x≥0时，f（x）＝lga（3﹣ax）（a＞0，且a≠1）．
（1）求当x＜0时的f（x）的解析式；
（2）在①f（x）在（1，4）上单调递增；②在区间（﹣1，1）上恒有f（x）≥x2这两个条件中任选一个补充到本题中，求的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
（2）选条件①，由复合单调性可求得a的取值范围，从而可求的取值范围；选条件②，对a分类讨论，由不等式恒成立即可求得a的取值范围，从而可求的取值范围．
解：（1）当x＜0时，﹣x＞0，又f（x）是偶函数，
则f（x）＝f（﹣x）＝lga（3+ax），
即f（x）＝lga（3+ax）．
（2）选条件①，由于f（x）在（1，4）上单调递增，显然a＞1不合题意，
则，解得0＜a＜，
此时的取值范围是．
选条件②，若0＜a＜1，则f（0）＝lga3＜0，显然不合要求．
当a＞1时，f（0）＝lga3＞0，而f（x）与y＝x2都是偶函数，则只需考虑x∈[0，1）即可，
此时f（x）是单调递减的，而y＝x2是单调递增的，
则，解得1＜a＜，
此时的取值范围是．
17．已知函数．
（1）求函数f（x）的最小正周期及f（x）的单调递减区间；
（2）将f（x）的图象先向左平移个单位长度，再将其横坐标缩小为原来的，纵坐
标不变得到函数g（x），若，，求sinx0的值．
解：（1）∵
＝．
故f（x）的最小正周期为T＝4π，
由，k∈Z，解得，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递减区间是．
（2）将f（x）的图象先向左平移个单位长度，得到函数，
再将其横坐标缩小为原来的，纵坐标不变得到函数，
据题意有，且，则，
则．
18．游客乘坐位于长沙贺龙体育场的摩天轮可近观长沙中心城区城市美景，远眺岳麓山，俯瞰橘子洲，饱览湘江风光．据工作人员介绍，该摩天轮直径约100米，摩天轮的最低处P与地面的距离为20米，设有60个座舱，游客先乘坐直升电梯到入口（人口在摩天轮距地面的最低处）处等待，当座舱到达最低处P时有序进入座舱，摩天轮逆时针方向匀速运行一周约需20分钟．以摩天轮的圆心为坐标原点，水平线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）试将游客甲离地面的距离h（t）（单位：米）表示为其坐上摩天轮的时间t（单位：分钟）的函数；
（2）若游客乙在甲后的5分钟也在点P处坐上摩天轮，求在乙坐上摩天轮后的多少分钟时甲乙的离地面距离之差首次达到最大．
解：（1）法1：据题意，游客甲绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动，
设经过t分钟后甲到达Q，则以OP为始边，OQ为终边的角的大小是，
因为圆的半径为r＝50米，由三角函数定义知点Q的纵坐标为，
则其离地面的距离为：．
法2：因为摩天轮是做匀速圆周运动，故可设h（t）＝Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0），
据题意有A＝50，b＝70，
又周期T＝20，所以，
由在最低点入舱得，
故得．
（2）由（1）可知游客乙离地面的距离：，
其中时间t表示游客甲坐上摩天轮的时间，
则甲乙的离地面距离之差为：，
当，即时，甲乙离地面距离之差达到
最大，
所以，即游客乙坐上摩天轮，分钟后，甲乙的离地面距离之差首次达到最大．
19．若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x1，在其定义域内都存在唯一的x2，使得f（x1）f（x2）＝1成立，则称该函数为“依赖函数”．
（1）判断函数g（x）＝sinx是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）＝2x﹣1在定义域[m，n]（m＞0）上为“依赖函数”，求mn的取值范围；
（3）已知函数h（x）＝（x﹣a）2在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的t∈R，不等式h（x）≥﹣t2+（s﹣t）x+4都成立，求实数s的最大值．
解：（1）对于函数g（x）＝sinx的定义域R内存在，则g（x2）＝2无解，
故g（x）＝sinx不是“依赖函数”；
（2）因为f（x）＝2x﹣1在[m，n]递增，故f（m）f（n）＝1，即2m﹣12n﹣1＝1，m+n＝2，
由n＞m＞0，故n＝2﹣m＞m＞0，得0＜m＜1，
从而mn＝m（2﹣m）在m∈（0，1）上单调递增，故mn∈（0，1）；
（3）①若，故f（x）＝（x﹣a）2在上最小值0，此时不存在x2，舍去；
②若a≥4故f（x）＝（x﹣a）2在上单调递减，从而，解得a＝1（舍）或，
从而，存在，使得对任意的t∈R，有不等式都成立，
即恒成立，由，
得，由，可得，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得，
故实数s的最大值为．