湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期1月综合自主测试数学试题（Word版附解析）

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时量：120分钟 分值：150分
注意事项：
1、答卷前，考生务将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 对一组数据3，3，3，1，1，5，5，2，4，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为（ ）
A. 中位数B. 众数C. 平均数D. 方差
2. 已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知数列是等差数列，若、、，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 函数在区间上的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
5. 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为1斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的2倍，若该米斗中刚好装了半斗米（米均匀分布在米斗中），则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数列满足，（）.记数列的前n项和为，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知是半径为2的圆O上的四个动点，若，则的最大值为（ ）
A. 6B. 12C. 24D. 32
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知复数，下列说法正确的有（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则或D. 若，则
10. 已知二项式（其中）的展开式中存在常数项，且展开式的项数不超过9，则下列说法正确的是（ ）
A. 的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素
B. 若当取最大值时常数项为30，则
C. 若当取最小值时函数的图象在点处的切线与轴平行，则
D. 若二项展开式中的所有项的系数和为0，则
11. 对于，满足，，且对于.恒有.则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设是空间中两个不同的平面，a，b，c是空间中三条不同的直线，，给出下列五个结论，请写出一个一定正确结论的序号______.①；②是异面直线；③没有公共点；④与没有公共点；⑤.
13. 已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为__________.
14. 数学家高斯在各个领域中都取得了重大成就.在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作《算术研究》中首次引入了二次剩余的概念.二次剩余理论在噪音工程学､密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用.已知对于正整数，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余.从1到20这20个整数中随机抽取一个整数，记事件与12互质”，是12的二次非剩余”，则___________；___________.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数，曲线在点处的切线与轴平行．
（1）求实数的值；
（2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围．
16. “九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，
所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
（1）若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
（2）设采用3局2胜制时乙获胜的概率为，采用5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围.
17. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，，，.
（1）求证：平面.
（2）若（），且三棱锥的体积是四棱锥体积的一半.
①求点C到平面的距离；
②求平面与平面所成二面角的正弦值.
18. 已知抛物线的焦点为，直线过点交于两点，在两点的切线相交于点的中点为，且交于点．当的斜率为1时，．
（1）求的方程；
（2）若点的横坐标为2，求；
（3）设在点处切线与分别交于点，求四边形面积的最小值．
19. 定义两个n维向量，的数量积（），，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由n维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.
（1）求2完美3维向量集：
（2）判断是否存在完美4维向量集，并说明理由：
（3）若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和.