专题09 三角函数拆角与恒等变形归类（讲练）--2025年高考数学一轮复习高分冲刺

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题09 三角函数拆角与恒等变形归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc27007" 题型一：诱导公式 PAGEREF _Tc27007 \h 1
\l "_Tc18989" 题型二：辅助角：特殊角型 PAGEREF _Tc18989 \h 2
\l "_Tc13506" 题型三：辅助角：非特殊角型 PAGEREF _Tc13506 \h 3
\l "_Tc6227" 题型四：sinxcsx与sinxcsx型转化 PAGEREF _Tc6227 \h 4
\l "_Tc26661" 题型五：齐次式转化 PAGEREF _Tc26661 \h 5
\l "_Tc7121" 题型六：拆角：互补型拆角---缺 PAGEREF _Tc7121 \h 5
\l "_Tc8023" 题型七：拆角：互余型拆角 PAGEREF _Tc8023 \h 6
\l "_Tc24912" 题型八：拆角：二倍角型拆角 PAGEREF _Tc24912 \h 7
\l "_Tc32052" 题型九：拆角：30度型拆角 PAGEREF _Tc32052 \h 8
\l "_Tc28108" 题型十：拆角：60度型拆角 PAGEREF _Tc28108 \h 8
\l "_Tc21032" 题型十一：拆角：正切型 PAGEREF _Tc21032 \h 9
\l "_Tc14810" 题型十二：拆角：分式型 PAGEREF _Tc14810 \h 10
\l "_Tc24296" 题型十三：对偶型恒等变形求值 PAGEREF _Tc24296 \h 11
\l "_Tc19456" 题型十四：拆角求最值 PAGEREF _Tc19456 \h 11
\l "_Tc24032" 题型十五：韦达定理型恒等变形求值 PAGEREF _Tc24032 \h 12
\l "_Tc4855" 题型十六：恒等变形求角 PAGEREF _Tc4855 \h 13
题型一：诱导公式
诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．
“奇”“偶”指的是“k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．
“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．
“符号看象限”指的是在“k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·eq \f(π,2)＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．
1．（23-24高三 ·浙江·模拟）已知锐角满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三 ·浙江宁波·模拟）已知，求（ ）
A．B．C．D．
3．（15-16高三 ·吉林长春·模拟）设，那么
A．B．C．D．
4．（安徽省阜阳市2023-2024学年高三模拟质量统测数学试题）若角满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·广东·二模）（ ）
A．B．C．D．
题型二：辅助角：特殊角型
辅助角
asin α＋bcs α ＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中tan φ＝eq \f(b,a).(不记正切这个，要会推导非特殊角的辅助角）
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三 ·四川·阶段练习）若函数在区间上的值域分别为，则下列命题错误的是（ ）
A．若，则的最小值为
B．若，则的最小值为
C．若，则的取值范围为
D．若，则的取值范围为
3．（22-23高三 ·广西南宁·模拟）已知函数，若在上无零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高三 ·江西·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的最小正周期是B．的图象关于直线对称
C．在上有4个极值点D．在上单调递减
5．（23-24高三 辽宁·模拟）已知函数，若关于x的方程在区间上有且只有四个不相等的实数根，则正数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型三：辅助角：非特殊角型
辅助角
辅助角范围满足：
1．（22-23高三 上海宝山·阶段练习）若，，下列判断错误的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
2．（2023·河南·模拟预测）若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三 ·江西赣州·模拟）已知是圆上两点．若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川雅安·一模）已知函数，设，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高三 辽宁大连·模拟）已知函数（，，）在区间上单调，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：sinxcsx与sinxcsx型转化
与
的函数中一般可设进行换元．换元时注意新元的取值范围．
之间的互化关系
1.
2.
1．（23-24高三 ·湖北武汉·模拟）函数的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
2．（23-24高三 ·辽宁大连·阶段练习）若是方程的两根，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三 ·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三 ·湖北武汉·模拟）已知，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
题型五：齐次式转化
正切齐次求值型
给正切，利用正余弦一次分式齐次特征，可以同除余弦化为正切
二次型求正切，充分运用“1”的代换：
（1）
（2）
1．（2024·新疆·一模）已知: ，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三 辽宁大连·模拟）已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ ）
A．B．C．2D．1
3．（20-21高三 ·河南新乡·阶段练习）函数的最大值和最小值分别为（ ）
A． B．C．，0D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三江苏南京·模拟）已知，则（ ）
A．B．C．D．
题型六：拆角：互补型拆角---缺
角度“互补”与“广义互补余”可以用诱导公式转化：
1.“互补”：两个复合型角度相加为180°，可以用诱导公式转化
2.“广义互余”：两个复合型角度的和或者差为180°+k360°，可以用诱导公式转化
1.（2022秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2（2023春·浙江宁波·高三校考阶段练习）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
3.若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4.（山东省青岛市青岛中学2022-2023学年10月月考）已知,且,则______．
题型七：拆角：互余型拆角
角度“互余”与“广义互余”可以用诱导公式转化：
1.“互余”：两个复合型角度相加为90°，可以用诱导公式转化
2.“广义互余”：两个复合型角度的和或者差为90°+k360°，可以用诱导公式转化
1．（23-24高三·河南洛阳·模拟）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三 广东梅州·模拟）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·山东威海·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·浙江·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·河南信阳·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
题型八：拆角：二倍角型拆角
二倍角公式
sin 2α＝2sin αcs α
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
降幂公式：cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)，
升幂公式：1＋cs 2α＝2 cs2α，1－cs 2α＝2sin2α
1＋cs α＝2cs2eq \f(α,2)，1－cs α＝2sin2eq \f(α,2).
1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三·四川眉山·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三·江西·阶段练习）已知角满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三·江苏连云港·模拟）已知，求（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·浙江·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
题型九：拆角：30度型拆角
复合型角度的和与差，如果是与30°，45°或者60°等特殊角终边相同，则可以借助特殊角的函数值来拆角求值
1．（23-24高三 ·江苏盐城·模拟）化简值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024高三·全国·专题练习）等于（ ）
A．1B．2C．D．
3．（2024·陕西西安·一模）等于（ ）
A．B．C．D．1
4（23-24高三·重庆·模拟）（ ）
A．B．C．D．2
5．（22-23高三·河南·模拟）的值为（ ）
A．1B．C．D．
题型十：拆角：60度型拆角
常见的变角技巧有：
，
，
，
，
等．
1．（23-24高三·湖南湘潭·阶段练习）的值为（ ）
A．1B．C．D．2
2．（23-24高三·内蒙古赤峰·阶段练习）计算的值为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（2024·河北沧州·二模）化简（ ）
A．1B．C．2D．
4．（2024·全国·模拟预测）（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三·湖南·阶段练习）（ ）
A．B．C．D．
题型十一：拆角：正切型
正切型公式：
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β) (T(α＋β))
tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β) (T(α－β))
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)
1．（23-24高三·重庆大足·阶段练习）设，，，，若满足条件的与存在且唯一，则（ ）
A．B．1C．2D．4
2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·江苏镇江·模拟）已知，，则 （ ）
A．B．C．D．
4．（2024·福建泉州·二模）若，且与存在且唯一，则（ ）
A．2B．4C．D．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知,,且,,则（ ）
A．B．C．D．
题型十二：拆角：分式型
分式型求值，主要方向是把分数的分子分母“因式分解”，再通过“约分”来达到求值的目的。
所以，通过“和、差化积”思维，利用“因式分解的重要技巧：正余余正，余余正正公式”，化成积的形式，便于约去。
1．（23-24高三·湖南长沙·阶段练习）求值：（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三·四川成都·模拟）求值（ ）
A．B．C．1D．
3．（23-24高三·辽宁·模拟）化简的值为（ ）
A．1B．C．D．
4．（2021·广西·一模）＝ （ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·模拟预测）化简：（ ）
A．4B．2C．D．
题型十三：对偶型恒等变形求值
常见的对称型结构：
为对称结构，可以借助消元求解
1．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山西晋中·三模）已知则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·山东·模拟预测）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三·江苏连云港·模拟）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高三·江苏徐州·模拟）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
题型十四：拆角求最值
1．（23-24高三·湖南·阶段练习）已知，，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
2．（2014高三·全国·竞赛）若，，且满足关系式，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024高三·江苏·专题练习）中，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
4．（23-24高三下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知，均为锐角，且满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·山西·模拟预测）已知，，则的最小值为（ ）
A．-4B．-3C．D．2
题型十五：韦达定理型恒等变形求值
若是关于的一元二次方程的两个不相等的实根，则：
1．（21-22高三·贵州遵义·阶段练习）若是方程的两根，则的值为
A．B．
C．D．
2．（22-23高三·北京西城·阶段练习）已知是关于x的一元二次方程的两根，则 ，m＝ .
3．（2023高三·全国·专题练习）已知是方程的两根，则 .
4．（21-22高三·天津·模拟）已知，是方程的两根，则 ．
5．（2022·江苏南通·一模）已知，是方程的两根，则 .
题型十六：恒等变形求角
求复合型角，
以给了函数值的角度为基角来拆角。
讨论基角的范围，确认基角的正余弦值符号
所求复合型角的范围，以及对应的正（或者余）弦符号，确认对应复合型角度
1．（23-24高三·辽宁辽阳·模拟）已知，，且，，则（ ）
A．B．C．或D．或
2．（23-24高三·江苏徐州·模拟）已知，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知，，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三·浙江·模拟）已知为钝角，且，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三·河南·阶段练习）已知，，则（ ）
A．B．C．D．