专题16 数列递推公式归类（16题型提分练）（讲练）--2025年高考数学一轮复习高分冲刺

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2、精练习题。不搞“题海战术”，在老师指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。
4、重视错题。错误要及时寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题16 数列递推公式归类
目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc2936" 题型一：观察归纳型求通项 PAGEREF _Tc2936 \h 1
\l "_Tc20270" 题型二：累加型求通项及应用 PAGEREF _Tc20270 \h 2
\l "_Tc30767" 题型三：累积型求通项及应用 PAGEREF _Tc30767 \h 3
\l "_Tc23856" 题型四：周期型求通项及应用 PAGEREF _Tc23856 \h 4
\l "_Tc6355" 题型五：由sn求通项 PAGEREF _Tc6355 \h 4
\l "_Tc17894" 题型六：二阶等比型求通项 PAGEREF _Tc17894 \h 5
\l "_Tc32493" 题型七：二阶f（n）型递推 PAGEREF _Tc32493 \h 6
\l "_Tc12934" 题型八：三阶型递推构造等比 PAGEREF _Tc12934 \h 7
\l "_Tc23908" 题型九：分式型构造等差 PAGEREF _Tc23908 \h 8
\l "_Tc9914" 题型十：分式型构造等比 PAGEREF _Tc9914 \h 8
\l "_Tc23571" 题型十一：分段型求通项及应用 PAGEREF _Tc23571 \h 9
\l "_Tc31337" 题型十二：三阶型递推构造等差 PAGEREF _Tc31337 \h 10
\l "_Tc19696" 题型十三：裂项型递推 PAGEREF _Tc19696 \h 11
\l "_Tc21169" 题型十四：二阶“和”为f（n）型 PAGEREF _Tc21169 \h 11
\l "_Tc30621" 题型十五：齐次同构型 PAGEREF _Tc30621 \h 12
\l "_Tc7103" 题型十六：超难构造型求通项 PAGEREF _Tc7103 \h 13
题型一：观察归纳型求通项
先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据与项数的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.
1．（24-25高三上·广西柳州·阶段练习）将自然数1，2，3，4，5，……，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，……都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”．（ ）
A．22B．50C．37D．46
2．（23-24高二下·北京·期中）数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）据中国古代数学名著《周髀算经》记截：“勾股各自乘，并而开方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”与“弦”之间的关系为（其中）．当时，有如下勾股弦数组序列：，，则在这个序列中，第10个勾股弦数组中的“弦”等于（ ）
A．145B．181C．221D．265
5．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）数列的通项公式为（ ）
A．B．
C．D．
题型二：累加型求通项及应用
数列求通项，可以借助对“形形色色”的累加法研究学习，积累各类通项“变化”规律。
1.“等差”累加法:
2.“等比”累加法:
3.“裂项”累加法:
4.无理根式裂项累加法:
1．（2022·湖南长沙·二模）已知数列{}满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列满足，则（ ）
A．B．
C．D．
3．（23-24高三上·重庆·阶段练习）数列、满足：，，，则数列的最大项是（ ）
A．第7项B．第9项
C．第11项D．第12项
4．（2023·四川绵阳·模拟预测）已知正项数列 中，，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（22-23高二下·山东青岛·开学考试）数列满足，，，则的整数部分是（ ）
A．3B．2C．1D．0
题型三：累积型求通项及应用
累乘法：
若在已知数列中相邻两项存在：的关系，可用“累乘法”求通项.
累积法主要有“分式型”和“指数型”。
分式型：
指数型：
1．（24-25高三上·广东深圳·开学考试）数列中，，，记，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·西藏·模拟预测）已知数列对任意满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23高三上·安徽滁州·阶段练习）已知数列满足，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高二上·河南鹤壁·阶段练习）设数列的前n项和为，且为常数列，则（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高二·全国·mn）已知数列的前n项和为，且，，则（ ）．
A．2018B．2019C．2020D．2021
题型四：周期型求通项及应用
常见周期数列：
若数列{an}满足
若数列{an}满足
若数列{an}满足
若数列{an}满足
若数列{an}满足
1．（22-23高二上·河南洛阳·期末）已知数列 满足=1，，且()，则数列{}的前18项和为（ ）
A．54B．3C．D．
2．（23-24高二上·浙江宁波）已知无穷正整数数列满足，则的可能值有（ ）个
A．2B．4C．6D．9
3．（21-22高三上·河南商丘·阶段练习）设数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）
A．B．C．180D．240
4．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）数列中，，则的值为（ ）
A．B．C．5D．
5．（23-24高二下·辽宁葫芦岛）已知函数，数列满足，，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
题型五：由sn求通项
若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，则（ ）
A．190B．210C．380D．420
2．（23-24高二上·四川成都）若数列满足，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·浙江）已知数列的前项和为，首项，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·福建三明·）已知数列，的前n项和分别为，若，，，则（ ）
A．150B．100C．200D．5050
5．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）已知数列的前n项和为，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型六：二阶等比型求通项
二阶等比构造法有两种方法：
1.形如 为常数）,构造等比数列。特殊情况下，
当q为2时，=p，
2.形如，变形为，新数列累加法即可
1．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特）数列an满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山东聊城·一模）已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022高三·全国·专题练习）已知数列满足，则满足不等式的的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．（2023高二上·湖南岳阳）在数列中，，，则为（ ）．
A．B．C．D．
5．（21-22高二上·河南·阶段练习）设数列满足，且，则（ ）
A．为等比数列B．为等比数列
C．为等比数列D．为等比数列
题型七：二阶f（n）型递推
二阶f（n）型构造法有两种方法：
1.形如 为常数）,构造等比数列。
2.形如，变形为，新数列累加法即可
1．（21-22高二上·河南·阶段练习）在数列中，，，若，则n的最小值是（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．（22-23高二上·全国·单元测试）已知数列满足=，，则数列的通项公式是（ ）.
A．B．
C．D．
3．（浙江省杭州市富阳中学2021-2022学年高三上学期第一次二校联考数学试题）已知数列{an}的前n项和为，且满足，数列{bn}的通项，则使得恒成立的最小的k值最接近（ ）
A．B．C．D．1
4．（2014高一·全国）等差数列满足为其前项和，那么（ ）
A．B．C．D．
5．（2023河北沧州·一模）已知数列满足，，.设，若对于，都有恒成立，则的最大值为
A．3B．4C．7D．9
题型八：三阶型递推构造等比
三阶递推数列
形如，常凑配系数构等比数列
形如
形如
1．（22-23高三河南南阳模拟）已知数列{an}，{bn}满足，，，，则使成立的最小正整数为（ ）
A．5B．7C．9D．11
2．（22-23高三·全国模拟）已知数列中，，，，求（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（21-22高二上·河南商丘·期中）已知数列满足，，，设，有下列四个结论
①；
②是等比数列；
③是等差数列；
④的通项公式为．
其中所有结论的序号为（ ）
A．①②③B．②C．②④D．②③④
4．（22-23高三·全国）已知数列满足，且，，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·河南郑州·模拟预测）在数列中，，则的前项和的最大值为（ ）
A．64B．53C．42D．25
题型九：分式型构造等差
形如，可以取倒数变形为；
1．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）在数列中，，，则（ ）
A．B．C．D．100
2．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（ ）
A．B．C．D．
3．（21-22高二下·广东肇庆）已知数列满足，，则数列的前10项和为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高二上·浙江杭州）若数列满足递推关系式，且，则（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高二上·云南昆明）已知数列中，且，则为（ ）
A．B．C．D．
题型十：分式型构造等比
形如，可以取倒数变形为，再构造等比
1．（23-24高二下·河北·开学考试）已知数列满足，（），则满足的的最小取值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知数列满足，且，则（ ）
A．3B．C．D．
3．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）设数列an的前项和为，，，若，则正整数的值为（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
4．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若数列满足（且），则与的比值为（ ）
A．B．C．2D．3
5．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，设的前n项和为，则（ ）
A．B．C．1D．2

题型十一：分段型求通项及应用
讨论型：
1.分段数列
2.奇偶各自是等差，等比或者其他数列
1．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知数列an满足，当时，有，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河北张家口·三模）已知数列的前n项和为，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·云南曲靖·模拟预测）数列满足且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知数列满足，，记，则有（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·陕西安康·模拟预测）已知数列的首项为，，则数列的前2023项和为（ ）
A．B．
C．D．
题型十二：三阶型递推构造等差
三阶递推型，可以通过凑配系数来构造等比数列。
1．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足，其前n项和为，则使得成立的n的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
2．（2023·全国·模拟预测）已知数列满足，且，若，数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·福建·期中）设数列满足，，，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2022项之和为（ ）
A．4044B．4045C．4046D．4047
4．（23-24高三上·山东烟台·期中）斐波那契数列以如下递归的方法定义:，若斐波那契数列对任意，存在常数，使得成等差数列，则的值为（ ）
A．1B．3C．D．
5．（22-23高二下·广东佛山·阶段练习）若数列满足，且对于都有，则（ ）
A．B．C．D．
题型十三：裂项型递推
1．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在数列中，若，则数列的前项中所有有理项之和为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·全国·课堂例题）在数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·安徽亳州·期中）若数列an满足（且），，则（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高二下·北京昌平·期中）已知数列满足，则=（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·开学考试）在数列中，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
题型十四：二阶“和”为f（n）型
满足，称为“和”数列，常见如下几种：
1.“和”常数型：，则数列奇数项与偶数项各自是常数数列
2.“和”等差型：则再写一个做差，数列奇数项与偶数项各自是等差数列
3.“和”二次型：，则可以则再写一个做差，化归为前边”和“等差数列形式
4.“和”换元型：同构换元，化归为常见的形式
1．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知数列满足，且，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则是等差数列
B．若，则是等差数列
C．若，则是等比数列
D．若，则是等比数列
2．（23-24高三上·广东佛山·开学考试）已知数列对任意满足，则（ ）
A．4040B．4043C．4046D．4049
3．（24-25高二上·全国·课后作业）若公差为d的等差数列满足，则下列结论错误的为（ ）
A．数列也是等差数列B．
C．D．13是数列中的项
4．（2024·全国·模拟预测）若数列满足对任意的均有，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（19-20高三上·贵州·期末）已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an+1+an＝3n（n∈N*），则a2020的值等于（ ）
A．2020B．3028C．6059D．3029
题型十五：齐次同构型
通过齐次型同除，或者因式分解等，构造结构相同的递推数列求解
1．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知数列满足，且，则数列的前101项中能被整除的项数为（ ）
A．42B．41C．40D．39
2．（20-21高二上·河南·阶段练习）已知数列an的首项，且满足，则an中最小的一项是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高二下·河南·阶段练习）在数列中，，则“”是“是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（19-20高三上·浙江·阶段练习）设无穷数列{an}满足，，，若{an}为周期数列，则pq的值为（ ）
A．B．1C．2D．4
5．（2022高三·全国·专题练习）数列满足，，若，且数列的前项和为，则（ ）
A．64B．80C．D．
题型十六：超难构造型求通项
1．（23-24高二上·湖南岳阳·阶段练习）已知数列满足，且，数列的各项均不为0，且.若，则 .
2．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，是边上一点，且，为直线上一点列，满足：，且，则 ，设数列，则的通项公式为 .
3．（22-23高二上·河南开封·阶段练习）已知数列中，，，，设，则数列的前40项的和为（ ）
A．860B．820C．D．
4．（2021·全国·模拟预测）在数列中，，，若，则实数的不同取值的个数为（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23高一上海浦东新·）已知数列满足：，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．