2025高考数学一轮复习-3.1-导数的概念及其意义-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-3.1-导数的概念及其意义-专项训练【含答案】，共5页。
1．(多选)下面说法不正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
2．已知曲线y＝ eq \f(1,2)x2－2上一点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))，则过点P的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．135° D．165°
3．若曲线f(x)＝x2在点P处的切线斜率等于2，则点P的坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)
C．(1，1) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))
4．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值是( )
A． eq \f(1,2) B．1
C． eq \f(3,2) D．2
5．曲线y＝x3＋11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标为( )
A．－9 B．－3
C．9 D．15
6．已知函数f(x)在区间[0，3]上的图象如图所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，则k1，k2，k3之间的大小关系为________．(请用“>”连接)
7．已知曲线y＝f(x)＝ eq \f(1,3)x3上一点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(8,3)))，则f(x)在点P处的切线的斜率为________，在点P处的切线方程为________________．
8．已知曲线y＝ eq \f(1,x).
(1)求曲线过点A(1，0)的切线方程；
(2)求满足斜率为－ eq \f(1,3)的曲线的切线方程．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．若经过点(3，0)的直线l与抛物线y＝ eq \f(x2,2)的两个交点处的切线相互垂直，则直线l的斜率k等于( )
A．－ eq \f(1,6) B．－ eq \f(1,3)
C． eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,2)
2．在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线的方程为________．
3．已知曲线y＝x2＋1，则是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故A，B，D错误．
答案：ABD
2．解析：∵y＝ eq \f(1,2)x2－2，
∴y′＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(\f(1,2)(x＋Δx)2－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x2－2)),Δx)
＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(\f(1,2)(Δx)2＋x·Δx,Δx)
＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)Δx))＝x，
∴y′|x＝1＝1，∴点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(3,2)))处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.
答案：B
3．解析：设点P的坐标为(x0，y0)，
则k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝2x0，
即2x0＝2.
所以x0＝1，此时y0＝x eq \\al(2,0)＝12＝1.
故点P的坐标为(1，1).
答案：C
4．解析：∵(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，
∴1－2f(1)＋1＝0，∴f(1)＝1.
又f′(1)＝ eq \f(1,2)，∴f(1)＋2f′(1)＝1＋2× eq \f(1,2)＝2.
答案：D
5．解析：∵eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f(x＋Δx)－f(x),Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f((x＋Δx)3－x3,Δx)
＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) [3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2，
由已知得切线的斜率k＝y′|x＝1＝3，
所以切线方程为y－12＝3(x－1)，
即3x－y＋9＝0.
令x＝0，得y＝9，所以切线与y轴交点的纵坐标为9.
答案：C
6．解析：结合导数的几何意义知，k1就是曲线在点A处切线的斜率，k2则为在点B处切线的斜率，则k3则为割线AB的斜率，由图易知它们的大小关系．
答案：k1>k3>k2
7．解析：由导数的定义易得f′(x0)＝x eq \\al(2,0)，所以f(x)在点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(8,3)))处的切线的斜率为4，
所以切线方程为y－ eq \f(8,3)＝4(x－2)，
即12x－3y－16＝0.
答案：4 12x－3y－16＝0
8．解：(1)设过点A(1，0)的切线的切点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(1,a))).
因为eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f(a＋Δx)－f(a),Δx)＝－ eq \f(1,a2)，
所以该切线的斜率为－ eq \f(1,a2)，
切线方程为y－ eq \f(1,a)＝－ eq \f(1,a2)(x－a).①
将A(1，0)代入①式，得a＝ eq \f(1,2).
所以所求的切线方程为y＝－4x＋4.
(2)由(1)知f′(x)＝－ eq \f(1,x2).
令－ eq \f(1,x2)＝－ eq \f(1,3)，得x＝ eq \r(3)或x＝－ eq \r(3)，所以切点为P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(\r(3),3)))或P′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)，－\f(\r(3),3)))，
所以所求的切线方程为y＝－ eq \f(1,3)x＋ eq \f(2\r(3),3)或y＝－ eq \f(1,3)x－ eq \f(2\r(3),3).
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1．解析：由直线l的斜率为k，则其方程为y＝k(x－3)，
设直线l与抛物线的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(x2,2)，,y＝k(x－3)，))
得x2－2kx＋6k＝0，
所以x1x2＝6k.
又对y＝ eq \f(x2,2)求导有y′＝x，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为x1，x2，
于是有x1x2＝6k＝－1，所以k＝－ eq \f(1,6).
答案：A
2．解析：由导数的几何意义知，曲线y＝x3＋3x2＋6x－10上每一点处的切线的斜率等于函数f(x)＝x3＋3x2＋6x－10在该点处的导数，因此曲线切线的斜率k＝f′(x0)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(f(x0＋Δx)－f(x0),Δx)＝3x eq \\al(2,0)＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3≥3，当x0＝－1时，斜率取到最小值3，此时，曲线上的点为(－1，－14)，切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.
答案：3x－y－11＝0
3．解：由 eq \f(Δy,Δx)＝ eq \f((x＋Δx)2＋1－(x2＋1),Δx)＝2x＋Δx，
得y′＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d5(Δx→0)) (2x＋Δx)＝2x.
设切点为P(x0，y0)，
则切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，
由点斜式可得所求切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0).
又因为切线过(1，a)，y0＝x eq \\al(2,0)＋1，
所以a－(x eq \\al(2,0)＋1)＝2x0(1－x0)，
即x eq \\al(2,0)－2x0＋a－1＝0.
因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，
解得a