2025高考数学一轮复习-3.2-导数的运算-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-3.2-导数的运算-专项训练【含答案】，共6页。
1．(多选)下列求导运算正确的是( )
A. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))′＝1＋ eq \f(1,x2)
B.(lg2x)′＝ eq \f(1,x ln 2)
C.(5x)′＝5xlg5x
D.(x2cs x)′＝2x cs x－x2sin x
2．曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程是y＝2x－1，则f(1)＋f′(1)＝( )
A.2 B．3
C.4 D．5
3．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为( )
A.(1，3) B．(－1，3)
C.(－1，3)或(1，1) D．(－1，3)或(1，3)
4．(多选)已知函数f(x)的图象如图，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是( )
A.f′(3)＞f′(2)
B.f′(3)＜f′(2)
C.f(3)－f(2)＞f′(3)
D.f(3)－f(2)＜f′(2)
5．若直线y＝2x是曲线y＝x(ex－a)的切线，则a＝( )
A.－e B．－1
C.1 D．e
6．若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于( )
A.1 B．2
C.3 D．3或－1
7．已知函数f(x)＝ eq \f(1,ax－1)＋ex cs x．若f′(0)＝－1，则a＝________．
8．设f(x)＝ex2，则f′(x)＝________，其在点(0，1)处的切线方程为________．
9．若函数f(x)＝x2＋ eq \f(a,x)的图象在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝mx＋m(m∈R)，则实数a＝________．
10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x.若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )
A.2 B．5
C.1 D．0
2．曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是________．
3．已知f(x)＝ex，g(x)＝ln x＋2，直线l是f(x)与g(x)的公切线，求直线l的方程．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：A中， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))′＝1－ eq \f(1,x2)，
C中，(5x)′＝5x ln 5，其余正确．
答案：BD
2．解析：由题意知f(1)＋f′(1)＝2×1－1＋2＝3.
答案：B
3．解析：设切点P(x0，y0)，由f′(x)＝3x2－1，可得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x eq \\al(2,0)－1，
所以3x eq \\al(2,0)－1＝2，解得x0＝±1.
当x0＝1时，可得f(1)＝3，此时P(1，3)；
当x0＝－1时，可得f(－1)＝3，
此时P(－1，3).
答案：D
4．解析：由图知f′(2)＞f′(3)＞0，故A错误，B正确．
设A(2，f(2))，B(3，f(3))，
则f(3)－f(2)＝ eq \f(f(3)－f(2),3－2)＝kAB，
由图知f′(3)＜kAB＜f′(2)，
即f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)，故C，D正确．
答案：BCD
5．解析：设切点坐标为(x0，x0(ex0－a)).
因为y＝x(ex－a)，
所以y′＝(ex－a)＋xex＝(1＋x)ex－a，
所以在切点处的切线的斜率为(1＋x0)ex0－a，
切线方程为y－x0(ex0－a)＝[(1＋x0)ex0－a](x－x0)，
即y＝[(1＋x0)ex0－a]x－x eq \\al(2,0)ex0.
由题意知 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((1＋x0)ex0－a＝2，,x eq \\al(2,0)ex0＝0，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝0，,a＝－1.))
答案：B
6．解析：设在函数f(x)＝ln x上的切点为(x1，y1)，
∴k＝ eq \f(1,x1)＝1，解得x1＝1，
故切点为(1，0)，可求出切线方程为y＝x－1，
此切线和g(x)＝x2＋ax也相切，
故x2＋ax＝x－1，化简得x2＋(a－1)x＋1＝0，
只需满足Δ＝(a－1)2－4＝0，
解得a＝－1或3.
答案：D
7．解析：∵f′(x)＝ eq \f(－(ax－1)′,(ax－1)2)＋ex cs x－ex sin x＝ eq \f(－a,(ax－1)2)＋ex cs x－ex sin x，∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2.
答案：2
8．解析：因为f(x)＝ex2，
故f′(x)＝(x2)′ex2＝2xex2，则f′(0)＝0.
故曲线y＝f(x)在点(0，1)处的切线方程为y＝1.
答案：2xex2 y＝1
9．解析：由函数f(x)＝x2＋ eq \f(a,x)求导得f′(x)＝2x－ eq \f(a,x2).
依题意，m＝f′(1)＝2－a.
又点P(1，f(1))在直线y＝mx＋m上，
所以f(1)＝1＋a＝2m，
因此1＋a＝2(2－a)，解得a＝1.
答案：1
10．解：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，
所以f′(2)＝1.
又f(2)＝－2，所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，x eq \\al(3,0)－4x eq \\al(2,0)＋5x0－4)，
因为f′(x0)＝3x eq \\al(2,0)－8x0＋5，
所以切线方程为y－(－2)＝(3x eq \\al(2,0)－8x0＋5)(x－2).
又切线过点(x0，x eq \\al(3,0)－4x eq \\al(2,0)＋5x0－4)，
所以x eq \\al(3,0)－4x eq \\al(2,0)＋5x0－2＝(3x eq \\al(2,0)－8x0＋5)·(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，
解得x0＝2或x0＝1，
所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
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1．解析：根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0，
由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，
则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a.
由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－ eq \f(3,x)－1，
则切线的斜率为k＝g′(a)＝－ eq \f(3,a)－1.
因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，
所以－4a＝－ eq \f(3,a)－1，
解得a＝1或a＝－ eq \f(3,4)(舍去).
又由g(1)＝－1，
即公共点的坐标为(1，－1)，
将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，
可得m＝1.
答案：C
2．解析：设曲线在点P(x0，y0)(x0＞0)处的切线与直线x－y－2＝0平行，
则切线的斜率k＝2x0－ eq \f(1,x0)＝1，
∴x0＝1，y0＝1，则P(1，1)，
则曲线y＝x2－ln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离d＝ eq \f(|1－1－2|,\r(12＋(－1)2))＝ eq \r(2).
答案： eq \r(2)
3．解：设直线l与f(x)＝ex的切点为(x1，y1)，
则y1＝ex1，f′(x)＝ex，
∴f′(x1)＝e x1，
∴切点为(x1，e x1)，切线斜率k＝ex1，
∴切线方程为y－e x1＝ex1 (x－x1)，
即y＝ex1·x－x1e x1＋e x1.①
同理设直线l与g(x)＝ln x＋2的切点为(x2，y2)，
∴y2＝ln x2＋2，g′(x)＝ eq \f(1,x)，
∴g′(x2)＝ eq \f(1,x2)，
切点为(x2，ln x2＋2)，切线斜率k＝ eq \f(1,x2)，
∴切线方程为y－(ln x2＋2)＝ eq \f(1,x2)(x－x2)，
即y＝ eq \f(1,x2)·x＋ln x2＋1.②
由题意知，①与②相同，
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex1＝\f(1,x2)⇒x2＝e－x1，③,－x1ex1＋ex1＝ln x2＋1，④))
把③代入④有－x1 e x1＋e x1＝－x1＋1，
即(1－x1)(e x1－1)＝0，
解得x1＝1或x1＝0，
当x1＝1时，切线方程为y＝ex；
当x1＝0时，切线方程为y＝x＋1.
综上，直线l的方程为y＝ex或y＝x＋1.