2025高考数学一轮复习-4.6-函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及应用-专项训练【含答案】

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1．(多选)已知函数f(x)＝sin x－cs x，则下列结论中正确的是( )
A.f(x)的最大值为 eq \r(2)
B.f(x)在区间 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))上单调递增
C.f(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，0))对称
D.f(x)的最小正周期为π
2．函数f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象在[0，1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为( )
A.[2π，4π] B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π，\f(9π,2)))
C. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,6)，\f(25π,6))) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π，\f(25π,6)))
3．已知函数f(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移 eq \f(2π,3)个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是( )
A.g(x)的最小正周期是2π
B.g(x)的最小值为－2
C.g(x)在(0，π)上单调递增
D.g(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))对称
4．函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜φ＜\f(π,2)))个单位长度得到的．若g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，则φ的值为( )
A. eq \f(π,3) B． eq \f(π,4)
C. eq \f(π,6) D． eq \f(π,12)
5．(多选)血压(BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t＝0 h)，他的血压p(t)(mmHg)与经过的时间t(h)满足关系式p(t)＝115＋20sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))，则下列选项中正确的是( )
A.当天早晨6～7点，陈华的血压逐渐上升
B.当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg
C.当天陈华没有高血压
D.当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg
6．函数y＝f(x)的图象由函数y＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象向左平移 eq \f(π,6)个单位长度得到，则y＝f(x)的图象与直线y＝ eq \f(1,2)x－ eq \f(1,2)的交点个数为( )
A.1 B．2
C.3 D．4
7．已知函数f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，将函数y＝f(x)的图象向左平移 eq \f(π,6)个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0，2π]上的单调递减区间为________．
8．函数y＝sin (2x＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|＜\f(π,2)))的图象向右平移 eq \f(π,6)个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则φ＝________．
9．已知函数f(x)＝ eq \r(3)sin ωx＋2cs2 eq \f(ωx,2)＋m的最小值为－2.
(1)求函数f(x)的最大值；
(2)把函数y＝f(x)的图象向右平移 eq \f(π,6ω)个单位长度，可得函数y＝g(x)的图象，且函数y＝g(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,8)))上单调递增，求ω的最大值．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．已知函数f(x)＝2 eq \r(3)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(x,2)))sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－\f(x,2)))＋sin x，将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 eq \f(1,4)，纵坐标不变，再向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得的图象关于y轴对称，则φ的值为( )
A. eq \f(π,24) B．－ eq \f(π,24)
C. eq \f(3π,8) D． eq \f(π,4)
2．如图为函数f(x)＝A sin (2x＋φ) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，|φ|≤\f(π,2)))的部分图象，对于任意的x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f(x1)＝f(x2)，都有f(x1＋x2)＝ eq \r(2)，则φ＝________．
3．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为 eq \f(π,4)，且在x＝ eq \f(π,3)处取到最小值－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标先伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移 eq \f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(9π,8)))上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：f(x)＝sin x－cs x＝ eq \r(2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))，
对于A，f(x)max＝ eq \r(2)，A正确；
对于B，当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))时，x－ eq \f(π,4)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,2)))，
由正弦函数在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增可知f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))上单调递增，B正确；
对于C，当x＝ eq \f(3π,4)时，x－ eq \f(π,4)＝ eq \f(π,2)，则f(x)关于直线x＝ eq \f(3π,4)成轴对称，C错误；
对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误．
答案：AB
2．解析：由函数f(x)在[0，1]上恰有两个最大值点，及正弦函数的图象(图略)可知ω＋ eq \f(π,3)∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,2)，4π＋\f(π,2)))，则 eq \f(13π,6)≤ω< eq \f(25π,6).
答案：C
3．解析：先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得y＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))；
再将所得图象向右平移 eq \f(2π,3)个单位长度得
y＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2π,3)))－\f(π,3)))＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(2π,3)))，
所以g(x)＝cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(2π,3)))，其最小正周期为4π，最小值为－1.排除A，B；
其单调递增区间为－π＋2kπ≤ eq \f(1,2)x－ eq \f(2π,3)≤2kπ(k∈Z)，解得x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)＋4kπ，\f(4π,3)＋4kπ))(k∈Z)，C正确；
对称中心为 eq \f(1,2)x－ eq \f(2π,3)＝－ eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，解得x＝ eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，所以其图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2kπ，0))(k∈Z)对称，排除D.
答案：C
4．解析：因为函数f(x)＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＜φ＜\f(π,2)))个单位长度得到，
所以g(x)＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2(x－φ)－\f(π,3)))＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)－2φ)).
因为g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2φ))＝－ eq \f(\r(3),2)，
故可得 eq \f(π,3)－2φ＝2kπ－ eq \f(π,3)，k∈Z或 eq \f(π,3)－2φ＝2kπ－ eq \f(2π,3)，k∈Z.又00)个单位长度，
可得y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋4φ＋\f(π,3)))的图象．
因为所得的图象关于y轴对称，为偶函数，
所以4φ＋ eq \f(π,3)＝kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，解得φ＝ eq \f(π,24)＋ eq \f(kπ,4)(k∈Z)，
取k＝0，得φ＝ eq \f(π,24).无论k取任何整数，无法得到B，C，D的值．
答案：A
2．解析：由三角函数的最大值可知A＝2，
不妨设 eq \f(x1＋x2,2)＝m，则x1＋x2＝2m，
由三角函数的性质可知，
2m＋φ＝2kπ＋ eq \f(π,2)(k∈Z)，
则f(x1＋x2)＝2sin [2(x1＋x2)＋φ]
＝2sin (2×2m＋φ)
＝2sin [2×(2m＋φ)－φ]
＝2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)))－φ))
＝2sin (4kπ＋π－φ)＝2sin φ＝ eq \r(2)，
则sin φ＝ eq \f(\r(2),2)，结合|φ|≤ eq \f(π,2)，得φ＝ eq \f(π,4).
答案： eq \f(π,4)
3．解：(1)由题知函数f(x)的最小正周期为2× eq \f(π,4)＝ eq \f(2π,ω)，解得ω＝4，
∴f(x)＝A sin (4x＋φ).
又函数f(x)在x＝ eq \f(π,3)处取到最小值－2，
∴A＝2，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝－2，
即 eq \f(4π,3)＋φ＝2kπ＋ eq \f(3π,2)，k∈Z，
令k＝0可得φ＝ eq \f(π,6)，∴f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6))).
(2)函数f(x)＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4x＋\f(π,6)))图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y＝2sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))，
再向左平移 eq \f(π,6)个单位长度可得g(x)＝2sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＋\f(π,6)))＝2cs 2x，
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得－ eq \f(π,2)＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，kπ))(k∈Z).
(3)∵方程g(x)＝m＋2在x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(9π,8)))上有两个不同的实根，
函数g(x)＝2cs 2x，
x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(9π,8)))的图象如图所示，
由图可知－2＜m＋2≤ eq \r(2)或m＋2＝2，
解得－4＜m≤ eq \r(2)－2或m＝0，
∴m的取值范围为(－4， eq \r(2)－2]∪{0