2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-5.3-平面向量的数量积-专项训练【含答案】，共9页。
1．已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( )
A．－ eq \f(9,2) B．0
C．3 D． eq \f(15,2)
2．(多选)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的是( )
A．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B．(a·b)·c＝a·(b·c)
C．a·b≤|a|·|b|
D．|a－b|≤|a|＋|b|
3．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为( )
A． eq \f(π,3) B． eq \f(2π,3)
C． eq \f(5π,6) D． eq \f(π,6)
4．(多选)如图，点A，B在圆C上，则 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))的值( )
A．与圆C的半径有关
B．与圆C的半径无关
C．与弦AB的长度有关
D．与点A，B的位置有关
5．已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，则a·b＋b·c＋c·a＝________．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则 eq \(CP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))的最小值为________．
7．已知向量a＝(cs x，sin x)，b＝(3，－ eq \r(3))，x∈[0，π].
(1)若a∥b，求x的值；
(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足( eq \r(2)a－c) eq \(BA,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝c eq \(CB,\s\up6(→))· eq \(CA,\s\up6(→)).
(1)求角B的大小；
(2)若| eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))|＝ eq \r(6)，求△ABC面积的最大值．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．(多选)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(－3，4)，则下列说法正确的是( )
A．cs 〈a，b〉＝ eq \f(\r(2),10)
B．b在a方向上的投影向量为 eq \f(\r(2),2)a
C．与b垂直的单位向量的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(3,5)))
D．若向量a＋λb与非零向量a－λb共线，则λ＝0
2．已知非零向量a，b，c，则“a·c＝b·c”是“a＝b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．已知单位向量a，b，且〈a，b〉＝ eq \f(π,3).若(a＋b)⊥c，|c|＝2，则a·c＝( )
A．1 B．12
C．－2或2 D．－1或1
4．将向量 eq \(OP,\s\up6(→))＝( eq \r(2)， eq \r(2))绕坐标原点O顺时针旋转75°得到 eq \(OP,\s\up6(→))1，则 eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(OP1,\s\up6(→))＝( )
A． eq \f(\r(6)－\r(2),2) B． eq \r(6)－ eq \r(2)
C． eq \r(6)＋ eq \r(2) D． eq \f(\r(6)＋\r(2),2)
5．已知菱形ABCD的边长为1， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)，G是菱形ABCD内一点．若 eq \(GA,\s\up6(→))＋ eq \(GB,\s\up6(→))＋ eq \(GC,\s\up6(→))＝0，则 eq \(AG,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝( )
A． eq \f(1,2) B．1
C． eq \f(3,2) D．2
6．在平行四边形ABCD中，已知 eq \(DE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(EC,\s\up6(→))， eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(FC,\s\up6(→))，| eq \(AE,\s\up6(→))|＝ eq \r(2)，| eq \(AF,\s\up6(→))|＝ eq \r(6)，则 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(BD,\s\up6(→))＝( )
A．－9 B．－ eq \f(9,2)
C．－7 D．－ eq \f(7,2)
7．已知点O为坐标原点， eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，1)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3，4)，点P在线段AB上，且| eq \(AP,\s\up6(→))|＝1，则点P的坐标为________．
8．向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a·b＝ eq \f(1,4)(| eq \(AD,\s\up6(→))|2－| eq \(BC,\s\up6(→))|2)，我们称为极化恒等式．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝________．
9．在2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中 eq \(OM,\s\up6(→))· eq \(ON,\s\up6(→))的值为________．
10．在△ABC中，∠A＝60°，BC＝1，点D为AB的中点，点E为CD的中点．若设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则 eq \(AE,\s\up6(→))可用a，b表示为________；若 eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))，则 eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(AF,\s\up6(→))的最大值为________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：因为2a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)·c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3.
答案：C
2．解析：根据数量积的分配律可知A正确；
B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
根据数量积的定义可知a·b＝|a||b|cs 〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确；
|a－b|2－(|a|＋|b|)2＝－2a·b－2|a||b|≤0，故|a－b|2≤(|a|＋|b|)2，即|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确．
答案：ACD
3．解析：设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，故以|a|，|b|为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝ eq \r(3).设向量a＋b与a的夹角为θ，则cs θ＝ eq \f(a·(a＋b),|a|·|a＋b|)＝ eq \f(a2＋a·b,|a|·|a＋b|)＝ eq \f(|a|,|a＋b|)＝ eq \f(\r(3),2).又0≤θ≤π，所以θ＝ eq \f(π,6).
答案：D
4．解析：如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，故 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝| eq \(AB,\s\up6(→))|·| eq \(AC,\s\up6(→))|·cs ∠CAD＝| eq \(AB,\s\up6(→))|·| eq \(AC,\s\up6(→))|· eq \f(\f(1,2)|\(AB,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|)＝ eq \f(1,2)| eq \(AB,\s\up6(→))|2，故 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关，故选B，C.
答案：BC
5．解析：由已知可得(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，因此a·b＋b·c＋c·a＝－ eq \f(9,2).
答案：－ eq \f(9,2)
6．解析：依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则B(0，2)，D(2，0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2.
因为P点在边AC的中线BD上，所以可设P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以 eq \(CP,\s\up6(→))＝(t，2－t)， eq \(BP,\s\up6(→))＝(t，－t)，
所以 eq \(CP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))＝t2－t·(2－t)＝2t2－2t＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2))) eq \s\up12(2)－ eq \f(1,2)，当t＝ eq \f(1,2)时， eq \(CP,\s\up6(→))· eq \(BP,\s\up6(→))取得最小值－ eq \f(1,2).
答案：－ eq \f(1,2)
7．解：(1)因为a＝(cs x，sin x)，b＝(3，－ eq \r(3))，a∥b，
所以－ eq \r(3)cs x＝3sin x.
若cs x＝0，则sin x＝0，与sin2x＋cs2x＝1矛盾，
故csx≠0，于是tan x＝－ eq \f(\r(3),3).又x∈[0，π]，所以x＝ eq \f(5π,6).
(2)f(x)＝a·b＝(cs x，sin x)·(3，－ eq \r(3))＝3cs x－ eq \r(3)sin x＝2 eq \r(3)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).
因为x∈[0，π]，所以x＋ eq \f(π,6)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，从而－1≤cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))≤ eq \f(\r(3),2).
于是，当x＋ eq \f(π,6)＝ eq \f(π,6)，即x＝0时，f(x)取得最大值3；
当x＋ eq \f(π,6)＝π，即x＝ eq \f(5π,6)时，f(x)取得最小值－2 eq \r(3).
8．解：(1)由题意得( eq \r(2)a－c)cs B＝b cs C.
根据正弦定理得( eq \r(2)sin A－sin C)cs B＝sin B cs C，
所以 eq \r(2)sin A cs B＝sin (C＋B)，
即 eq \r(2)sin A cs B＝sin A．因为A∈(0，π)，
所以sin A＞0，所以cs B＝ eq \f(\r(2),2).又B∈(0，π)，所以B＝ eq \f(π,4).
(2)因为| eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→))|＝ eq \r(6)，所以| eq \(CA,\s\up6(→))|＝ eq \r(6)，即b＝ eq \r(6)，
根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ eq \r(2)ac≥2ac－ eq \r(2)ac＝(2－ eq \r(2))ac(当且仅当a＝c时取等号)，
即ac≤3(2＋ eq \r(2)).故△ABC的面积S＝ eq \f(1,2)ac sin B≤ eq \f(3(\r(2)＋1),2)，
因此△ABC的面积的最大值为 eq \f(3\r(2)＋3,2).
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1．解析：由题意知|a|＝ eq \r(2)，|b|＝5，a·b＝－3＋4＝1，则cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(\r(2),10)，因此A正确；
b在a方向上的投影向量为|b|cs 〈a，b〉· eq \f(a,|a|)＝ eq \f(a·b,|a|)· eq \f(a,|a|)＝ eq \f(a·b,|a|2)a＝ eq \f(1,2)a，因此B错误；
与b垂直的单位向量的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(3,5)))或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－\f(3,5)))，因此C错误；
因为a＋λb＝(1－3λ，1＋4λ)，a－λb＝(1＋3λ，1－4λ)，若向量a＋λb与向量a－λb共线，则(1－3λ)(1－4λ)＝(1＋3λ)(1＋4λ)，解得λ＝0.
答案：AD
2．解析：如图所示， eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c， eq \(BA,\s\up6(→))＝a－b，当AB⊥OC时，a－b与c垂直，(a－b)·c＝0，所以a·c＝b·c成立，此时a≠b，∴a·c＝b·c不是a＝b的充分条件，当a＝b时，a－b＝0，∴(a－b)·c＝0·c＝0，∴a·c＝b·c成立，∴a·c＝b·c是a＝b的必要条件．综上，“a·c＝b·c”是“a＝b”的必要不充分条件．
答案：B
3．解析：由题意单位向量a，b，且〈a，b〉＝ eq \f(π,3)，可知a＋b与a的夹角为 eq \f(π,6).因为(a＋b)⊥c，所以〈a，c〉＝ eq \f(π,3)或 eq \f(2π,3)，
故当〈a，c〉＝ eq \f(π,3)时，a·c＝|a|·|c|cs 〈a，c〉＝1×2× eq \f(1,2)＝1；
当〈a，c〉＝ eq \f(2π,3)时，a·c＝|a|·|c|cs 〈a，c〉＝1×2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－1.
答案：D
4．解析：因为 eq \(OP,\s\up6(→))＝( eq \r(2)， eq \r(2))，所以| eq \(OP,\s\up6(→))|＝ eq \r((\r(2))2＋(\r(2))2)＝2，因为向量 eq \(OP,\s\up6(→))绕坐标原点O顺时针旋转75°得到 eq \(OP,\s\up6(→))1，所以向量 eq \(OP,\s\up6(→))与向量 eq \(OP,\s\up6(→))1的夹角为75°，且| eq \(OP,\s\up6(→))1|＝2，所以 eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(OP1,\s\up6(→))＝| eq \(OP,\s\up6(→))|·| eq \(OP1,\s\up6(→))|·cs 75°＝2×2×cs (30°＋45°)＝4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)×\f(\r(2),2)－\f(1,2)×\f(\r(2),2)))＝ eq \r(6)－ eq \r(2).
答案：B
5．解析：在菱形ABCD中，菱形ABCD的边长为1， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)，
所以 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝| eq \(AB,\s\up6(→))|·| eq \(AD,\s\up6(→))|cs ∠BAD＝cs ∠BAD＝－ eq \f(1,2)，
所以∠BAD＝120°，则△ABC为等边三角形．因为 eq \(GA,\s\up6(→))＋ eq \(GB,\s\up6(→))＋ eq \(GC,\s\up6(→))＝0，
所以点G为△ABC的重心，故|AG|＝ eq \f(2,3)|AM|＝ eq \f(\r(3),3).在等边△ABC中，M为BC的中点，则∠BAM＝30°，所以 eq \(AG,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝| eq \(AG,\s\up6(→))|·| eq \(AB,\s\up6(→))|cs ∠BAM＝ eq \f(\r(3),3)×1× eq \f(\r(3),2)＝ eq \f(1,2).
答案：A
6．解析：∵ eq \(DE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(EC,\s\up6(→))， eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(FC,\s\up6(→))，∴ eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DE,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BF,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→)).又| eq \(AE,\s\up6(→))|＝ eq \r(2)，| eq \(AF,\s\up6(→))|＝ eq \r(6)，∴ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))＝ eq \r(2)， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AD,\s\up6(→))＋\(AB,\s\up6(→))))＝ eq \r(6)，
∴ eq \(AD,\s\up6(→))2＋ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,9) eq \(AB,\s\up6(→))2＝2， eq \f(1,9) eq \(AD,\s\up6(→))2＋ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))2＝6，
两式相减得 eq \f(8,9) eq \(AD,\s\up6(→))2－ eq \f(8,9) eq \(AB,\s\up6(→))2＝－4，∴ eq \(AD,\s\up6(→))2－ eq \(AB,\s\up6(→))2＝－ eq \f(9,2).
∴ eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(BD,\s\up6(→))＝( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→)))·( eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \(AD,\s\up6(→))2－ eq \(AB,\s\up6(→))2＝－ eq \f(9,2).
答案：B
7．解析：∵O为坐标原点， eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，1)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3，4)，∴A(1，1)，B(－3，4)，kAB＝－ eq \f(3,4)，则直线AB的方程为y＝－ eq \f(3,4)x＋ eq \f(7,4).
设P点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，－\f(3,4)x0＋\f(7,4)))，－3