2025高考数学一轮复习-5.4-复数-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-5.4-复数-专项训练【含答案】，共7页。
1．复数z＝ eq \f(2,i＋1)(i为虚数单位)的虚部是( )
A．－1 B．1
C．－i D．i
2．若复数z满足(1＋2i)z＝4＋3i，则 eq \x\t(z)等于( )
A．－2＋i B．－2－i
C．2＋i D．2－i
3．复数z＝ eq \f(－i,2＋i)－i5在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．已知复数z满足(1－i)2z＝2－4i，其中i为虚数单位，则复数 eq \x\t(z)的虚部为( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
5．已知复数z＝ eq \f(2＋6i,1－i)，i为虚数单位，则|z|等于( )
A．2 eq \r(2) B．2 eq \r(3)
C．2 eq \r(5) D．2 eq \r(6)
6．非零复数z满足 eq \x\t(z)＝－zi，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．实轴
B．虚轴
C．第一或第三象限
D．第二或第四象限
7．(多选)已知i为虚数单位，复数z＝ eq \f(3＋2i,2－i)，则以下说法正确的是( )
A．z在复平面内对应的点在第一象限
B．z的虚部是－ eq \f(7,5)
C．|z|＝3 eq \r(5)
D．若复数z1满足|z1－z|＝1，则|z1|的最大值为1＋ eq \f(\r(65),5)
8．若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
9．若复数z满足z·i＝2－i，则|z|＝________．
10．设O是坐标原点，向量 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量 eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是________．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．在复平面内，复数 eq \x\t(z)＝ eq \f(5i,3－4i)(i为虚数单位)，则z对应的点的坐标为( )
A．(3，4) B．(－4，3)
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，－\f(3,5))) D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－\f(3,5)))
2．(多选)设z为复数，则下列命题中正确的是( )
A．|z|2＝z· eq \x\t(z)
B．z2＝|z|2
C．若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2
D．若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2
3．已知复数z＝ eq \f(a＋2i,i)(a∈R，i是虚数单位)的虚部是－3，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．(多选)已知复数z1＝－2＋i(i为虚数单位)，复数z2满足|z2－1＋2i|＝2，z2在复平面内对应的点为M(x，y)，则下列说法正确的是( )
A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限
B． eq \f(1,z1)＝－ eq \f(2,5)－ eq \f(1,5)i
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝4
D．|z2－z1|的最大值为3 eq \r(2)＋2
5．(多选)欧拉公式exi＝cs x＋isin x(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是( )
A．复数e2i对应的点位于第三象限
B．eeq \s\up8(\f(π,2) i)为纯虚数
C．复数 eq \f(exi,\r(3)＋i)的模长等于 eq \f(1,2)
D．eeq \s\up8(\f(π,6) i)的共轭复数为 eq \f(1,2)－ eq \f(\r(3),2)i
6．方程z2－4|z|＋3＝0在复数集内解的个数为( )
A．4 B．5
C．6 D．8
7．若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则其另外一个根是________，a＝________．
8．已知复数z满足 eq \f(z－1,z＋1)是纯虚数，则|z2＋z＋3|的最小值为________．
9．已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且满足|z－2|＝1，则 eq \f(y,x)的取值范围是________．
在数学中，记表达式ad－bc为由 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))所确定的二阶行列式．若在复数域内，z1＝1＋i，z2＝ eq \f(2＋i,1－i)，z3＝ eq \x\t(z)2，则当 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1 z2,z3 z4))＝ eq \f(1,2)－i时，z4的虚部为________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：因为z＝ eq \f(2,i＋1)＝ eq \f(2(1－i),(i＋1)(1－i))＝ eq \f(2(1－i),2)＝1－i，所以复数z的虚部为－1.
答案：A
2．解析：由(1＋2i)z＝4＋3i⇒z＝ eq \f(4＋3i,1＋2i)＝ eq \f((4＋3i)(1－2i),(1＋2i)(1－2i))＝2－i，所以 eq \x\t(z)＝2＋i.
答案：C
3．解析：因为z＝ eq \f(－i,2＋i)－i5＝ eq \f(－i(2－i),(2＋i)(2－i))－i＝ eq \f(－1－2i,5)－i＝－ eq \f(1,5)－ eq \f(7,5)i，所以z在复平面内对应的点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)，－\f(7,5)))，位于第三象限．
答案：C
4．解析：由题意，化简得z＝ eq \f(2－4i,(1－i)2)＝ eq \f(2－4i,－2i)＝ eq \f(2i＋4,2)＝2＋i，则 eq \x\t(z)＝2－i，所以复数 eq \x\t(z)的虚部为－1.
答案：B
5．解析：z＝ eq \f((2＋6i)(1＋i),(1－i)(1＋i))＝ eq \f((2＋6i)(1＋i),2)＝(1＋3i)(1＋i)＝－2＋4i，|z|＝ eq \r(4＋16)＝2 eq \r(5).
答案：C
6．解析：由题意，设z＝a＋bi(a，b∈R)，
故 eq \x\t(z)＝－zi⇔a－bi＝－(a＋bi)i＝－ai＋b，
故a＝b，－b＝－a，
即复数z＝a＋ai，在复平面内对应的点位于第一或第三象限的角平分线上．
答案：C
7．解析：∵z＝ eq \f(3＋2i,2－i)＝ eq \f((3＋2i)(2＋i),(2－i)(2＋i))＝ eq \f(4,5)＋ eq \f(7,5)i，∴z在复平面内对应的点为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(7,5)))，在第一象限，故A正确；
z的虚部是 eq \f(7,5)，故B不正确；|z|＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(65),5)，故C不正确；
设z1＝x＋yi，x，y∈R，由|z1－z|＝1得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,5))) eq \s\up12(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(7,5))) eq \s\up12(2)＝1，则点(x，y)在以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(7,5)))为圆心，以1为半径的圆上，则(x，y)到(0，0)的距离的最大值为1＋ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)))\s\up12(2))＝1＋ eq \f(\r(65),5)，即|z1|的最大值为1＋ eq \f(\r(65),5)，故D正确．
答案：AD
8．解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，由已知，得a＋2＝0，1－2a≠0，∴a＝－2.
答案：－2
9．解析：由z·i＝2－i，得z＝ eq \f(2－i,i)＝ eq \f((2－i)(－i),－i2)＝－1－2i，∴|z|＝ eq \r((－1)2＋(－2)2)＝ eq \r(5).
答案： eq \r(5)
10．解析：∵向量 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，∴ eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(－3，2)，∴ eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→))＝(5，－5)，其对应的复数是5－5i.
答案：5－5i
11．解析：z＝i＋i2 024＝i＋1， eq \x\t(z)＋ eq \f(10,z)＝1－i＋ eq \f(10,1＋i)＝6－6i，其模为6 eq \r(2).
答案：6 eq \r(2)
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1．解析：因为 eq \x\t(z)＝ eq \f(5i,3－4i)＝ eq \f(5i(3＋4i),(3－4i)(3＋4i))＝ eq \f(3i－4,5)＝－ eq \f(4,5)＋ eq \f(3,5)i，所以z＝－ eq \f(4,5)－ eq \f(3,5)i，所以复数z所对应的点的坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，－\f(3,5))).
答案：D
2．解析：对于A，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 eq \x\t(z)＝a－bi，所以|z|2＝a2＋b2，而z· eq \x\t(z)＝a2＋b2，所以|z|2＝z· eq \x\t(z)成立；
对于B，z＝a＋bi(a，b∈R)，当ab均不为0时，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；
对于C，|z|＝1可以看成以O(0，0)为圆心、1为半径的圆上的点P，|z＋i|可以看成点P到Q(0，－1)的距离，所以当P(0，1)时，可取|z＋i|的最大值2；
对于D，|z－1|＝1可以看成以M(1，0)为圆心、1为半径的圆上的点N，则|z|表示点N到原点的距离，故当O，N重合时，|z|＝0最小，当O，M，N三点共线时，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2.
答案：ACD
3．解析：由题意，z＝ eq \f(a＋2i,i)＝ eq \f(ai＋2i2,i2)＝2－ai的虚部是－3，所以z在复平面内对应的点的坐标为(2，－3)，在第四象限．
答案：D
4．解析：对于A，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，该点位于第二象限，故A正确；
对于B， eq \f(1,z1)＝ eq \f(1,－2＋i)＝ eq \f(－2－i,(－2＋i)(－2－i))＝－ eq \f(2,5)－ eq \f(1,5)i，故B正确；
对于C，z2－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，
∵|z2－1＋2i|＝2，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，z1－1＋2i＝－3＋3i，则|z1－1＋2i|＝ eq \r((－3)2＋32)＝3 eq \r(2).
|z2－z1|＝|(z2－1＋2i)－(z1－1＋2i)|≤|z2－1＋2i|＋|z1－1＋2i|＝2＋3 eq \r(2)，故D正确．
答案：ABD
5．解析：对于A，e2i＝cs 2＋isin 2，∵2∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴cs 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故A错误；
对于B，eeq \s\up8(\f(π,2) i)＝cs eq \f(π,2)＋isin eq \f(π,2)＝i，可得eeq \s\up8(\f(π,2) i)为纯虚数，故B正确；对于C， eq \f(exi,\r(3)＋i)＝ eq \f(cs x＋isin x,\r(3)＋i)＝ eq \f((cs x＋isin x)(\r(3)－i),(\r(3)＋i)(\r(3)－i))
＝ eq \f(\r(3)cs x＋sin x,4)＋ eq \f(\r(3)sin x－cs x,4)i，
可得其模长为
eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)cs x＋sin x,4)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)sin x－cs x,4)))\s\up12(2))＝ eq \f(1,2)，故C正确；
对于D，eeq \s\up8(\f(π,6) i)＝cs eq \f(π,6)＋isin eq \f(π,6)＝ eq \f(\r(3),2)＋ eq \f(1,2)i，可得eeq \s\up8(\f(π,6) i)的共轭复数为 eq \f(\r(3),2)－ eq \f(1,2)i，故D错误．
答案：BC
6．解析：令z＝a＋bi(a，b∈R)，则a2－b2＋2abi－4 eq \r(a2＋b2)＋3＝0，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2ab＝0，,a2－b2－4\r(a2＋b2)＋3＝0.))
当b＝0时，a2－4|a|＋3＝0，a＝±1或a＝±3；
当a＝0时，b2＋4|b|－3＝0，|b|＝－2＋ eq \r(7)或|b|＝－2－ eq \r(7)(舍)，即b＝±( eq \r(7)－2).
综上，共有6个解，z＝±1，z＝±3，z＝±( eq \r(7)－2)i.
答案：C
7．解析：设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.
答案：2＋3i 13
8．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则 eq \f(z－1,z＋1)＝ eq \f(a2＋b2－1＋2bi,(a＋1)2＋b2).
因为 eq \f(z－1,z＋1)为纯虚数，所以a2＋b2＝1(b≠0)，所以a2＝1－b2，所以－1＜a＜1.
所以|z2＋z＋3|＝|a2－b2＋2abi＋a＋bi＋3|
＝|a2－b2＋a＋3＋(2ab＋b)i|＝ eq \r((a2－b2＋a＋3)2＋b2(2a＋1)2)
＝ eq \r(12a2＋8a＋5)＝ eq \r(12\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,3)))\s\up12(2)＋\f(11,3)).
当a＝－ eq \f(1,3)时，|z2＋z＋3|取得最小值，最小值为 eq \f(\r(33),3).
答案： eq \f(\r(33),3)
9．解析：复数z＝x＋yi，且|z－2|＝1，所以(x－2)2＋y2＝1，
它表示圆心为(2，0)、半径为1的圆，则 eq \f(y,x)表示圆上的点与原点连线的斜率．
由题意设过点O且与圆相切的直线方程为
y＝kx，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((x－2)2＋y2＝1，,y＝kx，))消去y，整理得(k2＋1)x2－4x＋3＝0，
由Δ＝16－12(k2＋1)＝0，解得k＝－ eq \f(\r(3),3)或k＝ eq \f(\r(3),3)，
由题意得 eq \f(y,x)的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).
答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
10．解析：依题意知， eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(z1 z2,z3 z4))＝z1z4－z2z3.因为z3＝ eq \x\t(z)2，且z2＝ eq \f(2＋i,1－i)＝ eq \f((2＋i)(1＋i),2)＝ eq \f(1＋3i,2)，所以z2z3＝|z2|2＝ eq \f(5,2)，因此有(1＋i)z4－ eq \f(5,2)＝ eq \f(1,2)－i，即(1＋i)z4＝3－i，故z4＝ eq \f(3－i,1＋i)＝ eq \f((3－i)(1－i),2)＝1－2i，所以z4的虚部是－2.
答案：－2.