2025高考数学一轮复习-7.1-基本立体图形及简单几何体的表面积和体积-专项训练【含答案】

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1．下列说法中，正确的是( )
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形
C.正方体的所有棱长都相等
D.棱柱的所有棱长都相等
2．一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为( )
A.2 eq \r(3) cm2 B．2 eq \r(6) cm2
C.4 eq \r(6) cm2 D．8 eq \r(3) cm2
3．在正四棱锥P­ABCD中，PA＝6，且PA与底面所成的角为60°，则该四棱锥的体积为( )
A.16 B．18 eq \r(3)
C.36 eq \r(3) D．54 eq \r(3)
4．已知圆锥的底面周长为6π，其侧面展开图的圆心角为 eq \f(2,3)π，则该圆锥的高为( )
A.6 eq \r(2) B．9
C.3 D．3 eq \r(2)
5．如图是战国时期的一个铜镞，其由两部分组成，前段是高为2 cm、底面边长为1 cm的正三棱锥，后段是高为0.6 cm的圆柱，圆柱底面圆与正三棱锥底面的正三角形内切，则此铜镞的体积约为( )
cm3 B．0.65 cm3
cm3 D．0.45 cm3
6．已知圆台下底面的半径为2、高为2、母线长为 eq \r(5)，则这个圆台的体积为( )
A. eq \f(14,3)π B． eq \f(7,2)π
C. eq \f(14,5)π D． eq \f(7,3)π
7．在我国古代数学名著《数书九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为( )
A.2丈4尺 B．2丈5尺
C.2丈6尺 D．2丈8尺
8．如图是水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
9．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
10．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E­BCD的体积是________．
11．在三棱锥P­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D­ABE的体积为V1，P­ABC的体积为V2，则 eq \f(V1,V2)＝________．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，O为底面四边形的中心．若存在点O′到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于d，则d＝( )
A. eq \f(\r(5)－1,2) B． eq \f(\r(3)－1,2)
C. eq \f(\r(3)－\r(2),2) D． eq \f(\r(6)－\r(2),2)
2．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为 eq \f(2π,3).若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为( )
A.15 B． eq \r(223)
C.10 eq \r(2) D．12
3．(多选)如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB＝ED＝2FB，记三棱锥E­ACD，F­ABC，F­ACE的体积分别为V1，V2，V3，则( )
A.V3＝2V2
B.V3＝V1
C.V3＝V1＋V2
D.2V3＝3V1
4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点．若平面AMN截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面为五边形，则线段BM的取值范围是( )
A. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))) B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)))
5．如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1的体积为V，点M，N分别为棱AA1，CC1的中点，则棱锥B­AMNC的体积为________．
6．某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱组成．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，则这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为________，体积为________cm3.
7．已知球O是圆锥PO1的外接球，圆锥PO1的母线长是底面半径的3倍，且球O的表面积为 eq \f(81π,8)，则圆锥PO1的侧面积为________．
8．如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：棱柱的侧面都是平行四边形，A错误；其他侧面可能是平行四边形，B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，D错误；易知C正确．
答案：C
2．解析：直观图的面积为 eq \f(\r(2),4)× eq \f(\r(3),2)×42＝2 eq \r(6)(cm2).
答案：B
3．解析：设四棱锥的高h＝PA·sin 60°＝6× eq \f(\r(3),2)＝3 eq \r(3)，AC＝PA＝6，则该四棱锥的体积V＝ eq \f(1,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×6×6))×3 eq \r(3)＝18 eq \r(3).
答案：B
4．解析：由题意得，该圆锥的底面半径r＝ eq \f(6π,2π)＝3，母线长l＝ eq \f(6π,\f(2,3)π)＝9，所以该圆锥的高h＝ eq \r(l2－r2)＝6 eq \r(2).
答案：A
5．解析：设正三棱锥底面正三角形的内切圆半径为r，
由等面积法，可得 eq \f(1,2)×1×1×sin 60°＝ eq \f(1,2)×(1＋1＋1)r，解得r＝ eq \f(\r(3),6).
由三棱锥体积公式与圆柱体积公式可得，
所求体积V＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)×1×1×sin 60°×2＋π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),6))) eq \s\up12(2)×0.6≈0.45(cm3).
答案：D
6．解析：设圆台上底面的半径为r，下底面半径为R，高为h，
则有( eq \r(5))2＝(2－r)2＋22，解得r＝1或r＝3(舍去).
圆台的体积V＝ eq \f(1,3)πh(r2＋R2＋rR)＝ eq \f(1,3)×π×2×(12＋22＋2×1)＝ eq \f(14,3)π.
答案：A
7．解析：如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，一条直角边(即圆木的高)长AB＝24尺，另一条直角边长BE＝5尺，因此葛藤绕圆木2周后最少长为BD＝ eq \r(AB2＋(2BE)2)＝ eq \r(242＋102)＝26(尺)，即为2丈6尺．
答案：C
8．解析：利用斜二测画法作正方形ABCO的直观图如图，在坐标系x′O′y′中，
B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.过点B′作x′轴的垂线，垂足为点D′.
在Rt△B′D′C′中，B′D′＝B′C′sin 45°＝1× eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(\r(2),2).
答案： eq \f(\r(2),2)
9．解析：将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．
由题意得所求侧面展开图的面积S＝ eq \f(1,2)×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2).
答案：2 600π
10．解析：设BC＝a，CD＝b，CC1＝c，则abc＝120，
∴VE­BCD＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)ab× eq \f(1,2)c＝ eq \f(1,12)abc＝10.
答案：10
11．解析：如图，设S△ABD＝S1，S△PAB＝S2，E到平面ABD的距离为h1，C到平面PAB的距离为h2，则S2＝2S1，h2＝2h1，V1＝ eq \f(1,3)S1h1，V2＝ eq \f(1,3)S2h2，∴ eq \f(V1,V2)＝ eq \f(S1h1,S2h2)＝ eq \f(1,4).
答案： eq \f(1,4)
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1．解析：如图，在正四棱锥S­ABCD中，连接OS，取BC的中点E，连接OE，SE，
易知点O′在线段OS上，过O′作O′F⊥SE，交SE于点F，
易知O′F⊥平面SBC.设∠OSE＝α，
由题意可得OE＝1，SO＝2，O′F＝OO′＝d，则SO′＝SO－OO′＝2－d，
sin α＝ eq \f(OE,SE)＝ eq \f(O′F,SO′)，即 eq \f(1,\r(22＋12))＝ eq \f(d,2－d)，解得d＝ eq \f(\r(5)－1,2).
答案：A
2．解析：由题意知该几何体为圆台，如图所示，其中AB，CD分别为上、下底面圆的直径，
设圆台的上底面圆的半径为r1，圆心为O1，下底面圆的半径为r2，圆心为O2，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2πr1＝12×\f(2π,3)＝8π，,2πr2＝27×\f(2π,3)＝18π，))得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r1＝4，,r2＝9，))
过点A作AM⊥CD，交CD于点M，连接O1O2，则四边形AO1O2M为矩形，
所以△ADM为直角三角形，AO1＝MO2，AM＝O1O2.圆台的母线长l＝AD＝27－12＝15，
所以圆台的高h＝AM＝ eq \r(\a\vs4\al(AD2－DM2))＝ eq \r(152－(r2－r1)2)＝10 eq \r(2).
答案：C
3．解析：因为ED⊥平面ABCD，且FB∥ED，所以FB⊥平面ABCD.
设AB＝ED＝2FB＝2a，则FB＝a，
则V1＝ eq \f(1,3)S△ACD·ED＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)·2a·2a·2a＝ eq \f(4,3)a3，
所以V2＝ eq \f(1,2)V1＝ eq \f(2,3)a3.如图，连接BD，交AC于O，连接OE，OF.
易证AC⊥平面BDEF.S△EOF＝S梯形BDEF－S△ODE－S△OBF＝ eq \f(1,2)(a＋2a)×2 eq \r(2)a－ eq \f(1,2)×2a× eq \r(2)a－ eq \f(1,2)×a× eq \r(2)a＝ eq \f(3\r(2),2)a2，故V3＝ eq \f(1,3)S△EOF·AO×2＝ eq \f(1,3)× eq \f(3\r(2),2)a2× eq \r(2)a×2＝2a3，
故V1＋V2＝V3，2V3＝3V1成立．
答案：CD
4．解析：∵正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为1，
∴正方体的棱长为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，
当点M为线段BC的中点时，MN∥AD1，A，M，N，D1共面，截面为四边形AMND1，如图，
即BM＝ eq \f(1,2)，不合题意，排除选项A，C，D；当BM> eq \f(1,2)时，截面为五边形，如图，符合题意，
即平面AMN截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面为五边形，线段BM的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
答案：B
5．解析：如图，连接AN，
对于三棱锥B­ACN，B­AMN，显然它们等底同高，故VB­ACN＝VB­AMN，而VB­ACN＝VN­ABC，
注意到CN＝C1N，
于是三棱锥N­ABC的高是三棱柱ABC­A1B1C1高的一半，且它们都以△ABC为底面，
故VN­ABC＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)V＝ eq \f(1,6)V，故VB­AMNC＝2× eq \f(1,6)V＝ eq \f(1,3)V.
答案： eq \f(1,3)V
6．解析：易知两个正四棱柱的公共部分为两个正四棱锥拼接而成，且两个正四棱锥的底面重合，所以公共部分构成的多面体的面数为8，因为正四棱柱的底面边长为3，则公共部分的两个正四棱锥的底面边长为3 eq \r(2)，高为 eq \f(3\r(2),2)，
所以体积V＝ eq \f(1,3)×2×(3 eq \r(2))2× eq \f(3\r(2),2)＝18 eq \r(2)(cm3).
答案：8 18 eq \r(2)
7．解析：如图，设O1B＝r，球O的半径为R，则PB＝3r，球O的表面积为4πR2＝ eq \f(81π,8)，得R2＝ eq \f(81,32)，PO1＝ eq \r(PB2－r2)＝2 eq \r(2)r.
在Rt△OO1B中，R2＝(PO1－R)2＋r2，即R2＝(2 eq \r(2)r－R)2＋r2，解得r＝1，
故圆锥PO1的侧面积为πr·PB＝3π.
答案：3π
8．解析：如图，过BC作与EF垂直的截面BCG，作平面ADM∥平面BCG，取BC的中点O，
连接GO，FO，由题意可得FO＝ eq \f(\r(3),2)，FG＝ eq \f(1,2)，所以GO＝ eq \r(FO2－FG2)＝ eq \f(\r(2),2)，所以S△BCG＝ eq \f(1,2)×1× eq \f(\r(2),2)＝ eq \f(\r(2),4)，VBCG­ADM＝S△BCG·AB＝ eq \f(\r(2),4)，
2VF­BCG＝2× eq \f(1,3)S△BCG·GF＝2× eq \f(1,3)× eq \f(\r(2),4)× eq \f(1,2)＝ eq \f(\r(2),12)，
所以V多面体ABCDEF＝ eq \f(\r(2),4)＋ eq \f(\r(2),12)＝ eq \f(\r(2),3).
答案： eq \f(\r(2),3)