2025高考数学一轮复习-7.2-球及组合体-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.2-球及组合体-专项训练【含答案】，共12页。
1．正方体的外接球与内切球的表面积比值为( )
A． eq \r(3) B．3 eq \r(3)
C．3 D． eq \f(1,3)
2．在四面体ABCD中，若AB＝CD＝ eq \r(3)，AC＝BD＝2，AD＝BC＝ eq \r(5)，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )
A．2π B．4π
C．6π D．8π
3．已知三棱锥S­ABC的棱SA⊥底面ABC.若SA＝2，AB＝AC＝BC＝3，则其外接球的表面积为( )
A．4π B．8π
C． eq \f(32π,3) D．16π
4．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A． eq \f(\r(2),6) B． eq \f(\r(3),6)
C． eq \f(\r(2),3) D． eq \f(\r(2),2)
5．在Rt△ABC中，CA＝CB＝ eq \r(2)，以AB为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为( )
A． eq \f(\r(2)π,3) B． eq \f(8\r(2)π,3)
C．2π D． eq \f(2π,3)
6．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )
A． eq \f(3\r(17),2) B．2 eq \r(10)
C． eq \f(13,2) D．3 eq \r(10)
7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )
A．16π B．20π
C．24π D．32π
8．已知一个圆锥的母线长为2 eq \r(6)，侧面展开图是圆心角为 eq \f(2\r(3)π,3)的扇形，则该圆锥的外接球的体积为( )
A．36π B．48π
C．36 D．24 eq \r(2)
9．在三棱锥A­BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为________．
10．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的体积与球的体积之比为________，圆柱的表面积与球的表面积之比为________．
11．如图，在底面边长为4，高为6的正四棱柱中有两个球，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为________．
12．在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AB＝2 eq \r(3)，AC＝4，∠BAC＝30°，则该三棱锥外接球的体积为________．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A． eq \f(1,3) B． eq \f(1,2)
C． eq \f(\r(3),3) D． eq \f(\r(2),2)
2．已知正四棱锥P­ABCD内接于一个半径为R的球，则正四棱锥P­ABCD的体积的最大值是( )
A． eq \f(16πR3,81) B． eq \f(32R3,81)
C． eq \f(64R3,81) D．R3
3．设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9 eq \r(3)，则三棱锥D­ABC体积的最大值为( )
A．12 eq \r(3) B．18 eq \r(3)
C．24 eq \r(3) D．54 eq \r(3)
4．已知三棱锥S­ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA＝SB＝SC＝AB＝2.设S，A，B，C四点均在以点O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为( )
A． eq \f(\r(3),3) B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(\r(6),3) D． eq \f(\r(2),4)
5．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝6，AC＝4，则球的表面积为________．
6．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
7．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ eq \r(3)，E是CD边的中点．现以AE为折痕将△ADE折起．当三棱锥D­ABE的体积最大时，该三棱锥外接球的体积为________．
8．已知正三棱锥A­BCD的底面是边长为2 eq \r(3)的等边三角形，其内切球的表面积为π，且和各侧面分别相切于点F，M，N，则△FMN的周长为________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1，
则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R＝ eq \r(3)，所以R＝ eq \f(\r(3),2)，
正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r＝1，即r＝ eq \f(1,2)，所以 eq \f(R,r)＝ eq \r(3)，
所以正方体的外接球与内切球的表面积比值为 eq \f(4πR2,4πr2)＝ eq \f(R2,r2)＝3.
答案：C
2．解析：由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD的对棱相等，
所以将四面体放入如图所示的长、宽、高分别为x，y，z的长方体中，
并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，
则有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R为外接球的半径)，得R2＝ eq \f(3,2)，
所以四面体ABCD的外接球的表面积为S＝4πR2＝6π.
答案：C
3．解析：等边三角形ABC的外接圆直径2r＝ eq \f(3,sin \f(π,3))，解得r＝ eq \r(3).
设外接球的半径为R，则R2＝r2＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(SA,2))) eq \s\up12(2)＝3＋1＝4，
所以其外接球的表面积为S＝4πR2＝16π.
答案：D
4．解析：由于三棱锥S­ABC与三棱锥O­ABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S­ABC的高是三棱锥O­ABC高的2倍，所以三棱锥S­ABC的体积也是三棱锥O­ABC体积的2倍．在三棱锥O­ABC中，其棱长都是1，如图所示，
S△ABC＝ eq \f(\r(3),4)×AB2＝ eq \f(\r(3),4)，高OD＝ eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(6),3)，
∴VS­ABC＝2VO­ABC＝2× eq \f(1,3)× eq \f(\r(3),4)× eq \f(\r(6),3)＝ eq \f(\r(2),6).
答案：A
5．解析：如图所示，旋转体的轴截面为边长为 eq \r(2)的正方形，
设O为内切球的球心．内切球半径r＝ eq \f(1,2)AC＝ eq \f(\r(2),2)，
所以该几何体的内切球的体积为 eq \f(4,3)×π× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(\r(2)π,3).
答案：A
6．解析：如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.
又AM＝ eq \f(1,2)BC＝ eq \f(5,2)，OM＝ eq \f(1,2)AA1＝6，
所以球O的半径R＝OA＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up12(2)＋62)＝ eq \f(13,2).
答案：C
7．解析：如图所示，在正四棱锥P­ABCD中，O1为底面对角线的交点，O为外接球的球心．因为VP­ABCD＝ eq \f(1,3)×S正方形ABCD×3＝6，
所以S正方形ABCD＝6，即AB＝ eq \r(6).因为O1C＝ eq \f(1,2) eq \r(6＋6)＝ eq \r(3).
设正四棱锥外接球的半径为R，则OC＝R，OO1＝3－R，所以(3－R)2＋( eq \r(3))2＝R2，解得R＝2.
所以外接球的表面积为4π×22＝16π.
答案：A
8．解析：设圆锥的底面半径为r，由侧面展开图是圆心角为 eq \f(2\r(3)π,3)的扇形，得2πr＝ eq \f(2\r(3)π,3)×2 eq \r(6)，解得r＝2 eq \r(2).作出圆锥的轴截面如图所示．
设圆锥的高为h，则h＝ eq \r((2\r(6))2－(2\r(2))2)＝4.
设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R，则有R＝ eq \r((h－R)2＋r2)，
即R＝ eq \r((4－R)2＋(2\r(2))2)，解得R＝3，
所以该圆锥的外接球的体积为V＝ eq \f(4πR3,3)＝ eq \f(4π×33,3)＝36π.
答案：A
9．解析：根据题意得，BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥A­BCD放置于长方体内，如图所示，
该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点，
即外接球的半径为长方体体对角线长的一半，此时AC为长方体的体对角线，即为外接球的直径，
所以该球的表面积S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.
答案：20π
10．解析：由题意，设圆柱底面半径为r，球的半径为R，
则R＝r，圆柱的高h＝2R，则V球＝ eq \f(4,3)πR3，V柱＝πr2h＝π·R2·2R＝2πR3.
∴ eq \f(V柱,V球)＝ eq \f(2πR3,\f(4,3)πR3)＝ eq \f(3,2).又∵S球＝4πR2，S柱＝2πr2＋2πrh＝2πR2＋2πR·2R＝6πR2.
∴ eq \f(S柱,S球)＝ eq \f(6πR2,4πR2)＝ eq \f(3,2).
答案： eq \f(3,2) eq \f(3,2)
11．解析：由题意可知大球的半径R＝2，
设小球的半径为r(0＜r＜2)，
大球的球心为O，小球的球心为C，E为小球与上底面的切点，如图所示，
连接CO，CE，过点O作OD⊥CE交EC的延长线于点D，
由题意可知，OD＝2 eq \r(2)－ eq \r(2)r，CD＝4－r，CO＝2＋r.由CO2＝CD2＋OD2，
得(2＋r)2＝(4－r)2＋(2 eq \r(2)－ eq \r(2)r)2，即r2－10r＋10＝0，r∈(0，2)，解得r＝5－ eq \r(15).
答案：5－ eq \r(15)
12．解析：如图所示，在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝(2 eq \r(3))2＋42－2×2 eq \r(3)×4·cs 30°＝4.所以AB2＋BC2＝16＝AC2，即△ABC为直角三角形．
故△ABC外接圆的圆心为斜边AC的中点．取AC的中点为O1，连接PO1，则PO1⊥AC.
由平面PAC⊥平面ABC，得PO1⊥平面ABC，该三棱锥外接球的球心在线段PO1上．
设球心为O，连接OA，则OA＝OP，且均为外接球的半径．
在Rt△PO1A中，PO1＝ eq \r((2\r(3))2－22)＝2 eq \r(2).在Rt△OO1A中，OA2＝OO eq \\al(2,1)＋AO eq \\al(2,1)，即R2＝(2 eq \r(2)－R)2＋4，则R＝ eq \f(3\r(2),2).所以外接球的体积V＝ eq \f(4,3)πR3＝ eq \f(4,3)π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),2))) eq \s\up12(3)＝9 eq \r(2)π.
答案：9 eq \r(2)π
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．解析：如图，设∠AO1D＝α1，∠AO1B＝α2，∠BO1C＝α3，∠CO1D＝α4，球O的半径为R，四棱锥的底面所在圆O1的半径为r，
则R＝1，S四边形ABCD＝ eq \f(1,2)r2(sin α1＋sin α2＋sin α3＋sin α4)，
当且仅当α1＝α2＝α3＝α4＝ eq \f(π,2)时，四边形ABCD的面积最大，最大为2r2，此时四边形ABCD为正方形．
在△OO1C中，设高OO1＝h，则h＝ eq \r(R2－r2)＝ eq \r(1－r2)，
V四棱锥O­ABCD＝ eq \f(1,3)S正方形ABCDh＝ eq \f(1,3)×2r2 eq \r(1－r2)(0＜r＜1)，
令r2＝t，则V四棱锥O­ABCD＝ eq \f(2,3)t eq \r(1－t)＝ eq \f(2,3) eq \r(t2－t3)(0＜t＜1)，
设f(t)＝t2－t3，则f′(t)＝2t－3t2＝t(2－3t)，
当t∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3)))时，f′(t)＞0，则f(t)单调递增；
当t∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1))时，f′(t)＜0，则f(t)单调递减，
∴t＝ eq \f(2,3)时，f(t)取得最大值，且f(t)max＝ eq \f(4,27)，
∴(V四棱锥O­ABCD)max＝ eq \f(4\r(3),27)，此时高h＝ eq \r(1－r2)＝ eq \f(\r(3),3).
答案：C
2．解析：如图，记O为正四棱锥P­ABCD的外接球的球心，O1为底面ABCD的中心，则P，O，O1三点共线，连接PO1，OA，O1A.设OO1＝x，则O1A＝ eq \r(R2－x2)，AB＝ eq \r(2)· eq \r(R2－x2)，PO1＝R＋x，所以正四棱锥P­ABCD的体积V＝ eq \f(1,3)AB2×PO1＝ eq \f(1,3)×2(R2－x2)×(R＋x)＝ eq \f(1,3)×(2R－2x)(R＋x)×(R＋x)≤ eq \f(1,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f((2R－2x)＋(R＋x)＋(R＋x),3))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(64R3,81)，
当且仅当2R－2x＝R＋x，即x＝ eq \f(R,3)时取等号．
答案：C
3．解析：由等边△ABC的面积为9 eq \r(3)可得 eq \f(\r(3),4)AB2＝9 eq \r(3)，
所以AB＝6，
所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝ eq \f(\r(3),3)AB＝2 eq \r(3).
设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝ eq \r(R2－r2)＝ eq \r(16－12)＝2.
所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，
所以三棱锥D­ABC体积的最大值为 eq \f(1,3)×9 eq \r(3)×6＝18 eq \r(3).
答案：B
4．解析：取AB的中点D，连接CD，SD，如图，
因为AB是等腰直角三角形ABC的斜边，
所以D是球O被平面ABC所截圆的圆心，CD＝1.又SA＝SB＝SC＝AB＝2，点D是AB的中点，则有SD⊥AB，SD＝ eq \r(3)，而SD2＋CD2＝4＝SC2，
所以∠SDC＝90°，即SD⊥CD.而CD∩AB＝D，CD，AB⊂平面 ABC，则SD⊥平面ABC.
由球的截面圆性质知，球心O在直线SD上，球半径R＝ eq \r(3)－OD或R＝ eq \r(3)＋OD.
由R2＝OD2＋12，
即( eq \r(3)－OD)2＝OD2＋12，解得OD＝ eq \f(\r(3),3)，或( eq \r(3)＋OD)2＝OD2＋12，解得OD＝－ eq \f(\r(3),3)(舍)，
所以点O到平面ABC的距离为 eq \f(\r(3),3).
答案：A
5．解析：如图所示，设截面圆心为O1，连接BO，BO1，OO1，则OO1⊥BO1.
在△ABC中，cs ∠ABC＝ eq \f(62＋62－42,2×6×6)＝ eq \f(7,9)，∴sin ∠ABC＝ eq \f(4\r(2),9)，
∴BO1＝ eq \f(AC,2sin ∠ABC)＝ eq \f(9\r(2),4).
∵OB＝2OO1，OO1⊥BO1，∴∠OBO1＝ eq \f(π,6)，
∴BO＝ eq \f(BO1,cs \f(π,6))＝ eq \f(3\r(6),2)，∴球的表面积S＝4πR2＝54π.
答案：54π
6．解析：圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝2 eq \r(2)，△PEO∽△PDB，故 eq \f(PO,PB)＝ eq \f(OE,DB)，即 eq \f(2\r(2)－r,3)＝ eq \f(r,1)，解得r＝ eq \f(\r(2),2)，故内切球的体积为 eq \f(4,3)π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(\r(2),3)π.
答案： eq \f(\r(2),3)π
7．解析：如图，过点D作DF⊥AE交AE于点F，
AB＝2，AD＝ eq \r(3)，DE＝1，AE＝BE＝2.在Rt△ADE中，有 eq \f(1,2)·AD·DE＝ eq \f(1,2)·AE·DF，
则DF＝ eq \f(\r(3),2)，EF＝ eq \r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)))\s\up12(2))＝ eq \f(1,2)，△ABE是等边三角形，边长为2.
由 eq \f(2,sin 60°)＝ eq \f(4\r(3),3)，可得△ABE外接圆的半径为 eq \f(2\r(3),3).
设其外接圆圆心为O，连接BO，并延长BO交AE于点M，
则BM⊥AE，OB＝ eq \f(2\r(3),3)，OM＝ eq \f(1,2)OB，ME＝BE·cs 60°＝2× eq \f(1,2)＝1，
所以在△OMF中，OF＝ eq \r(OM2＋MF2)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)OB))\s\up12(2)＋(ME－EF)2)＝ eq \r(\f(1,3)＋\f(1,4))＝ eq \f(\r(21),6)，
当平面ADE⊥平面ABE时，三棱锥D­ABE的体积最大，此时DF⊥平面ABE，
由于OD＝ eq \r(OF2＋DF2)＝ eq \r(\f(7,12)＋\f(3,4))＝ eq \f(2\r(3),3)，OD＝OB，
所以O是三棱锥D­ABE外接球的球心，设外接球半径为R，则R＝ eq \f(2\r(3),3)，
所以外接球的体积为 eq \f(4π,3)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(32\r(3)π,27).
答案： eq \f(32\r(3)π,27)
8．解析：设三棱锥A­BCD的内切球球心为O，球O切三棱锥的侧面ACD于点F，取CD的中点E(如图)，连接BE，
设正三角形BCD的中心为点G，则G在线段BE上．
连接AG，设AG＝h，△BCD的外接圆半径为BG＝ eq \f(2\r(3),2sin 60°)＝2，则GE＝ eq \f(1,2)BG＝1.
∵AC＝AD，E为CD的中点，∴AE⊥CD，AE＝ eq \r(AG2＋GE2)＝ eq \r(h2＋1).
设球O的半径为r，则4πr2＝π，解得r＝ eq \f(1,2)，即OF＝OG＝ eq \f(1,2).
由正棱锥的性质可知，AG⊥平面BCD.∵BE⊂平面BCD，∴AG⊥BE.
∵OF⊥AE，∴sin ∠EAG＝ eq \f(OF,OA)＝ eq \f(GE,AE)，即 eq \f(\f(1,2),h－\f(1,2))＝ eq \f(1,\r(h2＋1))，解得h＝ eq \f(4,3)，
∴OA＝AG－OG＝ eq \f(4,3)－ eq \f(1,2)＝ eq \f(5,6)，AF＝ eq \r(AO2－OF2)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,6)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝ eq \f(2,3).
取BC的中点H，连接AH，EH，DH.
设球O切侧面ABC于点M，连接FM，同理可得AM＝ eq \f(2,3)，AH＝AE＝ eq \f(5,3).
∵H，E分别为BC，CD的中点，∴EH＝ eq \f(1,2)BD＝ eq \r(3).∵ eq \f(AF,AE)＝ eq \f(AM,AH)＝ eq \f(2,5)，则FM∥EH，
且 eq \f(FM,EH)＝ eq \f(AF,AE)＝ eq \f(2,5)，∴FM＝ eq \f(2,5)EH＝ eq \f(2\r(3),5).
设BD的中点为Q，连接EQ，HQ，则EQ＝HQ＝EH＝ eq \r(3)，故△EHQ为等边三角形，
设球O切侧面ABD于点N，连接NM，NF，易知△FMN为等边三角形，
故△FMN的周长为3× eq \f(2\r(3),5)＝ eq \f(6\r(3),5).
答案： eq \f(6\r(3),5).