2025高考数学一轮复习-7.6-空间向量及其运算-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.6-空间向量及其运算-专项训练【含答案】，共7页。
1．已知a＝(2，1，－3)，b＝(0，－3，2)，c＝(－2，1，2)，则a·(b＋c)等于( )
A．18 B．－18
C．3 eq \r(2) D．－3 eq \r(2)
2．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(1，1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为( )
A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,3)
C． eq \f(2π,3) D． eq \f(5π,6)
3．已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ).若a∥b，则λ与μ的值可以是( )
A．2， eq \f(1,2)
B．－ eq \f(1,3)， eq \f(1,2)
C．－3，2
D．2，2
4．(多选)已知ABCD­A1B1C1D1为正方体，则下列说法正确的是( )
A．( eq \(A1A,\s\up6(→))＋ eq \(A1D1,\s\up6(→))＋ eq \(A1B1,\s\up6(→)))2＝3 eq \(A1B1,\s\up6(→))2
B． eq \(A1C,\s\up6(→))·( eq \(A1B1,\s\up6(→))－ eq \(A1A,\s\up6(→)))＝0
C．向量 eq \(AD1,\s\up6(→))与向量 eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角是60°
D．正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为| eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AA1,\s\up6(→))|
5．如图，在四面体OABC中， eq \(OA,\s\up6(→))＝a， eq \(OB,\s\up6(→))＝b， eq \(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则 eq \(MN,\s\up6(→))＝________．
6．若空间中三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，则p＋q＝________．
7．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足 eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))).
(1)判断 eq \(MA,\s\up6(→))， eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
8．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.
(1)求AC1的长；
(2)求 eq \(BD1,\s\up6(→))与 eq \(AC,\s\up6(→))夹角的余弦值．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝0， eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝0， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝0，M为BC的中点，则△AMD是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
2．如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点， eq \(AF,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(AG,\s\up6(→))＝2 eq \(GA1,\s\up6(→))，AC1与平面EFG交于点M，则 eq \f(AM,AC1)＝________．
3．已知O(0，0，0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，点Q在直线OP上运动．当 eq \(QA,\s\up6(→))· eq \(QB,\s\up6(→))取最小值时，点Q的坐标是________．
4．已知A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4).
(1)求〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))〉；
(2)求 eq \(AC,\s\up6(→))在 eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量．
5．已知在空间几何体ABCDE中，△ABC，△ECD是全等的正三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面ECD⊥平面BCD.
(1)若BD＝ eq \r(2)BC，求证：BC⊥ED.
(2)探索A，B，D，E四点是否共面．若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：因为b＋c＝(－2，－2，4)，所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18.
答案：B
2．解析：由题意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2.
又|a|＝ eq \r(12＋02＋12)＝ eq \r(2)，|b|＝ eq \r(1＋1＋4)＝ eq \r(6)，
所以cs 〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|)＝ eq \f(3,\r(2)×\r(6))＝ eq \f(\r(3),2).又〈a，b〉∈[0，π]，所以a与b的夹角为 eq \f(π,6).
答案：A
3．解析：∵a∥b，∴b＝ka(k∈R)，
即(6，2μ－1，2λ)＝k(λ＋1，0，2)，
∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(6＝k(λ＋1)，,2μ－1＝0，,2λ＝2k，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝2，,μ＝\f(1,2)))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－3，,μ＝\f(1,2)．))
答案：A
4．解析：由向量的加法得到 eq \(A1A,\s\up6(→))＋ eq \(A1D1,\s\up6(→))＋ eq \(A1B1,\s\up6(→))＝ eq \(A1C,\s\up6(→))，∵A1C2＝3A1B eq \\al(2,1)，∴ eq \(A1C,\s\up6(→))2＝3 eq \(A1B1,\s\up6(→))2，故A说法正确；∵ eq \(A1B1,\s\up6(→))－ eq \(A1A,\s\up6(→))＝ eq \(AB1,\s\up6(→))，AB1⊥A1C，∴ eq \(A1C,\s\up6(→))· eq \(AB1,\s\up6(→))＝0，故B说法正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°.又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量 eq \(AD1,\s\up6(→))与向量 eq \(A1B,\s\up6(→))的夹角是120°，故C说法错误；∵AB⊥AA1，∴ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AA1,\s\up6(→))＝0，故| eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AA1,\s\up6(→))|＝0，因此D说法错误．
答案：AB
5．解析：如图，连接ON，则 eq \(MN,\s\up6(→))＝ eq \(ON,\s\up6(→))－ eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))－ eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)(b＋c)－ eq \f(2,3)a＝－ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c.
答案：－ eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,2)b＋ eq \f(1,2)c
6．解析：因为空间中三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，所以 eq \(AB,\s\up6(→))∥ eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，－1，3)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(p－1，－2，q＋2)，所以 eq \f(p－1,1)＝ eq \f(－2,－1)＝ eq \f(q＋2,3)，解得p＝3，q＝4，所以p＋q＝7.
答案：7
7．解：(1)由题知 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＝3 eq \(OM,\s\up6(→))，
所以 eq \(OA,\s\up6(→))－ eq \(OM,\s\up6(→))＝( eq \(OM,\s\up6(→))－ eq \(OB,\s\up6(→)))＋( eq \(OM,\s\up6(→))－ eq \(OC,\s\up6(→)))，
即 eq \(MA,\s\up6(→))＝ eq \(BM,\s\up6(→))＋ eq \(CM,\s\up6(→))＝－ eq \(MB,\s\up6(→))－ eq \(MC,\s\up6(→))，
所以 eq \(MA,\s\up6(→))， eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(MC,\s\up6(→))共面．
(2)法一：由(1)知， eq \(MA,\s\up6(→))， eq \(MB,\s\up6(→))， eq \(MC,\s\up6(→))共面且它们过同一点M，
所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．
法二：因为 eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)( eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→)))
＝ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(OC,\s\up6(→)).
又因为 eq \f(1,3)＋ eq \f(1,3)＋ eq \f(1,3)＝1，
所以M，A，B，C四点共面，从而M在平面ABC内．
8．解：(1)设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b， eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，
由题意知|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝ eq \f(1,2).
∴| eq \(AC1,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2)＋\f(1,2)))＝6，
∴| eq \(AC1,\s\up6(→))|＝ eq \r(6)，即AC1的长为 eq \r(6).
(2) eq \(BD1,\s\up6(→))＝b＋c－a， eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，∴| eq \(BD1,\s\up6(→))|＝ eq \r(2)，| eq \(AC,\s\up6(→))|＝ eq \r(3).
又 eq \(BD1,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，∴cs 〈 eq \(BD1,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\(BD1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(BD1,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝ eq \f(\r(6),6)，即 eq \(BD1,\s\up6(→))与 eq \(AC,\s\up6(→))夹角的余弦值为 eq \f(\r(6),6).
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1．解析：∵M为BC的中点，∴ eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))，∴ eq \(AM,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))· eq \(AD,\s\up6(→))
＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＝0.
∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．
答案：C
2．解析：由题图知，设 eq \(AM,\s\up6(→))＝λ eq \(AC1,\s\up6(→))(0＜λ＜1).
由已知，得 eq \(AC1,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AA1,\s\up6(→))＝2 eq \(AE,\s\up6(→))＋3 eq \(AF,\s\up6(→))＋ eq \f(3,2) eq \(AG,\s\up6(→))，
所以 eq \(AM,\s\up6(→))＝2λ eq \(AE,\s\up6(→))＋3λ eq \(AF,\s\up6(→))＋ eq \f(3λ,2) eq \(AG,\s\up6(→)).
因为M，E，F，G四点共面，
所以2λ＋3λ＋ eq \f(3λ,2)＝1，解得λ＝ eq \f(2,13).
答案： eq \f(2,13)
3．解析：由题意，设 eq \(OQ,\s\up6(→))＝λ eq \(OP,\s\up6(→))，则 eq \(OQ,\s\up6(→))＝(λ，λ，2λ)，即Q(λ，λ，2λ)，则 eq \(QA,\s\up6(→))＝(1－λ，2－λ，1－2λ)， eq \(QB,\s\up6(→))＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴ eq \(QA,\s\up6(→))· eq \(QB,\s\up6(→))＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(1－2λ)(2－2λ)＝6λ2－12λ＋6＝6(λ－1)2，当λ＝1时取最小值，此时Q点坐标为(1，1，2).
答案：(1，1，2)
4．解：(1)因为A(－1，2，1)，B(－1，5，4)，C(1，3，4)，
所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，3，3)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，－2，0).
因为 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(BC,\s\up6(→))＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，
| eq \(AB,\s\up6(→))|＝3 eq \r(2)，| eq \(BC,\s\up6(→))|＝2 eq \r(2)，
所以cs 〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)＝－ eq \f(6,3\r(2)×2\r(2))＝－ eq \f(1,2)，
故〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(BC,\s\up6(→))〉＝ eq \f(2π,3).
(2)因为 eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，1，3)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，3，3)，
所以 eq \(AC,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝0＋1×3＋3×3＝12.
因为| eq \(AB,\s\up6(→))|＝3 eq \r(2)，| eq \(AC,\s\up6(→))|＝ eq \r(14)，
所以cs 〈 eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))〉＝ eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))||\(AB,\s\up6(→))|)＝ eq \f(12,\r(14)×3\r(2))＝ eq \f(2\r(7),7)，
所以 eq \(AC,\s\up6(→))在 eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量为| eq \(AC,\s\up6(→))|cs 〈 eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))〉 eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝ eq \r(14)× eq \f(2\r(7),7)× eq \f(\(AB,\s\up6(→)),3\r(2))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，2，2).
5．(1)证明：∵△ABC，△ECD是全等的正三角形，∴CD＝BC.
∵BD＝ eq \r(2)BC，∴BD2＝BC2＋DC2，∴BC⊥DC.
∵平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD，
∴BC⊥平面ECD.∵DE⊂平面ECD，∴BC⊥ED.
(2)解：A，B，D，E四点共面．
理由如下，如图，分别取BC，DC的中点M，N，连接AM，EN，MN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AM⊥BC，AM＝ eq \f(\r(3),2)BC.
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AM⊥平面BCD.
同理，EN⊥平面BCD，且EN＝ eq \f(\r(3),2)CD＝ eq \f(\r(3),2)BC，
∴AM∥EN，且AM＝EN，∴四边形AMNE是矩形，
∴AE∥MN.又MN∥BD，∴AE∥BD，∴A，B，D，E四点共圆。