2025高考数学一轮复习-7.8-空间距离问题-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-7.8-空间距离问题-专项训练【含答案】，共9页。
1．已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在平面α内，则点P(－2，1，4)到平面α的距离为( )
A．10 B．3
C． eq \f(8,3) D． eq \f(10,3)
2．已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，则点A到直线BC的距离为( )
A． eq \f(2\r(2),3) B．1
C． eq \r(2) D．2 eq \r(2)
3．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为( )
A． eq \r(2) B．2
C． eq \f(\r(2),2) D． eq \f(3\r(2),2)
4．已知空间直角坐标系Oxyz中有一点A(－1，－1，2)，点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，则A，B两点间的最短距离是( )
A． eq \r(6) B． eq \f(\r(34),2)
C．3 D． eq \f(\r(17),2)
5．设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．
6．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若BB1＝2 eq \r(2)，AB＝2，则点C到直线AB1的距离为________．
7．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点．
(1)求点N到直线AB的距离；
(2)求点C1到平面ABN的距离．
8．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥平面BCC1B1，BC＝ eq \f(1,2)AB＝ eq \f(1,2)AA1＝2，BC1＝2 eq \r(3)，M为线段AB上的动点．
(1)证明：BC1⊥CM；
(2)若E为A1C1的中点，求点A1到平面BCE的距离．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．在棱长均为a的正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为( )
A． eq \f(\r(2),4)a B． eq \f(\r(2),8)a
C． eq \f(3\r(2),4)a D． eq \f(\r(2),2)a
2．已知△ABC是面积为 eq \f(9\r(3),4)的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )
A． eq \r(3) B． eq \f(3,2)
C．1 D． eq \f(\r(3),2)
3．已知棱长为1的正方体ABCD­EFGH，若点P在正方体内部且满足 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(2,3) eq \(AE,\s\up6(→))，则点P到AB的距离为________．
4．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E是线段AB的中点．若P是线段BC上的动点，则点P到平面B1DE的距离的取值范围为________．
5．在如图所示多面体中，平面EDCF⊥平面ABCD，EDCF是面积为 eq \r(3)的矩形，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2.
(1)证明：BD⊥EA；
(2)求点D到平面ABFE的距离．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析： eq \(PA,\s\up6(→))＝(1，2，－4)，点P到平面α的距离d＝ eq \f(|\(PA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(|－2－4－4|,\r(4＋4＋1))＝ eq \f(10,3).
答案：D
2．解析：因为A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，
所以 eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，2，－2)，
所以点A到直线BC的距离为
d＝| eq \(AB,\s\up6(→))| eq \r(1－(cs 〈\(AB,\s\up6(→))，\(BC,\s\up6(→))〉)2)
＝| eq \(AB,\s\up6(→))| eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AB,\s\up6(→))·\(BC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(BC,\s\up6(→))|)))\s\up12(2))
＝1× eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1,1×3)))\s\up12(2))＝ eq \f(2\r(2),3).
答案：A
3．解析：由正方体性质可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面B1D1DB的距离，连接A1C1，交B1D1于O1(图略)，A1O1的长即为所求，由题意可得A1O1＝ eq \f(1,2)A1C1＝ eq \r(2).
答案：A
4．解析：因为点B是平面xOy内的直线x＋y＝1上的动点，
所以可设点B(m，1－m，0)，由空间两点之间的距离公式得，
|AB|＝ eq \r((－1－m)2＋[－1－(1－m)]2＋(2－0)2)＝ eq \r(2m2－2m＋9)＝ eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(17,2))，所以当m＝ eq \f(1,2)时，|AB|的最小值为 eq \r(\f(17,2))＝ eq \f(\r(34),2)，即A，B两点间的最短距离是 eq \f(\r(34),2).
答案：B
5．解析：如图，建立空间直角坐标系，
则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，
所以 eq \(D1A1,\s\up6(→))＝(2，0，0)， eq \(DA1,\s\up6(→))＝(2，0，2)， eq \(DB,\s\up6(→))＝(2，2，0).
设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(DA1,\s\up6(→))＝0，,n·\(DB,\s\up6(→))＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2z＝0，,2x＋2y＝0，))
令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，
所以点D1到平面A1BD的距离d＝ eq \f(|\(D1A1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(2\r(3),3).
答案： eq \f(2\r(3),3)
6．解析：设AC的中点为O，
建立如图所示空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B1(0， eq \r(3)，2 eq \r(2))，C(－1，0，0)，
eq \(AB1,\s\up6(→))＝(－1， eq \r(3)，2 eq \r(2))， eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，0，0)，
所以点C到直线AB1的距离为 eq \r(\(AC2,\s\up6(→))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|\(AB1,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))|,|\(AB1,\s\up6(→))|)))\s\up12(2))＝ eq \r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,2\r(3))))\s\up12(2))＝ eq \f(\r(33),3).
答案： eq \f(\r(33),3)
7．解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2 eq \r(3)，2，0)，C(0，4，0)，C1(0，4，4).
∵N是CC1的中点，
∴N(0，4，2).
(1) eq \(AN,\s\up6(→))＝(0，4，2)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(2 eq \r(3)，2，0)，
则| eq \(AN,\s\up6(→))|＝2 eq \r(5)，| eq \(AB,\s\up6(→))|＝4.
设点N到直线AB的距离为d1，
则d1＝ eq \r(20－4)＝4.
(2)设平面ABN的法向量为n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up6(→))＝2\r(3)x＋2y＝0，,n·\(AN,\s\up6(→))＝4y＋2z＝0，))
令z＝2，则y＝－1，x＝ eq \f(\r(3),3)，
即n＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，－1，2)).
易知 eq \(C1N,\s\up6(→))＝(0，0，－2)，
设点C1到平面ABN的距离为d2，
则d2＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(C1N,\s\up6(→))·n,|n|)))＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\f(－4,4\r(3)),3)))＝ eq \r(3).
8．(1)证明：因为AB⊥平面BB1C1C，C1B⊂平面BB1C1C，所以AB⊥C1B.
在△BCC1中，BC＝2，BC1＝2 eq \r(3)，CC1＝AA1＝4，所以BC2＋BC eq \\al(2,1)＝CC eq \\al(2,1)，所以CB⊥C1B.
因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以C1B⊥平面ABC.
又因为CM⊂平面ABC，
所以C1B⊥CM.
(2)解：由(1)知，AB⊥C1B，BC⊥C1B，AB⊥BC，
以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则B(0，0，0)，C(2，0，0)，C1(0，2 eq \r(3)，0)，A1(－2，2 eq \r(3)，4)，E(－1，2 eq \r(3)，2)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝(2，0，0)， eq \(BE,\s\up6(→))＝(－1，2 eq \r(3)，2).
设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BC,\s\up6(→))＝0，,n·\(BE,\s\up6(→))＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝0，,－x＋2\r(3)y＋2z＝0.))
令y＝ eq \r(3)，则n＝(0， eq \r(3)，－3).
又因为 eq \(A1C,\s\up6(→))＝(4，－2 eq \r(3)，－4)，
故点A1到平面BCE的距离d＝ eq \f(|0×4＋(－2\r(3))×\r(3)＋(－4)×(－3)|,2\r(3))＝ eq \r(3).
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．解析：以A为空间直角坐标原点，以垂直于AC的直线为x轴，以AC所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
由ABC­A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，
故A(0，0，0)，B1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)a,2)，\f(a,2)，a))，D eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，a，\f(a,2)))，C1(0，a，a)，
所以 eq \(AB1,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)a,2)，\f(a,2)，a))， eq \(DC1,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(a,2)))， eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，a，\f(a,2)))，
设平面AB1D的法向量是n＝(x，y，z)，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB1,\s\up6(→))＝\f(\r(3)a,2)x＋\f(a,2)y＋az＝0，,n·\(AD,\s\up6(→))＝ay＋\f(a,2)z＝0，))取n＝( eq \r(3)，1，－2)，
故点C1到平面AB1D的距离d＝ eq \f(|\(DC1,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(a,\r(3＋1＋4))＝ eq \f(\r(2),4)a.
答案：A
2．解析：如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC，则O1为等边三角形ABC的中心．
设△ABC的边长为a，则 eq \f(\r(3),4)a2＝ eq \f(9\r(3),4)，解得a＝3，
∴O1A＝ eq \f(2,3)× eq \f(\r(3),2)×3＝ eq \r(3).
设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2.
在Rt△OO1A中，OO1＝ eq \r(OA2－O1A2)＝1，
即O到平面ABC的距离为1.
答案：C
3．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4)(1，0，0)＋ eq \f(1,2)(0，1，0)＋ eq \f(2,3)(0，0，1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3))).
又 eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，0，0)，
∴ eq \(AP,\s\up6(→))在 eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量的模为 eq \f(\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)＝ eq \f(3,4)，
∴点P到AB的距离为 eq \r(|\(AP,\s\up6(→))|2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\(AP,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)))\s\up12(2))＝ eq \f(5,6).
答案： eq \f(5,6)
4．解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，E(2，1，0)，B1(2，2，2)，
设P(a，2，0)(0≤a≤2)，
则 eq \(DP,\s\up6(→))＝(a，2，0)， eq \(DE,\s\up6(→))＝(2，1，0)， eq \(DB1,\s\up6(→))＝(2，2，2)，
设平面B1DE的法向量为n＝(x，y，z)，
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\(DE,\s\up6(→))·n＝0，,\(DB1,\s\up6(→))·n＝0，))
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝0，,2x＋2y＋2z＝0.))
令x＝1，则y＝－2，z＝1，则n＝(1，－2，1).
设点P到平面B1DE的距离为h，
所以h＝ eq \f(|\(DP,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(|a－4|,\r(6))＝ eq \f(\r(6),6)(4－a)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(6),3)))，所以点P到平面B1DE的距离的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(6),3))).
答案： eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)，\f(2\r(6),3)))
5．(1)证明：因为平面EDCF⊥平面ABCD，且平面EDCF∩平面ABCD＝CD，ED⊥DC，ED⊂平面EDCF，所以ED⊥平面ABCD.
又BD⊂平面ABCD，所以ED⊥BD.
在四边形ABCD中，作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N.
因为CD∥AB，AD＝CD＝CB＝1，AB＝2，
所以四边形ABCD为等腰梯形，则AM＝BN＝ eq \f(1,2)，所以DM＝ eq \f(\r(3),2)，BD＝ eq \r(DM2＋BM2)＝ eq \r(3)，
所以AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.又ED∩AD＝D，ED⊂平面EAD，AD⊂平面EAD，所以BD⊥平面EAD.又因为EA⊂平面EAD，所以BD⊥EA.
(2)解：由(1)知ED⊥平面ABCD，AD⊥BD，以点D为原点， eq \(DA,\s\up6(→))， eq \(DB,\s\up6(→))， eq \(DE,\s\up6(→))为x，y，z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系．因为矩形EDCF的面积为 eq \r(3)，CD＝1，所以ED＝ eq \r(3)，所以A(1，0，0)，B(0， eq \r(3)，0)，E(0，0， eq \r(3))，
则 eq \(AE,\s\up6(→))＝(－1，0， eq \r(3))， eq \(BE,\s\up6(→))＝(0，－ eq \r(3)， eq \r(3))， eq \(DE,\s\up6(→))＝(0，0， eq \r(3))，
设平面ABFE的法向量为n＝(x1，y1，z1)，
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝－x1＋\r(3)z1＝0，,n·\(BE,\s\up6(→))＝－\r(3)y1＋\r(3)z1＝0，))可取n＝( eq \r(3)，1，1).
设点D到平面ABFE的距离为d，则d＝ eq \f(|\(DE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(\r(3),\r(5))＝