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2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程-专项训练【含答案】
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这是一份2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程-专项训练【含答案】,共9页。
1.经过坐标原点,且圆心坐标为(-1,1)的圆的一般方程是( )
A.x2+y2-2x-2y=0
B.x2+y2-2x+2y=0
C.x2+y2+2x-2y=0
D.x2+y2+2x+2y=0
2.若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部,则实数k的取值范围是( )
A.(-2,+∞) B. eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2,-\f(1,2)))
C. eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-2,\f(1,2))) D.(-2,2)
3.已知圆C经过A(0,0),B(2,0),且圆心在第一象限,△ABC为直角三角形,则圆C的方程为( )
A.(x-1)2+(y-1)2=4
B.(x- eq \r(2))2+(y- eq \r(2))2=2
C.(x-1)2+(y-1)2=2
D.(x-1)2+(y-2)2=5
4.已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
5.若k∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-2,0,\f(4,5),3)),方程x2+y2+(k-1)x+2ky+k=0不表示圆,则k的取值集合中元素的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
6.(多选)若实数x,y满足x2+y2+2x=0,则( )
A. eq \f(y,x-1)的最大值为 eq \r(3)
B. eq \f(y,x-1)的最小值为- eq \r(3)
C. eq \f(y,x-1)的最大值为 eq \f(\r(3),3)
D. eq \f(y,x-1)的最小值为- eq \f(\r(3),3)
7.(多选)已知△ABC的三个顶点为A(-1,2),B(2,1),C(3,4),则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是( )
A.圆M的圆心坐标为(1,3)
B.圆M的半径为 eq \r(5)
C.圆M关于直线x+y=0对称
D.点(2,3)在圆M内
8.(多选)已知圆C过点M(1,-2)且与两坐标轴均相切,则下列叙述正确的是( )
A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B.满足条件的圆C有且只有一个
C.点(2,-1)在满足条件的圆C上
D.满足条件的圆C有且只有两个,它们的圆心距为4 eq \r(2)
9.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.
10.已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP的面积的最小值为________.
11.在平面直角坐标系xOy中,已知过点M(-2,-1)的圆C和直线x-y+1=0相切,且圆心在直线y=2x上,则圆C的标准方程为________________.
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1.(多选)设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是( )
A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
2.已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是( )
A.1+ eq \f(3\r(2),2) B.4
C.1+3 eq \r(2) D.72
3.已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,则“E=F=0且D0,
即5k2-6k+1>0,解得k>1或k< eq \f(1,5).
又知该方程不表示圆,所以k的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,5),1)).
又因为k∈ eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-2,0,\f(4,5),3)),所以满足条件的k= eq \f(4,5),即k的取值集合为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(4,5))).
答案:A
6.解析:由题意可得方程x2+y2+2x=0表示圆心坐标为(-1,0)、半径r=1的圆,
则 eq \f(y,x-1)为圆上的点与点(1,0)连线的斜率的值.
设过点(1,0)的直线为y=k(x-1),
即kx-y-k=0,即求直线kx-y-k=0与圆相切时k的值,当直线与圆相切时,圆心到直线kx-y-k=0的距离d=r,
即 eq \f(|-2k|,\r(1+k2))=1,整理可得3k2=1,
解得k=± eq \f(\r(3),3),所以 eq \f(y,x-1)∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3))).
即 eq \f(y,x-1)的最大值为 eq \f(\r(3),3),最小值为- eq \f(\r(3),3).
答案:CD
7.解析:设△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1+4-D+2E+F=0,,4+1+2D+E+F=0,,9+16+3D+4E+F=0,))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(D=-2,,E=-6,,F=5.))
所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2-2x-6y+5=0,
即(x-1)2+(y-3)2=5.
故圆M的圆心坐标为(1,3),圆M的半径为 eq \r(5).
因为直线x+y=0不经过圆M的圆心(1,3),
所以圆M不关于直线x+y=0对称.
因为(2-1)2+(3-3)2=1<5,
故点(2,3)在圆M内.
答案:ABD
8.解析:因为圆C和两个坐标轴都相切,且过点M(1,-2),
所以设圆心坐标为(a,-a)(a>0),
故圆心在直线y=-x上,A正确;
设圆C的方程为(x-a)2+(y+a)2=a2,
把点M的坐标代入可得a2-6a+5=0,
解得a=1或a=5,则圆心坐标为(1,-1)或(5,-5),
所以满足条件的圆C有且只有两个,故B错误;
圆C的方程分别为(x-1)2+(y+1)2=1,
(x-5)2+(y+5)2=25,将点(2,-1)代入这两个方程可知其在圆C上,故C正确;
它们的圆心距为 eq \r((5-1)2+(-5+1)2)=4 eq \r(2),D正确.
答案:ACD
9.解析:依据圆的方程特征,得a2=a+2,
解得a=-1或2.
当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,
整理得(x+2)2+(y+4)2=25,
则圆心为(-2,-4),半径是5;
当a=2时,4x2+4y2+4x+8y+10=0,
即x2+y2+x+2y+ eq \f(5,2)=0,该方程不表示圆.
答案:(-2,-4) 5
10.解析:求△ABP面积的最小值,
即求P到直线AB距离的最小值,
即为圆心到直线AB的距离减去半径.
直线AB的方程为 eq \f(x,4)+ eq \f(y,-3)=1,
即3x-4y-12=0,
圆x2+y2-2y=0,
即为x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1.
∵圆心到直线AB的距离为d= eq \f(|-4-12|,5)= eq \f(16,5),
∴P到直线AB的最小值为 eq \f(16,5)-1= eq \f(11,5).
∵|AB|= eq \r(32+42)=5,
∴△ABP面积的最小值为 eq \f(1,2)×5× eq \f(11,5)= eq \f(11,2).
答案: eq \f(11,2)
11.解析:根据题意,圆心在直线y=2x上,
则设圆心为(n,2n),圆的半径为r.
又圆C过点M(-2,-1)且与直线x-y+1=0相切,
则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((n+2)2+(2n+1)2=r2,,\f(|n-2n+1|,\r(2))=r,))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n=-1,,r=\r(2),))
则圆C的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=2.
答案:(x+1)2+(y+2)2=2
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1.解析:圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,A正确;
令(3-k)2+(0-k)2=4,
化简得2k2-6k+5=0.
∵Δ=36-40=-4<0,
∴2k2-6k+5=0无实数根,B正确;
由(2-k)2+(2-k)2=4,
化简得k2-4k+2=0.
∵Δ=16-8=8>0,有两个不相等实根,
∴经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误;
由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.
答案:ABD
2.解析:法一:由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,
此方程表示以(2,1)为圆心、3为半径的圆.
设t=x-y,则x-y-t=0.设圆心(2,1)到直线x-y-t=0的距离为d,则d= eq \f(|2-1-t|,\r(12+(-1)2))= eq \f(|1-t|,\r(2)).
依题意知,直线x-y-t=0与圆(x-2)2+(y-1)2=9有公共点,
∴d= eq \f(|1-t|,\r(2))≤3,即|1-t|≤3 eq \r(2),
∴-3 eq \r(2)≤t-1≤3 eq \r(2),即1-3 eq \r(2)≤t≤1+3 eq \r(2),
∴t的最大值为1+3 eq \r(2),
即x-y的最大值为1+3 eq \r(2).
法二:由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9.设x=2+3cs θ,y=1+3sin θ,θ∈[0,2π),
∴x-y=2+3cs θ-1-3sin θ=1+3(cs θ-sin θ)=1+3 eq \r(2)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,4))).
∵θ+ eq \f(π,4)∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(9,4)π)),
∴cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ+\f(π,4)))∈[-1,1],
∴(x-y)max=1+3 eq \r(2).
答案:C
3.解析:圆C与y轴相切于原点⇔圆C的圆心在x轴上(设坐标为(a,0)),且半径r=|a|.∴当E=F=0且D0.
答案:A
4.解析:由题意得,圆C的半径为 eq \r(1+1)= eq \r(2),圆心坐标为(1, eq \r(2)),∴圆C的标准方程为(x-1)2+(y- eq \r(2))2=2.
答案:A
5.解析:根据题意,设圆C2的圆心为(a,b),
圆C1:(x+1)2+(y-1)2=4,其圆心为(-1,1),半径为2,
若圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C1与C2的圆心关于直线x-y-1=0对称,且圆C2的半径为2,则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b-1,a+1)=-1,,\f(a-1,2)-\f(b+1,2)-1=0,))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=2,,b=-2,))
则圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=4.
答案:B
6.解析:设圆上任意一点为(x1,y1),中点为(x,y),
则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=\f(x1+4,2),,y=\f(y1-2,2),))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1=2x-4,,y1=2y+2.))
代入x2+y2=4得(2x-4)2+(2y+2)2=4,
化简得(x-2)2+(y+1)2=1.
答案:A
7.解析:设M(x,y),A(a,0),B(0,b),
则 eq \r(a2+b2)=10,a2+b2=100,
且 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a+0,2)=x,,\f(0+b,2)=y,))∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a=2x,,b=2y,))代入a2+b2=100,
得4x2+4y2=100,
即点M的轨迹方程为x2+y2=25.
答案:x2+y2=25
8.解析:设P(x0,y0),d=|PB|2+|PA|2=x eq \\al(2,0)+(y0+1)2+x eq \\al(2,0)+(y0-1)2=2(x eq \\al(2,0)+y eq \\al(2,0))+2.x eq \\al(2,0)+y eq \\al(2,0)为圆上任一点到原点距离的平方,∴(x eq \\al(2,0)+y eq \\al(2,0))max=(5+1)2=36,∴dmax=74.
答案:74
9.解析:圆C的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4,
圆心C(2,1),半径R=2,
圆心C到直线3x+4y+5=0的距离d= eq \f(|6+4+5|,\r(32+42))=3,
设P到直线AB的距离为h,
则S△ABP= eq \f(1,2)·|AB|·h=h.
∵d-R≤h≤d+R,∴1≤h≤5,
∴S△ABP∈[1,5],
即△ABP的面积的取值范围为[1,5].
答案:[1,5]
10.解析:圆的标准方程为(x-2)2+y2=2,
圆心为C(2,0),半径为r= eq \r(2).
若在圆C上存在两点A,B,在直线l上存在一点P,使得∠APB=90°,过P作圆的两条切线PM,PN(M,N为切点),则由题意得∠MPN≥90°,
而当CP⊥l时,∠MPN最大,只要此最大角≥90°即可,此时圆心C到直线l的距离为d=|CP|= eq \f(|6+m|,5),
所以 eq \f(r,d)= eq \f(\r(2),\f(|6+m|,5))≥ eq \f(\r(2),2),解得-16≤m≤4.答案: eq \r(2) [-16,4]
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