2025高考数学一轮复习-9.3-双曲线-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-9.3-双曲线-专项训练【含答案】，共12页。
1．在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为( )
A. eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1(x>2)
B. eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,5)＝1(x>3)
C. eq \f(x2,9)＋ eq \f(y2,5)＝1(00)的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B.若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线方程为________．
8．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立．已知双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C上关于原点对称的两点A，B满足|AB|·|F1F2|＝|AF1|·|BF2|＋|AF2|·|BF1|，若∠AF1F2＝ eq \f(π,6)，则双曲线C的离心率为________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：如图，设△ABC的三边与圆的切点分别为D，E，F，
则有|AD|＝|AE|＝5，|BF|＝|BE|＝1，|CD|＝|CF|，
所以|CA|－|CB|＝5－1＝4.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支(右顶点除外)，
即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，
所以顶点C的轨迹方程为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1(x>2).
答案：A
2．解析：由题意可得 eq \f(a2＋b2,a2)＝3，所以b2＝2a2，所以双曲线 eq \f(x2,b2)－ eq \f(y2,a2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率e＝ eq \r(\f(a2,b2)＋1)＝ eq \r(\f(1,2)＋1)＝ eq \f(\r(6),2).
答案：D
3．解析：设F1(－2，0)，F2(2，0)，由题意知动点M满足|MF1|－|MF2|＝4＝|F1F2|，故动点M的轨迹是射线．
答案：A
4．解析：因为θ∈(0，π)，所以cs θ∈(－1，1)，
所以当cs θ∈(－1，0)时，方程x2＋(cs θ)y2＝1表示双曲线；
当cs θ＝0时，方程x2＋(cs θ)y2＝1表示两条直线x＝±1；
当cs θ∈(0，1)时，方程x2＋(cs θ)y2＝1可化为x2＋ eq \f(y2,\f(1,cs θ))＝1.
因为 eq \f(1,cs θ)>1，所以方程表示焦点在y轴上的椭圆．
答案：B
5．解析：因为双曲线 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率e∈(1，2]，所以1＜ eq \f(c,a)≤2，所以1＜ eq \f(c2,a2)≤4，又c2＝a2＋b2，所以0＜ eq \f(b2,a2)≤3，所以 eq \f(a2,b2)≥ eq \f(1,3)，所以 eq \f(a,b)≥ eq \f(\r(3),3).双曲线 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝ eq \f(a,b)x，设该渐近线的倾斜角为α，则tan α＝ eq \f(a,b)≥ eq \f(\r(3),3).又α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2))).
答案：C
6．解析：由双曲线方程 eq \f(y2,64)－ eq \f(x2,16)＝1知焦点在y轴上，渐近线方程为y＝±2x，A错误．
c2＝64＋16＝80，故c＝4 eq \r(5)，故焦距为8 eq \r(5)，B正确．
离心率为 eq \f(c,a)＝ eq \f(4\r(5),8)＝ eq \f(\r(5),2)，C正确．
不妨取焦点坐标为(0，4 eq \r(5))，渐近线方程为y＝2x，故焦点到渐近线y＝2x的距离为 eq \f(|－4\r(5)|,\r(4＋1))＝4，D错误．
答案：BC
7．解析：因为曲线C的方程为 eq \f(y2,m)－ eq \f(x2,n)＝1，
对于A：若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则 eq \f(x2,－n)＋ eq \f(y2,m)＝1，即－n＞m＞0，故A错误；
对于B：当m＝－n＞0时，曲线C表示圆，故B正确；
对于C：若m＝－n＝1，满足mn＜0，
曲线C为x2＋y2＝1，表示圆，故C错误；
对于D：若 eq \f(y2,m)－ eq \f(x2,n)＝1为双曲线，则mn＞0，
当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＞0，,n＞0))时， eq \f(y2,m)－ eq \f(x2,n)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝± eq \r(\f(m,n))x；
当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＜0，,n＜0))时， eq \f(x2,－n)－ eq \f(y2,－m)＝1表示焦点在x轴上的双曲线，其渐近线方程为y＝± eq \r(\f(m,n))x，故D正确．
答案：BD
8．解析：双曲线C： eq \f(y2,3)－x2＝1焦点在y轴上，a＝ eq \r(3)，b＝1，c＝ eq \r(a2＋b2)＝2.
对于A选项，||PF1|－|PF2||＝2a＝2 eq \r(3)，而P点在哪支上并不确定，故A错误；
对于B选项，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝± eq \f(a,b)x＝± eq \r(3)x，故B错误；
对于C选项，e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(2,\r(3))＝ eq \f(2\r(3),3)，故C正确；
对于D选项，设P(x，y)(x∈R)，则|PO|＝ eq \r(x2＋y2)＝ eq \r(x2＋(3x2＋3))＝ eq \r(3＋4x2)≥ eq \r(3)(当且仅当x＝0时取等号)，
因为O为F1F2的中点，所以| eq \(PF1,\s\up6(→))＋ eq \(PF2,\s\up6(→))|＝|2 eq \(PO,\s\up6(→))|＝2| eq \(PO,\s\up6(→))|≥2 eq \r(3)，故D正确．
答案：CD
9．解析：椭圆 eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的焦点为(±1，0)，顶点为(±2，0)，则双曲线中a＝1，c＝2，b＝ eq \r(c2－a2)＝ eq \r(3)，所以所求双曲线方程为x2－ eq \f(y2,3)＝1.
答案：x2－ eq \f(y2,3)＝1
10．解析：由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上，则可设 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则 eq \f(1,a2)－ eq \f(3,b2)＝1且 eq \f(b,a)＝2，联立解得a＝ eq \f(1,2)，b＝1，则双曲线的方程为4x2－y2＝1；
②若双曲线的焦点在y轴上，则可设 eq \f(y2,a2)－ eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则 eq \f(3,a2)－ eq \f(1,b2)＝1，且 eq \f(a,b)＝2，此时无解．综上，双曲线的方程为4x2－y2＝1.
答案：4x2－y2＝1
11．解析：由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝4|PF2|，,|PF1|－|PF2|＝2a，))
得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝\f(8,3)a，,|PF2|＝\f(2,3)a.))
∵|PF2|≥c－a，
∴ eq \f(2,3)a≥c－a，
即 eq \f(5,3)a≥c，
即 eq \f(c,a)≤ eq \f(5,3)，
∴双曲线离心率的取值范围是1