2025高考数学一轮复习-9.5-抛物线-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-9.5-抛物线-专项训练【含答案】，共9页。
1．已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0，1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
2．在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则P的轨迹方程为( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝－4x D．y2＝－8x
3．设M是抛物线y2＝4x上的一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点．若∠OFM＝120°，则|FM|等于( )
A．3 B．4
C． eq \f(4,3) D． eq \f(7,3)
4．(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，直线l过点F且与抛物线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2).若M(m，2)是线段AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．p＝4
B．抛物线方程为y2＝16x
C．直线l的方程为y＝2x－4
D．|AB|＝10
5．如图是抛物线形拱桥，当水面为l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，则水位下降1米后，水面宽________米．
6．过抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
7．已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x，1)到其焦点的距离为2.
(1)求抛物线C的方程和点P的坐标；
(2)过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的平分线与y轴垂直，求弦AB的长．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．(多选)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线r：y2＝x，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l1从点P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,16)，1))射入，经过r上的点A(x1，y1)反射后，再经r上另一点B(x2，y2)反射后，沿直线l2射出，经过点Q，则下列结论正确的是( )
A．y1y2＝－1
B．|AB|＝ eq \f(25,16)
C．PB平分∠ABQ
D．延长AO交直线x＝－ eq \f(1,4)于点C，则C，B，Q三点共线
2．在平面直角坐标系Oxy中，点A(1，0)，B(9，6)，动点C在线段OB上，BD⊥y轴，CE⊥y轴，CF⊥BD，垂足分别是D，E，F，OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上，且∠OAQ＝120°，则|AQ|等于( )
A．4 B．2
C． eq \f(4,3) D． eq \f(2,3)
3．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MH⊥l于H.若|MH|＝4，∠HFM＝60°，则抛物线C的方程为________．
4．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线C上的两个动点，且AF⊥AB，∠ABF＝30°，设线段AB的中点M在准线l上的射影为点N，则 eq \f(|MN|,|AB|)的值是________．
5．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点与椭圆： eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的一个焦点重合．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l：x＝my＋4交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为原点，求证： eq \(OA,\s\up6(→))⊥ eq \(OB,\s\up6(→)).
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：由题可知，抛物线准线为y＝－ eq \f(p,2)，可得1＋ eq \f(p,2)＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2.
答案：D
2．解析：由题意知动点P(x，y)到直线x＝2的距离与到定点(－2，0)的距离相等，
由抛物线的定义知，P的轨迹是以(－2，0)为焦点，x＝2为准线的抛物线，
所以p＝4，轨迹方程为y2＝－8x.
答案：D
3．解析：过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为点N，连接FN，如图所示．
因为∠OFM＝120°，MN∥x轴，则∠FMN＝60°，
由抛物线的定义可得|MN|＝|FM|，所以△FNM为等边三角形，则∠FNM＝60°，
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，设直线x＝－1交x轴于点E，则∠ENF＝30°，
易知|EF|＝2，∠FEN＝90°，则|FM|＝|FN|＝2|EF|＝4.
答案：B
4．解析：由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，
焦点F(2，0)，故B错误；
则y eq \\al(2,1)＝8x1，y eq \\al(2,2)＝8x2，
若M(m，2)是线段AB的中点，则y1＋y2＝4，
∴y eq \\al(2,1)－y eq \\al(2,2)＝8x1－8x2，
即 eq \f(y1－y2,x1－x2)＝ eq \f(8,y1＋y2)＝ eq \f(8,4)＝2，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y1＋y2＝2(x1＋x2)－8＝4，得x1＋x2＝6，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋4＝10，故D正确．
答案：ACD
5．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2 eq \r(6)米．
答案：2 eq \r(6)
6．解：(1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－ eq \f(p,2)，焦点为F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2))).
当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋ eq \f(p,2)＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y0)在抛物线C上，
∴y0＝ eq \f((－2)2,4)＝1，M坐标为(－2，1).
又直线l过点F(0，1)，∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))
得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，
eq \(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－1)，
eq \(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2－1).
∵MA⊥MB，
∴ eq \(MA,\s\up6(→))· eq \(MB,\s\up6(→))＝0，
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，不符合题意，∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
7．解：(1)由1＋ eq \f(p,2)＝2，可得p＝2，
故抛物线的方程为x2＝4y，
当y＝1时，x2＝4.
又因为x>0，所以x＝2，
所以点P的坐标为(2，1).
(2)由题意可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)＋ eq \f(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋k＋\f(1,2)，,x2＝4y，))得x2－4kx－4k－2＝0，
所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2.
因为∠APB的平分线与y轴垂直，
所以kPA＋kPB＝0，
所以kPA＋kPB＝ eq \f(y1－1,x1－2)＋ eq \f(y2－1,x2－2)＝0，
即 eq \f(\f(x eq \\al(2,1),4)－1,x1－2)＋ eq \f(\f(x eq \\al(2,2),4)－1,x2－2)＝0，
即x1＋x2＋4＝0，
所以k＝－1，x1＋x2＝－4，x1x2＝2，
所以|AB|＝ eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋k2) eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝4.
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1．解析：设抛物线的焦点为F，如图所示，
则F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，0)).
因为P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(41,16)，1))，且l1∥x轴，故A(1，1)，
故直线AF：y＝ eq \f(1－0,1－\f(1,4)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,4)))＝ eq \f(4,3)x－ eq \f(1,3).
由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,3)x－\f(1,3)，,y2＝x，))可得y2－ eq \f(3,4)y－ eq \f(1,4)＝0，
故y1y2＝－ eq \f(1,4)，故A错误；
又y1＝1，故y2＝－ eq \f(1,4)，
故B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)，－\f(1,4)))，
故|AB|＝1＋ eq \f(1,16)＋ eq \f(1,2)＝ eq \f(25,16)，故B正确；
因为|AP|＝ eq \f(41,16)－1＝ eq \f(25,16)＝|AB|，
故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，
而l1∥l2，故∠PBQ＝∠APB，
即∠ABP＝∠PBQ，
故PB平分∠ABQ，故C正确；
直线AO：y＝x，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＝－\f(1,4)．))
可得C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，－\f(1,4)))，故yC＝y2，
所以C，B，Q三点共线，故D正确．
答案：BCD
2．解析：设P(x，y)，则yC＝y，
∵lOB：y＝ eq \f(2,3)x，
∴C eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)y，y))，
∴E(0，y)，F eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)y，6)).
∵FC∥y轴，
∴△OPE∽△FPC，
∴ eq \f(EP,CP)＝ eq \f(OE,FC)，
∴ eq \f(x,\f(3,2)y－x)＝ eq \f(y,6－y)，即y2＝4x，
∴P的轨迹方程为y2＝4x在第一象限的部分且0≤x≤9，故A(1，0)为该抛物线的焦点．
设Q(x0，y0)，则y eq \\al(2,0)＝4x0， eq \(AQ,\s\up6(→))＝(x0－1，y0)， eq \(AO,\s\up6(→))＝(－1，0)，
∴cs ∠OAQ＝ eq \f(\(AO,\s\up6(→))·\(AQ,\s\up6(→)),|\(AO,\s\up6(→))|·|\(AQ,\s\up6(→))|)＝ eq \f(1－x0,\r((x0－1)2＋y eq \\al(2,0))·1)＝ eq \f(1－x0,x0＋1)＝－ eq \f(1,2)，解得x0＝3，
∴|AQ|＝x0＋ eq \f(p,2)＝3＋1＝4.
答案：A
3．解析：因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以|MF|＝|MH|＝4，又∠HFM＝60°，
所以△MHF为正三角形，
所以|HF|＝4，
记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，
所以p＝|QF|＝|HF|sin ∠QHF＝4sin 30°＝2，
所以该抛物线方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
4．解析：如图所示，作BE⊥l，AD⊥l，
设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义得|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，
在梯形ABED中，2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b.
因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，
所以b＝2a，则|MN|＝ eq \f(3a,2).
又|AB|＝ eq \r(b2－a2)＝ eq \r(3)a，
故 eq \f(|MN|,|AB|)＝ eq \f(\f(3a,2),\r(3)a)＝ eq \f(\r(3),2).
答案： eq \f(\r(3),2)
5．(1)解：因为椭圆： eq \f(x2,4)＋ eq \f(y2,3)＝1的焦点坐标为(±1，0)，
所以 eq \f(p,2)＝1，即p＝2.
所以抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明：联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝my＋4，,y2＝4x，))消去x，整理得y2－4my－16＝0，所以y1y2＝－16，
所以16x1x2＝(y1y2)2＝162，即x1x2＝16，
所以 eq \(OA,\s\up6(→))· eq \(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝0，所以 eq \(OA,\s\up6(→))⊥ eq \(OB,\s\up6(→))