2025高考数学一轮复习-10.1-分类加法计数原理与分步乘法计数原理-专项训练【含答案】

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1．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有( )
A．21种 B．315种
C．143种 D．153种
2．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有( )
A．4种 B．6种
C．10种 D．16种
3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则行车路线共有( )
A．24种 B．16种
C．12种 D．10种
4．若a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3，4}，则y＝ eq \f(b,a)x表示不同直线的条数为( )
A．8 B．11
C．14 D．16
5．从2，3，4，5，6，7，8，9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为( )
A．56 B．54
C．53 D．52
6．将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有( )
A．288种 B．144种
C．576种 D．96种
7．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有( )
A．120种 B．260种
C．340种 D．420种
8．(多选)将四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，不允许有空盒子，下列结果正确的有( )
A．C eq \\al(1,3)C eq \\al(1,2)C eq \\al(1,1)C eq \\al(1,3)
B．C eq \\al(2,4)A eq \\al(3,3)
C．C eq \\al(1,3)C eq \\al(2,4)A eq \\al(2,2)
D．18
9．若椭圆 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,n)＝1的焦点在y轴上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，则这样的椭圆的个数为________．
10．直线方程Ax＋By＝0，若从0，1，2，3，5，7这6个数字中任取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．
11．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．
12．如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．
INCLUDEPICTURE "B组.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\大样\\人教数学\\B组.TIF" \* MERGEFORMATINET 【B级 能力提升】
1．某省新高考采用“3＋1＋2”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有( )
A．4种 B．6种
C．8种 D．12种
2．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
3．中国古代将物质属性分为“金、木、土、水、火”五种，其相互关系是“金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”．将五种不同属性的物质任意排成一列，则属性相克的两种物质不相邻的排法种数为( )
A．8 B．10
C．15 D．20
4．现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有( )
A．360种 B．50种
C．60种 D．90种
5．用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成无重复数字的四位偶数的个数为( )
A．180 B．240
C．420 D．480
6．如图所示，在由连接正八边形的三个顶点构成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个(用数字作答).
7．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓，则不同的固定螺栓方式的种数是________．
8．若给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有________种．
9．世界杯参赛球队共32支，现分成8个小组进行单循环赛，决出16强(各组的前2名小组出线)，这16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，决出8强，再决出4强，直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为________．
参考答案
【A级 基础巩固】
1．解析：可分三类：
一类：语文、数学各1本，共有9×7＝63(种)，
二类：语文、英语各1本，共有9×5＝45(种)，
三类：数学、英语各1本，共有7×5＝35(种)，
∴共有63＋45＋35＝143种不同选法．
答案：C
2．解析：分两类：甲第一次踢给乙时，满足条件的有3种传递方式(如图)，
同理，甲先传给丙时，满足条件的也有3种传递方式．
由分类加法计数原理可知，共有3＋3＝6种传递方式．
答案：B
3．解析：根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，所以行车路线共有4×3＝12(种).
答案：C
4．解析：若使 eq \f(b,a)表示不同的实数，则当a＝1时，b＝1，2，3，4；当a＝2时，b＝1，3；当a＝3时，b＝1，2，4；当a＝4时，b＝1，3.故y＝ eq \f(b,a)x表示的不同直线的条数为4＋2＋3＋2＝11.
答案：B
5．解析：在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个数值中，lg24＝lg39，lg42＝lg93，lg23＝lg49，lg32＝lg94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个).
答案：D
6．解析：依题意可分为以下3步：(1)先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；(2)任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；(3)第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法，根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576(种).
答案：C
7．解析：由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有5×4×3×1×3＋5×4×3×2×2＝180＋240＝420(种).
答案：D
8．解析：根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1，2，3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个放2个球，剩下的2个盒子各放1个，
法一：分2步进行分析：
(1)先将四个不同的小球分成3组，有C eq \\al(2,4)种分组方法；
(2)将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A eq \\al(3,3)种放法，
则没有空盒的放法有C eq \\al(2,4)A eq \\al(3,3)种．
法二：分2步进行分析：
(1)在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有C eq \\al(1,3)C eq \\al(2,4)种情况；
(2)将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有A eq \\al(2,2)种放法，
则没有空盒的放法有C eq \\al(1,3)C eq \\al(2,4)A eq \\al(2,2)种．
答案：BC
9．解析：当m＝1时，n＝2，3，4，5，6，7，共6个；
当m＝2时，n＝3，4，5，6，7，共5个；
当m＝3时，n＝4，5，6，7，共4个；
当m＝4时，n＝5，6，7，共3个；
当m＝5时，n＝6，7，共2个．
故共有6＋5＋4＋3＋2＝20个满足条件的椭圆．
答案：20
10．解析：分成三类：A＝0，B≠0；A≠0，B＝0和A≠0，B≠0，前两类各表示1条直线；第三类先取A有5种取法，再取B有4种取法，故5×4＝20(种).
所以可以表示22条不同的直线．
答案：22
11．解析：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个).
答案：36
12．解析：按区域分四步：
第一步，A区域有5种颜色可选；
第二步，B区域有4种颜色可选；
第三步，C区域有3种颜色可选；
第四步，D区域也有3种颜色可选．
由分步乘法计数原理，可得共有5×4×3×3＝180种不同的涂色方法．
答案：180
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1．解析：根据题意得，分两步进行分析：
①小明必选化学，则必须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目，选法有3种；
②小明在物理、历史科目中选出1个，选法有2种．
由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有3×2＝6(种).
答案：B
2．解析：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；
以2为首项的等比数列为2，4，8；
以4为首项的等比数列为4，6，9；
把这四个数列顺序颠倒，又得到4个新数列，
所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8(个).
答案：D
3．解析：由题意知，可看作五个位置排列五个元素，第一个位置有5种排列方法，不妨假设是金，则第二个位置只能从土与水两者中选一种排放，有2种选择，不妨假设排的是水，则第三个位置只能排木，第四个位置只能排火，第五个位置只能排土，因此，总的排列方法种数为5×2×1×1×1＝10.
答案：B
4．解析：第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)；
第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，
选法有1×3×10＝30(种)，
所以共有20＋30＝50种选法．
答案：B
5．解析：以末位数字进行分类：
当末位数字为0时，共有6×5×4＝120(个)；
当末位数字是2，4，6中的某个数时，共有3×5×5×4＝300(个)，
故共有120＋300＝420个不同的数字．
答案：C
6．解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形，共有8×4＝32(个)；
第二类，有两条公共边的三角形，共有8个．
由分类加法计数原理可知，共有32＋8＝40(个).
答案：40
7．解析：根据题意，第一个可以从6个螺栓里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号螺栓，第二个可以选3，4，5号螺栓，依次选下去，共可以得到10种方法，所以总共有10×6＝60种方法．
答案：60
8．解析：法一：如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步．
当染边1时有3种染法，则染边2有2种染法．
(1)当3与1同色时有1种染法，则4有2种，5有1种，此时染法总数为3×2×1×2×1＝12(种).
(2)当3与1不同色时，3有1种，①当4与1同色时，4有1种，5有2种；②当4与1不同色时，4有1种，5有1种，则此时有3×2×1×(1×2＋1×1)＝18(种).
综合(1)、(2)，由分类加法计数原理，可得染法的种数为30种．
法二：通过分析可知，每种颜色至少要涂1次，至多只能涂2次，即有一色涂1次，剩余两种颜色各涂2次．一次的有C eq \\al(1,3)C eq \\al(1,5)种涂法，涂2次的有2种涂法，故一共有2C eq \\al(1,3)C eq \\al(1,5)＝30(种).
答案：30
9．解析：因为8个小组进行单循环赛，每小组进行6场小组赛，所以小组赛的场数为8×6＝48.因为16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为8＋4＋2＋2＝16，因此比赛进行的总场数为48＋16＝64.
答案：64