2025高考数学一轮复习-第4讲-基本不等式-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学一轮复习-第4讲-基本不等式-专项训练【含答案】，共8页。
1．若x eq \f(a＋b,2) B．ab< eq \f(a＋b,2)
C. eq \f(a＋b,2)> eq \f(b,a) D．ab> eq \f(b,a)
7．(多选)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是( )
A.ab有最大值 eq \f(1,4)
B. eq \r(a)＋ eq \r(b)有最大值 eq \r(2)
C. eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)有最小值2
D.a2＋b2有最小值 eq \f(1,2)
8．(多选)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则( )
A.a2＋b2≥ eq \f(1,2) B．2a－b＞ eq \f(1,2)
C.lg2a＋lg2b≥－2 D． eq \r(a)＋ eq \r(b)≤ eq \r(2)
9．函数y＝ eq \f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值为________．
10．已知0＜x＜ eq \f(\r(2),2)，则x eq \r(1－2x2)的最大值为________．
11．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋ eq \f(1,8b)的最小值为________．
12．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润为________万元．
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1．当x＞a时，2x＋ eq \f(8,x－a)的最小值为10，则a＝( )
A.1 B． eq \r(2)
C.2 eq \r(2) D．4
2．已知m>0，n>0，条件p：2m＋n＝mn，条件q：m＋n≥3＋2 eq \r(2)，则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．若lg4(3a＋4b)＝lg2 eq \r(ab)，则a＋b的最小值是( )
A.6＋2 eq \r(3) B．7＋2 eq \r(3)
C.6＋4 eq \r(3) D．7＋4 eq \r(3)
4．(多选)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.0< eq \f(1,ab)≤ eq \f(1,4) B． eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)≥1
C.lg2a＋lg2b eq \f(b,a)⇔a>1，显然成立．
所以 eq \f(a＋b,2)>ab> eq \f(b,a).
答案：BCD
7．解析：正实数a，b满足a＋b＝1，由基本不等式可得ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,4)，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2)时取等号，所以ab有最大值 eq \f(1,4)，故选项A正确；( eq \r(a)＋ eq \r(b))2＝a＋b＋2 eq \r(ab)＝1＋2 eq \r(ab)≤1＋a＋b＝2，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2)时取等号，所以 eq \r(a)＋ eq \r(b)有最大值 eq \r(2)，故选项B正确； eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝ eq \f(a＋b,ab)＝ eq \f(1,ab)≥4，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2)时取等号，所以 eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)有最小值4，故选项C错误；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥ eq \f(1,2)，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2)时取等号，所以a2＋b2有最小值 eq \f(1,2)，故选项D正确．
答案：ABD
8．解析：因为a＞0，b＞0，a＋b＝1，所以a＋b≥2 eq \r(ab)，当且仅当a＝b＝ eq \f(1,2)时，等号成立，即有ab≤ eq \f(1,4).
对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2× eq \f(1,4)＝ eq \f(1,2)，故A正确；
对于B，2a－b＝22a-1＝ eq \f(1,2)×22a，
因为a＞0，所以22a＞1，即2a－b＞ eq \f(1,2)，故B正确；
对于C，lg2a＋lg2b＝lg2ab≤lg2 eq \f(1,4)＝－2，故C错误；对于D，由( eq \r(a)＋ eq \r(b))2＝a＋b＋2 eq \r(ab)＝1＋2 eq \r(ab)≤2，得 eq \r(a)＋ eq \r(b)≤ eq \r(2)，故D正确．
综上可知，正确的选项为A，B，D.
答案：ABD
9．解析：因为y＝ eq \f(x2－1＋1,x＋1)＝x－1＋ eq \f(1,x＋1)＝x＋1＋ eq \f(1,x＋1)－2(x>－1)，
所以y≥2 eq \r(1)－2＝0，
当且仅当x＝0时，等号成立．
所以y＝ eq \f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值为0.
答案：0
10．解析：∵0＜x＜ eq \f(\r(2),2)，∴1－2x2＞0，
x eq \r(1－2x2)＝ eq \f(\r(2),2)· eq \r(2x2) eq \r(1－2x2)≤ eq \f(\r(2),2)· eq \f(2x2＋1－2x2,2)＝ eq \f(\r(2),4)，
当且仅当2x2＝1－2x2，
即x＝ eq \f(1,2)时等号成立．
答案： eq \f(\r(2),4)
11．解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，
∴2a＋ eq \f(1,8b)＝2a＋2-3b≥2 eq \r(2a·2-3b)
＝2 eq \r(2a-3b)＝2 eq \r(2-6)＝2×2-3＝ eq \f(1,4)，
当且仅当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3b，,a－3b＋6＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝1))时等号成立．
答案： eq \f(1,4)
12．解析：每台机器运转x年的年平均利润为 eq \f(y,x)＝ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(18－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))))万元．由于x＞0，故 eq \f(y,x)≤18－2 eq \r(25)＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元．
答案：8
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1．解析：2x＋ eq \f(8,x－a)＝2(x－a)＋ eq \f(8,x－a)＋2a≥2 eq \r(2(x－a)×\f(8,x－a))＋2a＝8＋2a，即8＋2a＝10，故a＝1.
答案：A
2．解析：因为m>0，n>0，由2m＋n＝mn，得 eq \f(1,m)＋ eq \f(2,n)＝1，则m＋n＝(m＋n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(2,n)))＝3＋ eq \f(n,m)＋ eq \f(2m,n)≥3＋2 eq \r(2)，
当且仅当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n,m)＝\f(2m,n)，,2m＋n＝mn，))即m＝ eq \r(2)＋1，n＝2＋ eq \r(2)时取等号，因此p⇒q；
因为m>0，n>0，由m＋n≥3＋2 eq \r(2)，可取m＝1，n＝10，
则2m＋n＝12，mn＝10，此时2m＋n≠mn，因此q⇒/p，
所以p是q的充分不必要条件．
答案：A
3．解析：由lg4(3a＋4b)＝lg2 eq \r(ab)，得 eq \f(1,2)lg2(3a＋4b)＝ eq \f(1,2)lg2(ab)，所以3a＋4b＝ab，即 eq \f(3,b)＋ eq \f(4,a)＝1，
所以a＋b＝(a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,b)＋\f(4,a)))＝ eq \f(3a,b)＋ eq \f(4b,a)＋7≥4 eq \r(3)＋7，当且仅当 eq \f(3a,b)＝ eq \f(4b,a)，即a＝2 eq \r(3)＋4，b＝3＋2 eq \r(3)时取等号．
答案：D
4．解析：因为a>0，b>0，所以ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)≤ eq \f(a2＋b2,2)，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2))) eq \s\up12(2)＝4或 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2))) eq \s\up12(2)≤ eq \f(a2＋b2,2)，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则 eq \f(1,ab)≥ eq \f(1,4)，a2＋b2≥8， eq \f(1,a2＋b2)≤ eq \f(1,8)，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则lg2a＋lg2b＝lg2ab≤lg24＝2，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立；
对于B选项， eq \f(1,a)＋ eq \f(1,b)＝ eq \f(a＋b,ab)＝ eq \f(4,ab)≥4× eq \f(1,4)＝1，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立．
答案：BD
5．解析：A选项，(a＋2b)2＝a2＋4b2＋4ab≥2·a·2b＋4ab＝8ab，A正确；B选项，找反例，当a＝b＝2时， eq \f(1,\r(a))＋ eq \f(1,\r(b))＝ eq \r(2)，2 eq \r(ab)＝4， eq \f(1,\r(a))＋ eq \f(1,\r(b))＜2 eq \r(ab)，B不正确；
C选项，∵a＋b＝4≥2 eq \r(ab)，∴ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，C正确；D选项， eq \f(1,a)＋ eq \f(4,b)＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))(a＋b)＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋4＋\f(b,a)＋\f(4a,b)))≥ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋2\r(\f(b,a)·\f(4a,b))))＝ eq \f(9,4)，当且仅当a＝ eq \f(4,3)，b＝ eq \f(8,3)时等号成立，D不正确．
答案：AC
6．解析：对于A，若x，y均不大于2，则x≤2，y≤2，则x＋y≤4，所以x＋y＞4，则x，y至少有一个大于2为真命题，故A正确；对于B，∀x∈R， eq \r(x2)＝|x|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x， x≥0，,－x，x＜0，))故B错误；对于C，由1＜a＜3得2＜2a＜6，由2＜b＜4得－4＜－b＜－2，所以－2＜2a－b＜4，故C正确；对于D，由于 eq \r(x2＋3)≥ eq \r(3)，函数y＝x＋ eq \f(1,x)在[ eq \r(3)，＋∞)上单调递增，故 eq \r(x2＋3)＋ eq \f(1,\r(x2＋3))≥ eq \r(3)＋ eq \f(1,\r(3))＝ eq \f(4\r(3),3)，D错误．
答案：AC
7．解析：因为a＞0，b＞0，且ab＝1，则 eq \f(1,2a)＋ eq \f(1,2b)＋ eq \f(8,a＋b)＝ eq \f(a＋b,2ab)＋ eq \f(8,a＋b)＝ eq \f(a＋b,2)＋ eq \f(8,a＋b)≥2 eq \r(\f(a＋b,2)·\f(8,a＋b))＝4，当且仅当 eq \f(a＋b,2)＝ eq \f(8,a＋b)，即a＝2＋ eq \r(3)，b＝2－ eq \r(3)或a＝2－ eq \r(3)，b＝2＋ eq \r(3)取等号．
答案：4
8．解析：法一：由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝ eq \f(1－y4,5y2)，
由x2≥0，可得y2∈(0，1]，
则x2＋y2＝ eq \f(1－y4,5y2)＋y2＝ eq \f(1＋4y4,5y2)＝ eq \f(1,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4y2＋\f(1,y2)))≥ eq \f(1,5)·2 eq \r(4y2·\f(1,y2))＝ eq \f(4,5)，当且仅当y2＝ eq \f(1,2)，x2＝ eq \f(3,10)时等号成立，
可得x2＋y2的最小值为 eq \f(4,5).
法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5x2＋y2＋4y2,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(25,4)(x2＋y2)2，
故x2＋y2≥ eq \f(4,5)，
当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即y2＝ eq \f(1,2)，x2＝ eq \f(3,10)时取得等号，
可得x2＋y2的最小值为 eq \f(4,5).
答案： eq \f(4,5)
9．解析：由题意可知a＋2b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(1,b)))(a＋2b)＝ eq \f(5,2)＋ eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥ eq \f(5,2)＋2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝ eq \f(9,2)，当且仅当b＝a＝ eq \f(3,2)时取得等号，所以a＋2b≥ eq \f(9,2)恒成立，故正实数m的一个范围可以为(0，4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(答案不唯一，是\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(9,2)))的子集即可)).
答案：(0，4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(答案不唯一，是\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(9,2)))的子集即可))
10．解析：由题意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得 eq \f(1,2)ac sin 120°＝ eq \f(1,2)a×1×sin 60°＋ eq \f(1,2)c×1×sin 60°，化简得ac＝a＋c， eq \f(1,a)＋ eq \f(1,c)＝1.因此4a＋c＝(4a＋c) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,c)))＝5＋ eq \f(c,a)＋ eq \f(4a,c)≥5＋2 eq \r(\f(c,a)·\f(4a,c))＝9，当且仅当c＝2a＝3时取等号，故4a＋c的最小值为9.
答案：9