专题09 圆锥曲线（7大易错点 典例 避错 举一反三 通关）-备战2025年高考数学考试易错题（新高考通用）

这是一份专题09 圆锥曲线（7大易错点 典例 避错 举一反三 通关）-备战2025年高考数学考试易错题（新高考通用），文件包含专题09圆锥曲线7大易错点典例避错举一反三通关-备战2025年高考数学考试易错题新高考通用解析版docx、专题09圆锥曲线7大易错点典例避错举一反三通关-备战2025年高考数学考试易错题新高考通用原题版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共89页， 欢迎下载使用。
题型一：圆锥曲线方程
易错点01 忽略圆锥曲线定义中的限制条件
易错点02 忽略圆锥曲线焦点的位置
易错点03 求离心率范围时忽略离心率本身范围
易错点04 求轨迹方程时忽略变量的取值范围
题型二：直线与圆锥曲线的位置关系
易错点05 直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错
易错点06 混淆“焦点弦”和“非焦点弦”
易错点07 恒成立意义不明导致定点问题错误
题型一：圆锥曲线方程
易错点01：忽略圆锥曲线定义中的限制条件

典例4 （24-25高三上·陕西榆林·期中）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”；
若动点的轨迹是双曲线，则为定值，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”.
因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
【易错剖析】
在解题时容易双曲线中定义中这一限制条件而错选C.
【避错攻略】
1、椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|．
【解读】在椭圆定义中，必须2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
3.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
【解读】(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．
(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
易错提醒：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上.
1．（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（ ）
①动点满足，则P的轨迹是椭圆
②动点满足，则P的轨迹是双曲线
③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线
④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（2025高三·全国·专题练习）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C．D．
3．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 .
1．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·安徽池州·二模）已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若圆与圆内切，则圆与圆内切
B．若圆与圆外切，则圆与圆外切
C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆
D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．直线C．线段D．不存在
4．（24-25高三下·全国·课后作业）动点满足方程，则点的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
5．（24-25高二上·黑龙江·期中）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（ ）
A．若，则点的轨迹为椭圆
B．若，则点的轨迹为双曲线
C．若，则点的轨迹为直线
D．若，则点的轨迹为圆
6．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（ ）
A．，点的轨迹为椭圆B．，点的轨迹为双曲线
C．，点的轨迹为抛物线D．，点的轨迹为圆
7．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为，则的方程为 .
8．（24-25高三下·湖北荆州·开学考试）已知动点到定点与定直线的距离的差为1．则动点的轨迹方程为 ．
易错点02：忽略圆锥曲线焦点的位置

典例（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【分析】分析可知，，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程.
【详解】由题意可知，，
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为；
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为.
综上所述，椭圆的标准方程为或.
故选：C.
【易错剖析】
本题容易忽略对椭圆焦点位置的讨论而漏解.
【避错攻略】
1.椭圆的标准方程
【解读】(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴．
(2)两种椭圆x2a2＋y2b2＝1，y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同．
(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.
2.双曲线的标准方程
【解读】 (1)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上，即x2，y2的系数异号．
(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线定形的条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．其中c＞a，c＞b，而a，b无大小要求．
3.抛物线的标准方程
【解读】 (1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．
(2)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．
(3)抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离．
(4)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
易错提醒： 由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求或的值．
1．（24-25高二上·天津和平·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
2．（24-25高三上·四川雅安·诊断测试）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．2B．C．4或D．或2
3．（24-25高三上·陕西宝鸡·期末）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是 .
1．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点P（－5，4），Q（0，6），则椭圆的方程为（ ）
A．1B．1
C．1D．1
2．（24-25高二上·河北衡水·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·安徽·期末）已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．（24-25高三上·河南·阶段练习）顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三上·山西太原·阶段练习）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
6．（24-25高三上·上海杨浦·阶段练习）与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为 ．
7．（23-24高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 .
①实轴长为4；②渐近线方程为
8．（2024·陕西榆林·二模）已知抛物线经过点，写出的一个标准方程： .
9．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点，且与椭圆有相同的焦点．
(2)经过两点，．
易错点03：求离心率范围时忽略离心率本身范围

典例 （24-25高三上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ．
【答案】
【分析】探求动点的轨迹，找出满足的不等关系，再转化为离心率解之即可.
【详解】因为动点满足，所以在以为直径的圆上.
又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，
所以，
则，即，
同除得，解之得.
故答案为：.
【易错剖析】
本题容易忽略椭圆的离心率满足这一范围而出错.
【避错攻略】
求离心率范围的方法
技巧1：建立关于和的一次或二次方程与不等式．
技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
技巧3：利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
技巧5：涉及的关系式利用基本不等式，建立不等关系．
易错提醒：圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是，而双曲线的离心率范围是，在求范围的时候要时刻注意.
1．（24-25高三上·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·河北邢台·期末）设椭圆与双曲线，若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则椭圆的离心率的范围是 .
1．（2021·黑龙江哈尔滨·三模）双曲线：（，）右焦点为，过倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的范围为（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的右焦点为F，P､Q是椭圆上关于原点对称的两点，M､N分别是PF､QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是 .
4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为 ．
5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线的渐近线方程为，则其离心率为 ．
6．（23-24高二上·江西南昌·期中）设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是 .
7．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知是椭圆的内接三角形，其中原点是的重心，若点A的横坐标为，直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为 ．
易错点04：求轨迹方程时忽略变量的取值范围
典例 （24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案.
【详解】如图，设与圆的切点分别为，则有，所以.
根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外），
即，又，所以，所以方程为.
故选：B.
【易错剖析】
本题容易忽略自变量的取值范围而出错而出错.
【避错攻略】
求轨迹方程的方法
1.直接法
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
第一步：建系：建立适当的坐标系
第二步：设点：设轨迹上的任一点
第三步：列式：列出有限制关系的几何等式
第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
2.定义法
根据动点满足的几何条件判断出轨迹的类型，然后求出轨迹方程．
3.相关点法
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
4.交轨法
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
易错提醒：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．
1．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25高三上·山东滨州·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ．
1．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C．D．
3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三上·广东·开学考试）（多选）设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（ ）
A．当时，点的轨迹是椭圆的一部分
B．当时，点的轨迹是双曲线的一部分
C．当时，点的轨迹是抛物线的一部分
D．当时，点的轨迹是椭圆的一部分
5．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，曲线上的点到点，的距离之积为定值，且曲线经过坐标原点，若点为曲线上一点，则（ ）
A．曲线的方程为
B．点在曲线上
C．
D．
6．（24-25高三上·全国·课后作业）已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ．
7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ．
8．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中B−2,0、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ．
9．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ．
题型二：直线与圆锥曲线的位置关系
易错点05： 直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错

典例 (2024·四川南部县模拟)过点P(3,1)作直线l与抛物线y2＝－4x只有一个交点，这样的直线l有________条( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】当直线l斜率不存在时，l：x＝3，与抛物线无交点，不合题意；
当直线l斜率为零时，l：y＝1，与抛物线有且仅有一个交点，满足题意；
当直线l斜率不为零时，x－3＝eq \f(1,k)(y－1)，
即x＝eq \f(1,k)(y－1)＋3，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,k)y－1＋3，,y2＝－4x))得ky2＋4y＋12k－4＝0，
则Δ＝16－4k(12k－4)＝0，解得k＝eq \f(1±\r(13),6)，
∴满足题意的直线l有两条；
综上所述，过点P(3,1)与抛物线y2＝－4x只有一个交点的直线l有3条．
【易错剖析】
本题容易忽略对斜率不存在、二次方程的二次项系数是否为零的讨论.
【避错攻略】
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点．
(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线Ceq \(□,\s\up1(5))相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离．
②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的eq \(□,\s\up1(8))对称轴平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|
＝eq \r(（1＋\f(1,k2)）[（y1＋y2）2－4y1y2])，k为直线斜率且k≠0.
易错提醒：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形．
1．（24-25高三上·北京·阶段练习）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为 .
2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）（多选）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（ ）
A．当时，直线与双曲线只有一个公共点
B．直线与双曲线只有一个公共点时，或
C．当或时，直线与双曲线没有公共点
D．当时，直线与双曲线有两个公共点
3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
1．（24-25高三上·北京·阶段练习）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（24-25高二上·北京·阶段练习）设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（24-25高二上·广西北海·期中）（多选）若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的方程可以是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 .
5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）双曲线与直线的公共点个数 ；
6．（24-25高三上·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线交椭圆E于M，N两点，若线段中点的横坐标为，求直线l的方程．
7．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试求当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
8．对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围；
(3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？
易错点06：混淆“焦点弦”和“非焦点弦”

典例 （24-25高三上·山东青岛·阶段练习）顶点在原点，焦点在x轴上且截直线所得弦长为的抛物线方程为
【答案】或
【详解】设所求抛物线方程为①，直线方程变形为②．
设直线与抛物线交于A，B两点，将②代入①整理得
，则．
解得或．故所求抛物线方程为或．
【易错剖析】
本题容易忽略斜率不存在的情况而造成漏解.
【避错攻略】
斜率为直线与抛物线交于两点，若求弦的长.
（1）一般弦长公式：．
（2）焦点弦长：设AB是抛物线的一条过焦点F的弦，，，则弦长．
易错提醒：求抛物线弦长的时候，应该首先确认直线是否通过抛物线的焦点，如果通过焦点就用焦点弦公式，否则只能用一般弦长公式.
1．（24-25高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（ ）
A．10B．8C．6D．
2．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的最小值为16
D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为
1．（24-25高二上·甘肃白银·期末）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，两个切点分别为，若，则的值为（ ）
A．2或B．1或
C．2或D．1或
3．（2024·河南新乡·一模）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．点的纵坐标之积与有关D．若（为坐标原点），则
4．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线准线的垂线，，垂足分别是，，下列说法正确的是( ).
A．直线过抛物线的焦点
B．当时，，两点横坐标的和为5
C．当时，直线截抛物线所得的弦长为8
D．以为直径的圆与直线相切
5．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（ ）
A．B．
C．以为直径的圆与相切D．为等腰三角形
6．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，，，则直线的斜率k的值为 ．
7．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则的面积为 ．
8．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为4.
(1)求的值；
(2)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程.
易错点07：恒成立意义不明导致定点问题错误

典例 已知抛物线的焦点为，过作两条相互垂直的弦，，设弦，的中点分别为，．求证：直线恒过定点．
【解析】设，，．由题意，知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，其方程为，代入，
得，
得，
又，故．
设直线的斜率为，因为，所以．同理，可得．
所以直线的方程为，
化简整理，得，该方程对任意恒成立，
故解得故不论为何值，直线恒过定点．
【易错剖析】
本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线的方程时计算错误；二是在得到了直线系的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解．
【避错攻略】
1、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
2、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
易错提醒：
直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明．
1．（2024·广西·二模）已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点．
3．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴.
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程；
(3)求证：直线经过原点.
1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高二上·天津静海·阶段练习）已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
3．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知椭圆的离心率为，右顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为．证明：直线过定点．
4．（24-25高三上·天津·阶段练习）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)动点、为椭圆上异于的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点.
5．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.
(1)直线与圆相切于点Q，求的值；
(2)求曲线C的方程；
(3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.
6．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且
(1)求该抛物线的方程；
(2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点.焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)
y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)
焦点
(－c，0)与(c，0)
(0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
焦点位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)
y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
Fp2，0
x＝－p2
y2＝－2px(p>0)
F−p2，0
x＝p2
x2＝2py(p>0)
F0，p2
y＝－p2
x2＝－2py(p>0)
F0，−p2
y＝p2