课时作业44 双曲线-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习课时作业

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1．(2024·甘肃高三一模)设，是双曲线的左、右焦点，一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且，则的面积等于( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为：，又一条渐近线方程为，，
由双曲线定义知：，
解得：，，又，
，，
.
故选：A.
2．(2024·甘肃兰州市·高三其他模拟)点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的一条渐进方程是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，
因为，由双曲线的定义，可得，解得，
所以双曲线的一条渐进方程是，即.
所以双曲线的一条渐进方程是.
故选：C.
3．(2024·云南高三其他模拟)设双曲线：的左､右焦点分别为，，若为右支上的一点，且，则( )
A．B．C．2D．
【答案】A
【解析】易知，则，.
因为为右支上的一点，所以.
因为，所以，
则，解得，所以，
故.
故选：A
4．(2024·江西赣州市·高三期末)已知双曲线的离心率为，则实数的值为( )
A．1B．C．D．1或
【答案】D
【解析】当焦点在轴时，，即
(舍)
当焦点在轴上时，，即
，(舍)，
故选：D
5．(2024·定远县育才学校)已知方程的图像是双曲线，那么k的取值范围是( )
A．B．C．或D．
【答案】C
【解析】因为方程的图像是双曲线，所以，解得或，故选：C
6．(2024·陕西省黄陵县中学)若方程表示双曲线，则的取值范围是( )
A．或B．
C．或D．
【答案】A
【解析】由题意，解得或．故选：A．
7．(2024·全国单元测试)焦距为10，且的双曲线的标准方程为( )
A．B．
C．D．或
【答案】D
【解析】由题意知2c＝10，c＝5，又，c2＝b2＋a2，
∴a2＝9，b2＝16，
∴所求双曲线的标准方程为或．
故选：D．
8．(2024·江西上)已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和顶点，则双曲线的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由椭圆可得，，所以，
可得，
所以椭圆的长轴端点为，焦点为
所以双曲线的焦点为，顶点为
设双曲线方程为，可得，，
所以，
所以双曲线的方程为，
故选：C.
9．(2024·安徽)已知双曲线：经过点，则的渐近线方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】依题意可得，解得，所以双曲线：，所以，
则的渐近线方程为.
故选：C．
10．(2024·安徽淮南市)已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设双曲线的标准方程为，，
由已知条件可得，解得，
因此，该双曲线的标准方程为.
故选：B
11．(2024·宁夏银川市·银川一中)已知两定点，曲线上的点P到的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
该曲线是以为焦点的双曲线，
，，即，
，
则该曲线的方程为.
故选：A.
12．(2024·全国高三月考)已知双曲线的一个顶点坐标为，且该双曲线的离心率是，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】据题意，得
所以.
又该双曲线的离心率等于，所以，
所以．
故选：C．
13．(2024·全国高三月考())若双曲线的离心率等于，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】据题意，得，所以，所以所求双曲线渐近线的方程为
故选：C.
14．(2024·浙江高三其他模拟)已知双曲线的焦距为10，则双曲线的渐近线方程为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】双曲线的焦距为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，
故选：D．
15．(2024·湖北黄石市·黄石二中)已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】联立直线方程和双曲线方程，化为，
因为直线与双曲线的右支交于不同两点，
所以，且，，
解得，
所以实数的取值范围为，
故选：D
16．(2024·全国高三专题练习)过点与双曲线只有一个公共点的直线有( )条．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】因为双曲线的方程为，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
又点在直线上，
如图所示：
当过点的直线与直线平行或与x轴垂直(过右焦点)时，与双曲线只有一个公共点，
所以这样的直线有2条．
故选：B
17．(多选)(2024·江苏)关于、的方程(其中)对应的曲线可能是( )
A．焦点在轴上的椭圆B．焦点在轴上的椭圆
C．焦点在轴上的双曲线D．焦点在轴上的双曲线
【答案】ABC
【解析】对于A选项，若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，A选项正确；
对于B选项，若方程表示在焦点在轴上的椭圆，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，B选项正确；
对于C选项，若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，
则，解得，
即当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，C选项正确；
对于D选项，若表示焦点在轴上的双曲线，
则，这样的不存在，D选项错误.
故选：ABC.
18．(多选)(2024·广东东莞市)已知曲线，则下列选项正确的是( )
A．，曲线表示椭圆
B．，曲线表示椭圆
C．，曲线表示双曲线
D．，曲线表示双曲线
【答案】BD
【解析】时，，，方程表示双曲线，A错；
时，，且，方程表示椭圆，B正确；
时，，且，方程表示椭圆，C错；
时，，方程表示双曲线，D正确．
故选：BD．
19．(多选)(2024·福建漳州市·龙海二中高三月考)已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率可能为( )
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，故有.
即，
所以，
所以.
故选：BC.
20．(多选)(2024·武冈市第二中学)已知直线过点，且与双曲线仅有一个公共点，则直线的方程可能为( )
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【解析】双曲线的渐近线方程为，
因为点为双曲线的一个顶点，
所以过点，且与双曲线仅有一个公共点的直线为
，或，或，
即满足的直线可以为，或，
故选：ACD
21．(2024·全国高三专题练习)已知双曲线的离心率为，则( )
A．的焦点在轴上B．的虚轴长为2
C．直线与相交的弦长为1D．的渐近线方程为
【答案】BC
【解析】由可知双曲线的焦点在轴上，A错误；
的离心率，解得，的虚轴长为，故B正确；
由B选项知，把代入双曲线的方程得，故弦长为1，C正确；
由B选项知且，且焦点在x轴上，双曲线的渐近线方程为，故D错误.
故选：BC.
22．(2024·广西玉林市)已知双曲线的左､右焦点分别是，，点关于，对称的点分别是，，线段的中点在双曲线的右支上，则___________.
【答案】
【解析】如图，设线段的中点为.
由双曲线的定义可得.
由对称性可得，，分别是线段，，的中点，则，，
故.
故答案为：16
23．(2024·赣州市赣县第三中学)若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围___________.
【答案】
【解析】方程，表示焦点在轴上的双曲线，
，
．
故答案为：
24．(2024·湖北高三月考)写出一个渐近线的倾斜角为且焦点在y轴上的双曲线标准方程___________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】如，焦点在y轴上，令，得渐近线方程为，
其中的倾斜角为.
故答案为：(答案不唯一).
25．(2024·北京人大附中高三月考)若直线l：与双曲线C：有两个公共点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】联立方程组 ，整得，
因为直线l：与双曲线C：有两个公共点，
所以，解得，且，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
26．(2024·全国课时练习)求双曲线被直线截得的弦长______________．
【答案】
【解析】联立方程组，整得，
设直线与双曲线交于两点，设，
则，
由弦长公式可得.
故答案为：.
27．(2024·河南新乡市)过双曲线：的右焦点作圆：的切线，此切线与的右支交于，两点，则___________.
【答案】
【解析】因为直线过双曲线的右焦点且与圆相切，所以直线的斜率存在，
设直线方程为()，由直线与圆相切知，解得或，
当时，双曲线的一条渐近线的斜率是，，该直线不与双曲线右支相交于两点，故舍去；
所以直线方程为，联立双曲线方程，消元得.
设，，则，，
所以.
故答案为：
28．(2024·全国课时练习)已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长________.
【答案】10
【解析】∵双曲线：的一条渐近线方程是，
∴，即，∵左焦点，∴
∴，∴，，
∴双曲线方程为，直线的方程为，
设，由，
消可得，∴，，
∴．
故答案为：10.
29．(2024·全国高三专题练习)过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线l与双曲线的交点为A、B，则|AB|＝_____.
【答案】3
【解析】双曲线焦点坐标为F1(－2，0)、F2(2，0)，直线AB的方程为y＝ (x＋2)
把该直线方程代入双曲线方程得，8x2－4x－13＝0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
所以x1＋x2＝，x1x2＝
|AB|＝·＝×＝3
故答案为：3
30．(2024·江苏宿迁市·宿迁中学高三期中)倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则_________.
【答案】
【解析】由双曲线标准方程可知：，所以有，
因此焦点的坐标为，由双曲线的对称性不妨设，直线过右焦点，
所以直线方程方程为，与双曲线联立得：
，设，，
因此有：，
所以.
故答案为：
31．(2024·北京海淀区·高三期末)已知双曲线的左右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为__________；__________.
【答案】
【解析】因为双曲线，半实轴，半虚轴,
所以渐近线方程为，即；
因为满足双曲线方程，且在双曲线的左支上，根据双曲线的定义得，
所以-2.
故答案为：；-2
32．(2024·全国课时练习)已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.
(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．
【答案】(1)；(2)0，，.
【解析】(1)由，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴
解得，且，
∴k的取值范围为．
(2)结合(1)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)．则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴，
∵点O到直线l的距离d＝，
∴，解得，
故或，检验符合.
故实数k的值为0，，.
33．(2024·六安市裕安区新安中学)已知双曲线及直线．
(1)若与有两个不同的交点，求实数的取值范围．
(2)若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长．
【答案】(1)且；(2)．
【解析】(1)联立y=2可得．
∵与有两个不同的交点，
．
且，
且．
(2)设，．
由(1)可知，．
又中点的横坐标为．
，
，
或．
又由(1)可知，为与有两个不同交点时，．
．
．
34．(2024·福建福州)双曲线C：，过点，作一直线交双曲线于A、B两点，若P为的中点．
(1)求直线的方程；
(2)求弦的长
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)设，P为的中点
，，
两式相减得：，
，
所以
所以直线的斜率，
直线的方程即，
将代入双曲线，
满足题意
所以直线的方程；
(2)由(1)将代入双曲线，
，
35．(2024·全国高三专题练习)过双曲线的右焦点F作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点.
(1)求双曲线的离心率和渐近线；
(2)求的长.
【答案】(1)，渐近线方程为；(2).
【解析】(1)因为双曲线方程为，
所以，
则，
所以，渐近线方程为.
(2)双曲线右焦点为，则直线l的方程为
代入双曲线中，化简可得
设，
所以，，
所以
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