课时作业26 等比数列-2024-2025学年高考数学艺体生一轮复习课时作业

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一、单选题
1．(2024·云南高三其他模拟)已知、、、成等差数列，、、、、成等比数列，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于、、、成等差数列，可得，
设等比数列、、、、的公比为，则，
由等比中项的性质可得，，因此，.故选：D.
2．(2024·威远中学校高三月考)等比数列的各项均为正数，且，则( ).
A．B．C．20D．40
【答案】B
【解析】设数列的公比为，由得，所以,
由条件可知，故.由得，所以,.故选：B
3．(2024·四川省峨眉第二中学校高三月考)已知正项等比数列中，，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在正项等比数列中，由所以，又，
所以所以故选：D
4．(2024·西藏山南二中高三月考)已知等比数列的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为( )
A．15B．17C．19D．21
【答案】B
【解析】由题意可得，，
由等比数列的通项公式可得，所以，
故选：B.
5．(2024·黑龙江大庆市·大庆中学高三期中)等比数列的前项和为，若，，，，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在等比数列中，，，则为递增数列，，
由已知条件可得，解得，，，
因此，.故选：A.
6．(2024·四川宜宾市·高三一模)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则的值为( )
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列，
则，所以.
所以，即，化简得解得：或(舍)故选：C
7．(2024·四川宜宾市·高三一模)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的3倍，则的值为( )(结果精确到0.1，参考数据：，)
A．2.2B．2.4C．2.6D．2.8
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的进度形成数列，小老鼠每天打洞的进度形成数列，
则由题可得数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以第天后大老鼠打洞的总进度为，
数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以第天后小老鼠打洞的总进度为，
则由题可得，整可得，
解得或，即(舍去)或，
.故选：C.
8．(2024·湖北武汉市·华中师大一附中高三期中)已知等比数列满足，数列为等差数列，其前项和为，若，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】在等比数列中，，由等比中项的性质可得，解得，，
由等差数列的求和公式可得.故选：D.
9．(2024·河北高三月考)在公比为的正项等比数列中，已知，，则( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由等比数列的性质，可得，因为正项等比数列中，所以，
又由，所以，解得.故选：A.
10．(2024·西藏拉萨市第二高级中学高三期中)等差数列的公差为2，若成等比数列，则( )
A．72B．90C．36D．45
【答案】B
【解析】由题意知：，，又成等比数列，
∴，解之得，
∴，则，∴，故选：B
11．(2024·肇东市第四中学校高三期中)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝( )
A．4B．5C．8D．15
【答案】C
【解析】∵a3a11＝4a7，∴＝4a7，
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8．故选：C
12．(2024·湖南高三月考)已知是公差为1的等差数列，且是与的等比中项，则( )
A．0B．1C．3D．2
【答案】C
【解析】是公差为1的等差数列，
又是与的等比中项，，即，解得，故选：C.
13．(2024·全国高三专题练习)已知正项等比数列满足，，又为数列 的前n项和，则( )
A． 或B．
C．15D．6
【答案】B
【解析】正项等比数列中，，，解得或(舍去)
又，，解得，，故选：B
14．(2024·广东深圳市·明德学校高三月考)在等比数列中，是数列的前n项和．若，则( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【解析】设的公比为q，则．故选：B.
15．(2024·河南高三月考)在数列中，，，则( )
A．32B．16C．8D．4
【答案】C
【解析】因为，所以，所以数列是公比为2的等比数列．
因为，所以．故选：C
16．(2024·陕西西安市·高三月考)已知数列满足且，则的前10项的和等于( )．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，数列满足，即，又由，即，解得，
所以数列表示首项为，公比为的等比数列，所以，即的前10项的和为.故选：B.
17．(2024·江西高三期中)已知为等比数列，，，则的值为( )
A．B．9或C．8D．9
【答案】D
【解析】为等比数列，所以所以故选：D
18．(2024·安徽六安市·六安一中高三其他模拟)在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是( )
A．25B．C．5D．
【答案】B
【解析】是等比数列，且，.
又，，，当且仅当时取等号.故选：B.
19．(2024·全国高三专题练习)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8-2S4=5，则a9+a10+a11+a12的最小值为( )
A．10B．15C．20D．25
【答案】C
【解析】由题意可得a9+a10+a11+a12=S12-S8，由S8-2S4=5，可得S8-S4=S4+5.
又由等比数列的性质知S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，则S4(S12-S8)=(S8-S4)2.
当且仅当S4=5时等号成立，所以a9+a10+a11+a12的最小值为20.故选：C.
20．(2024·全国高三专题练习)各项均为正数的等比数列的前项和为，若则 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，由题意易知所以，，
两式相除得，化简得，解得，所以,故选B.
21．(2024·东莞市光明中学高三月考)已知等比数列的前n项和为，且，，则( )
A．16B．19C．20D．25
【答案】B
【解析】因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，，故.故选：B
22．(2024·陕西宝鸡市·高三月考)已知等比数列中，，，，则( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，则，
即，因为，所以，
则，即，解得，故选：B.
23．(2024·辽宁大连市·辽师大附中高三月考)已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为( )
A．5B．7C．9D．11
【答案】A
【解析】根据题意，数列为等比数列，设，
又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，
故；故选：
24．(2024·全国)设等比数列的前项和为，若，则公比( )
A．1或B．1C．D．
【答案】A
【解析】设等比数列的首项为，
由题意可知，当时，，显然成立；
当时，由得，
化简得，所以
解得.综合得.故选：A.
25．(2024·江苏南京市·金陵中学高三月考)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则S5＝( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】正项等比数列{an}的前n项和为Sn，，
∴，解得a1＝1，q＝，∴S5＝＝＝．故选：B．
26．(2024·山东高三专题练习)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第一天走的路程为( )
A．180里B．170里C．160里D．150里
【答案】C
【解析】根据题意，设此人每天所走的路程为数列，其首项为，即此人第一天走的路程为，
又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项，为公比的等比数列，
又由，即有，解得：；故选：．
27．(2019·山东潍坊市·高二月考)若等比数列的前n项和，则该数列的公比q的值为( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解析】因为，故可得.故.故选：C.
28．(多选)(2024·辽宁葫芦岛市·高三月考)已知各项均为正数且单调递减的等比数列满足，，成等差数列，其前项和为，且，则( )
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】由，，成等差数列，得.
设的公比为，则，解得或(舍去)，
所以，解得.所以数列的通项公式为，
，故选：AC.
29．(2024·全国高三专题练习())已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．则=_________.
【答案】
【解析】设的公差为，由题意：，即，
整得：，∴(舍去)，，故：，
故答案为：.
30．(2024·海南高三专题练习)数列满足且，则的值是___________
【答案】11
【解析】因为，所以数列是以为公比的等比数列，
由得，所以，即，
故答案为：11.
31．(2024·湖南永州市·高三月考)在等比数列中，若，则＝________.
【答案】
【解析】因为等比数列中，若，所以，所以.故答案为：.
32．(2024·石嘴山市第三中学高三月考)设为等比数列,其中，则___________；
【答案】25
【解析】由等比数列性质可得，所以故答案为25
33．(2024·江西省信丰中学高三月考())若等比数列的各项均为正数，且，则等于__________．
【答案】50
【解析】由题意可得，=，填50.
34．(2024·全国高三开学考试)已知在等比数列中，，，则首项______.
【答案】4
【解析】由，得,即， 又，，所以.
故答案为：4
35．(2024·贵州安顺市·高三其他模拟())在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】依题意，
依题意存在，使得，
即，即，
所以，
所以.
当且仅当时等号成立.
所以的最小值为.
故答案为：
36．(2024·广东肇庆市·高三月考)已知等比数列中，，，则________．
【答案】21
【解析】因为为等比数列，设公比为，
所以①，又②
得，所以，
所以，
故答案为：21
37．(2024·全国高三专题练习)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________.
【答案】10
【解析】根据等比数列的前n项和的性质，若Sn是等比数列的和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍是等比数列，得到(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，
即.
解得S3＝10或S3＝90(舍)．
故答案为：
38．(2024·全国高三专题练习)设等比数列的前n项和为，若，则为________.
【答案】
【解析】∵等比数列的前项和为,且
∴
由等比数列的性质得,
所以
故答案为:
39．(2024·江苏苏州市·吴江中学高三其他模拟)等比数列的前项和为,则实数_______.
【答案】1
【解析】
最后代回原式进行检验。
40．(2024·黑龙江大庆市·铁人中学高三月考())已知数列满足且，证明数列是等比数列；
【答案】证明见解析；
【解析】因为，所以，即，
所以是首项为1公比为3的等比数列
42．(2024·全国高三专题练习)已知数列满足：.证明数列是等比数列，并求数列的通项；
【答案】见证明；
【解析】证明：因为，所以．
因为所以所以．
又，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以．
43．(2024·安徽高三三模)已知数列，满足，且．求证：数列为等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】由，得．而．
故数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
44．(2024·全国高三专题练习)已知数列满足，.求证：数列是等比数列；
【答案】证明见解析；
【解析】，，
因此，数列是等比
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