第一单元 圆·面积篇（十五大考点）-【北师大版】最新六年级数学上册典型例题系列（专练）

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北师大版小学数学教材的特点北师大版小学数学教材作为当前备受关注的一个教材，特点如下：1、课本内容全面。以学生的学习视角出发，贴近生活，融入日常生活的知识；2、图文融合，生动活泼。让学生更加专注，激发孩子的学习兴趣；3、实际操作。让学生更加理解概念，重点就是内容贴近实际行动；4、卡片联系。不仅对内容理解，还可以联系出不同的知识，提高数学理解和思考能力；5、教学重点突出。强调基础知识的记忆及熟练掌握，及时根据学生的学习情况进行相关调整，培养学生勤学苦练的良好思维习惯，让学生全面掌握数学知识。六年级数学上册典型例题系列第一单元圆·面积篇【十五大考点】专题解读本专题是第一单元圆·面积篇。本部分内容考察圆面积的计算公式及实际应用，部分考点和题型难度较大，可选择性讲解，总体建议作为本章核心内容进行讲解，一共划分为十五个考点，欢迎使用。目录导航目录TOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc22264" 【考点一】圆与长方形的拼切转化问题（圆面积转化推导公式）  PAGEREF _Toc22264 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc20317" 【考点二】圆的面积  PAGEREF _Toc20317 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc31436" 【考点三】已知周长，求圆的面积  PAGEREF _Toc31436 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc18969" 【考点四】半圆的面积  PAGEREF _Toc18969 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc30998" 【考点五】半圆的实际应用  PAGEREF _Toc30998 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc8285" 【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题  PAGEREF _Toc8285 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc11518" 【考点七】面积的比较问题  PAGEREF _Toc11518 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc25130" 【考点八】半径、直径和周长、面积的倍数关系  PAGEREF _Toc25130 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc18986" 【考点九】半径、直径和周长、面积的比例关系  PAGEREF _Toc18986 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc29068" 【考点十】半径、直径和周长、面积的增减变化问题  PAGEREF _Toc29068 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc15217" 【考点十一】长方形与最圆问题  PAGEREF _Toc15217 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc17171" 【考点十二】外方内圆与外圆内方（正方形与最圆问题。  PAGEREF _Toc17171 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc19437" 【考点十三】圆面积与指针问题  PAGEREF _Toc19437 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc8975" 【考点十四】圆环的面积问题其一：整圆环  PAGEREF _Toc8975 \h 17 HYPERLINK \l "_Toc5574" 【考点十五】圆环的面积问题其二：半圆环  PAGEREF _Toc5574 \h 18典型例题【考点一】圆与长方形的拼切转化问题（圆面积转化推导公式）。【方法点拨】把一个圆割成一个近似的长方形，割拼成的长方形的长相当于圆周长的一半，用字母πr表示，宽相当于圆的半径，用字母r表示，因为长方形的面积=长×宽，所以圆的面积=πr2。【典型例题1】基础型。把圆按下图所示的顺序逐步细分，拼成长方形的样子。这样细分下去，圆的面积就是a和b的积。从图中可以看出：  (1)a是圆的( )。(2)b是圆的( )。(3)如果a＝2厘米，这个圆的面积为( )。【对应练习1】把一个圆平均分成若干份，正好可以拼成宽为4cm的长方形，这个长方形的长是( )cm，原来圆的面积是( )cm2。【对应练习2】将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形（如下图），圆的面积是( )cm2。  【对应练习3】如图，将一个圆形纸片等分成若干份，拼成一个近似的长方形，周长比原来圆周长多8厘米，圆形纸片的半径是( )厘米，这张圆形纸片的面积是( )平方厘米。  【典型例题2】拓展型。把圆剪开，拼成一个近似的长方形，长方形的周长为41.4cm，这个圆的面积是( )。【对应练习1】把一个圆切割后拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长为24.84厘米，原来这个圆的面积是( )平方厘米。【对应练习2】把一个圆沿着半径剪开，再拼成一个近似的长方形（如右图）。已知这个近似长方形的周长是24.84厘米，这个圆的面积是( )平方厘米。（π取3.14）【对应练习3】如下图，把一个圆等分后拼成一个近似长方形，这个长方形的周长是33.12厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米。与近似长方形周长关系，求出圆的半径，解答问题。【考点二】圆的面积。【方法点拨】圆的面积S=πr2。【典型例题】用圆规画圆时，圆规两脚间的距离是4cm，所画出圆面积是( )cm2。【对应练习1】一个圆形游泳池的半径是5m，它的周长是( )m，面积是( )m2。【对应练习2】小明用圆规画一个圆，圆规两脚张开的距离是3厘米，画出的圆的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。【对应练习3】圆的半径是3米，它的直径是( )米，周长是( )米，面积是( )平方米。（π取3.14）【考点三】已知周长，求圆的面积。【方法点拨】已知圆的周长，先求出圆的半径，再根据圆的面积公式求面积。【典型例题】用圆规画一个周长是15.7厘米的圆，圆规两脚间叉开的距离应是( )厘米，该圆的面积是( )平方厘米。【对应练习1】画一个周长62.8厘米的圆，圆规两脚间的距离是( )厘米，画成的圆的面积是( )平方厘米。【对应练习2】一个圆形铁板的周长是12.56米，它的半径是( )米，面积是( )平方米。【对应练习3】大戏院门店有一根圆柱子，柱子的外围周长是314cm，它的横截面面积是( )cm2。【考点四】半圆的面积。【方法点拨】半圆的面积：S半圆=πr2÷2。【典型例题】一个半圆半径为3厘米，它的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。【对应练习1】直径是4厘米的半圆，它的周长是( )，面积是( )。【对应练习2】把一张周长是18.84dm的圆形纸片对折成半圆，这个半圆的周长是( )dm，面积是( )dm2。【对应练习3】一个周长为20.56 cm的半圆，它半径是( )cm，面积是( )cm²。【考点五】半圆的实际应用。【方法点拨】半圆的面积：S半圆=πr2÷2。【典型例题】李奶奶用15.7米长的篱笆靠墙围成一个半圆形的菜园，这个菜园的面积是( )。【对应练习1】李奶奶家的养鸡场（如图），一面靠墙，一面用竹篱笆围成半圆，它的半径是6m。（1）修这个养鸡场用了多长的竹篱笆？（2）李奶奶要扩建这个养鸡场，把它的半径增加2m。养鸡场的面积会增加多少？【对应练习2】东东家有一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场，这个半圆的直径是8米，篱笆长多少米？鸡场占地多少平方米？【对应练习3】王奶奶用78.5米长的篱笆靠墙围成了一个半圆形的养鸡场。这个养鸡场的占地面积是多少平方米？【考点六】圆与正方形、长方形的等长转化问题。【方法点拨】用同一根铁丝围成正方形、正方形或圆，周长不变，借此求面积。【典型例题1】等长转化其一。一根铁丝围成了一个边长7.85厘米的正方形（接头不计），如果把这根铁丝围成最大的圆（接头不计），圆的周长是( )厘米，圆的面积是( )平方厘米。【对应练习1】一根铁丝可以围成一个边长为1.57dm的正方形，如果用这根铁丝围成一个圆形，那么这个圆形的面积是( )dm2。【对应练习2】两根同样长的铁丝分别围成一个正方形和一个圆，已知正方形的边长是6.28厘米，圆的半径是( )厘米，面积是( )平方厘米。【对应练习3】用一根长15.7厘米的铁丝围成一个正方形，正方形的面积是( )平方厘米；如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积是( )平方厘米。【典型例题2】等长转化其二。一根铁丝刚好能围成一个长8厘米，宽4.56厘米的长方形。如果将这根铁丝围成一个圆，这个圆的面积有多少平方厘米？【对应练习1】一段铁丝刚好能围成一个长10.5厘米、宽2.06厘米的长方形，用同样长的铁丝围成一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？【对应练习2】一根铁丝围成一个长10cm，宽5.7cm的长方形，用这根铁丝再围成一个最大的圆形，这个圆形的面积是多少?【考点七】面积的比较问题。【方法点拨】周长相等的图形（长方形、正方形、圆）中，圆的面积最大。【典型例题】有一根628厘米长的铁丝，如果用它正好围成一个长方形（长和宽自己确定），面积是多少？要围成一个正方形，面积是多少？围成圆呢？围成的图形中，哪种面积最大？【对应练习1】用三根同样长的铁丝分别围成一个圆、一个长方形和一个正方形，其中( )的面积最大。【对应练习2】把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。【对应练习3】把一根24分米长的铁丝平均截成3段，一段围成正方形，一段围成长方形，另一段围成一个圆．其中，( )面积最大，( )面积最小。【考点八】半径、直径和周长、面积的倍数关系。【方法点拨】在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数，面积扩大倍数的平方倍。【典型例题1】倍数关系其一。圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大( )，周长就扩大( )倍。【对应练习1】一个圆的半径扩大4倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。【对应练习2】一个圆的周长扩大5倍，它的直径扩大到原来的( )倍，面积扩大到原来的( )倍。【对应练习3】一个圆的半径扩大a倍，直径扩大( )倍，周长扩大( )倍，面积扩大( )倍。【典型例题2】倍数关系其二。大圆的半径是小圆的半径的2倍，则小圆周长是大圆周长的( )，大圆面积是小圆面积的( )倍。【对应练习1】有大小两个圆，大圆直径是小圆直径的3倍，那么大圆周长是小圆周长的( )倍；小圆面积是大圆面积的( )。（填几分之几）【对应练习2】大圆半径是小圆半径的4倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，小圆面积是大圆面积的( )。【对应练习3】大圆半径是小圆半径的5倍，大圆周长是小圆周长的( )倍，大圆面积是小圆面积的( )倍。【考点九】半径、直径和周长、面积的比例关系。【方法点拨】1.两个圆的半径比等于直径比等于周长比，而面积比等于以上比的平方。2.圆周长和直径的比是π:1，比值是π；圆周长和半径的比是2π:1，比值是2π。【典型例题1】比例关系其一。两圆的半径之比，它们的面积之比是( )，周长之比是( )。【对应练习1】两个圆的半径之比是4∶3，它们的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )，如果较大的圆的周长是12.56cm，则较小的圆的周长是( )cm。【对应练习2】小圆直径8厘米，大圆半径6厘米，小圆和大圆直径之比是( )；小圆和大圆周长比是( )；小圆和大圆的面积比是( )。【对应练习3】已知小圆半径是大圆半径的，则小圆与大圆的周长之比是( )，如果小圆面积是，则大圆面积是( )。【典型例题2】比例关系其二。如图：大圆半径为8厘米，小圆半径为4厘米，则大圆与小圆的直径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处，那么小圆的圆心移动的长度是( )厘米。【对应练习1】下图是由一个大圆和一个小圆组成的，点O是大圆的圆心。小圆与大圆的半径之比是( )，周长之比是( )，面积之比是( )。【对应练习2】三个同心圆（如图），已知OA：AB：BC的比是1：2：3，那么这三个圆（从小到大）的周长之比是( )，面积之比是( )。【对应练习3】（如图）如果大圆的半径和小圆的直径相等，那么大圆面积与小圆面积之比是( )。A．2∶1 B．4∶1 C． D．【考点十】半径、直径和周长、面积的增减变化问题。【方法点拨】1.周长的变化：算出增加后圆的周长和原来的周长进行相减得到周长增加的部分。当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米；当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。2.面积的变化：算出增加后圆的面积和原来的面积进行相减得到面积增加的部分。【典型例题】一个半径是3dm的圆，如果半径增加1dm，那么周长增加( )dm，面积增加( )dm2。【对应练习1】圆的半径由4cm增加到5cm，它的周长增加( )cm，它的面积增加( )cm2。（π取3.14）【对应练习2】一个圆的半径是6m，周长是( )m，面积是( )m2；如果这个圆的半径增加1m，则周长增加( )m，面积增加( )m2。【对应练习3】用篱笆围一个半圆形养鸡场，一面靠墙，篱笆长15.7米。如果将养鸡场半径增加1米，需要增加围栏( )米，则面积增加( )平方米。【考点十一】长方形与最圆问题。【方法点拨】在长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。【典型例题】在一张长6cm，宽4cm的长方体纸上画一个最大的圆，那么圆规两脚间的距离是( )厘米；所画圆的面积是( )平方厘米。【对应练习1】在一块长8分米、宽6分米的长方形铁板上，剪掉一个最大的圆，剩下部分的面积是( )平方分米。【对应练习2】在长8cm，宽0.6dm的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的周长是( )cm，面积是( )cm2。【对应练习3】在一张长8cm、宽6cm的长方形纸板中画出一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，周长是( )cm，面积是( )cm2。【考点十二】外方内圆与外圆内方（正方形与最圆问题）。【方法点拨】1.外方内圆：在正方形里面画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，圆的面积与正方形面积比为π:4。2.外圆内方：在圆里面画最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线的长，圆的面积与正方形的面积比为π:2。【典型例题1】“外方内圆”。如图，在一张边长10cm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )，剩余部分的面积是( )。【对应练习1】在一个面积为40平方厘米的正方形里，剪下一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米。【对应练习2】在一张周长20分米的正方形上剪下一个最大的圆，则剩余部分的面积是( )平方分米。【对应练习3】数学课上，小明用边长8cm的正方形纸，小华用边长10cm的正方形纸，各剪了一个最大的圆，小明和小华所剪的圆的周长之比是( )，面积之比是( )。【典型例题2】“外圆内方”。在一个圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是72平方厘米，那么这个圆的面积是( )平方厘米，周长是( )厘米。【对应练习1】把一个圆形纸片折成一个最大的正方形，这个正方形的对角线长8cm，那么这个圆形纸片的面积是( )平方厘米，折起来的部分的面积是( )平方厘米。【对应练习2】在一个周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，这个正方形的面积是( )平方厘米，这个正方形的面积与这个圆的面积最简单整数比是( )∶( )。【对应练习3】如图，在周长是18.84厘米的圆内画一个最大的正方形，阴影部分的面积是( )平方厘米。【典型例题3】综合型。如图中，在边长是2cm的正方形内画一个最大的圆，再在圆里画一个最大的正方形，那么阴影部分的面积是( )cm2。【对应练习1】大圆内有一个最大的正方形，正方形内有一个最大的圆，大圆面积和小圆面积的比是( )。A．4∶1 B．200∶157 C．2∶1 D．200∶43【对应练习2】如图，大圆内画一个最大的正方形，正方形内画一个最大的圆…，如此画下去，共画了4个圆，那么，最大的圆的面积是最小的圆的( )倍。A．2 B．4 C．8 D．16【考点十三】圆面积与指针问题。【方法点拨】时针和分针可看作圆的半径，求周长或面积时，应先分析出时针或分针走的圈数。【典型例题】一个钟表的分针长10厘米，时针长8厘米。从1时到2时，分针针尖走过了多少厘米？这时时针扫过的面积是多少平方厘米？（结果保留两位小数）【对应练习1】一个挂钟的分针长12厘米，经过15分钟，分针尖端走过的路程是多少厘米？分针扫过内面积是多少平方厘米？【对应练习2】某钟表的分针长10厘米，从1时到4时，分针针尖走过了多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？【对应练习3】一个钟表的时针长8厘米，分针长10厘米，从中午12时到下午6时，时针扫过的面积是多少？一昼夜分针尖端走过的路程是多少？【考点十四】圆环的面积问题其一：整圆环。【方法点拨】圆环的面积：S=πR2-πr2。【典型例题】在一个半径为3米的圆形花园外铺一条宽1米的小路，小路的面积是多少？【对应练习1】公园内有一个周长是25.12米的圆形喷水池，在喷水池的周围有一条2米宽的甬路。甬路的占地面积有多少平方米？【对应练习2】土楼是福建、广东等地的一种民居建筑，外围形状有圆形、方形、椭圆形等。有两座底面是圆环形的土楼，其中一座外直径34米，内直径14米；另一座外直径26米，内直径也是14米。两座土楼的房屋占地面积相差多少？【对应练习3】小林爸爸新买了一张圆形餐桌，桌面的直径是2米。（1）如果每个人需要0.5米宽的位置就餐，这张餐桌最多能坐多少人？（2）为了方便大家夹菜，爸爸又在餐桌中央放了一个直径是1米的圆形转盘，剩下桌面的面积是多少？【考点十五】圆环的面积问题其二：半圆环。【方法点拨】半圆环的面积：S=(πR2-πr2)÷2。【典型例题】在一个半径为10米的圆形喷泉周围修一条宽3米的小路，小路一半面积铺鹅卵石，一半面积铺水泥。小路铺水泥（如下图）的面积是多少平方米？【对应练习1】如图所示。李爷爷靠墙用篱笆围了一块半圆形的苗圃，半径是4米。如果要扩建这个苗圃，把这块苗圃的半径增加2米，这块半圆形苗圃的面积增加了多少平方米？【对应练习2】一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。（1）这个花坛的面积有多大？（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？【对应练习3】一个半圆形花坛，一周的长是35.98米。（1）这个花坛的面积有多大？（2）如果扩建这个花坛，把半径增加1米，花坛的面积增大多少？