2024-2025学年福建省宁德市高三上册12月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省宁德市高三上册12月月考数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．抛物线的准线方程是（ ）
A．B．C．D．
4．等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象在点处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，侧面展开图为扇形AOD的圆锥和侧面展开图为扇环ABCD的圆台的体积相等，且，则（ ）
A．2B．C．4D．8
7．已知正项等差数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知是定义在上的奇函数，且当时，．若，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，从参赛选手的答卷中随机抽取了份，将得分（满分100分）进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，且竞赛成绩落在内的人数为10，则（ ）
A．
B．
C．估计参赛选手得分的平均分低于70分（同组数据用该组区间的中点值作代表）
D．估计参赛选手得分的中位数在内
10．已知函数，则（ ）
A．为奇函数B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称D．的最大值为
11．双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（ ）
A．
B．上存在点，使得
C．上的点的纵坐标的最大值为
D．若直线与恰有一个公共点，则的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若两个单位向量，满足，则 ．
13．甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一侧，则不同的站法共有 种．
14．已知，，且，则的最小值为
四、解答题（本大题共5小题）
15．△的内角的对边分别为．已知．
(1)求的值；
(2)求△周长的最大值．
16．某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会．
(1)求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率；
(2)记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望．
17．如图，在多面体中，平面，平面平面，，，为等腰直角三角形，且，，

(1)证明：平面.
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知是椭圆上的一点，且的离心率为，斜率存在且不过点的直线与相交于，两点，直线与直线的斜率之积为
(1)求的方程.
(2)证明：的斜率为定值.
(3)设为坐标原点，若与线段（不含端点）相交，且四边形的面积为，求的方程.
19．已知函数的定义域为，区间，若，，则称是在上的不动点，集合为在上的不动点集.
(1)求函数在上的不动点集；
(2)若函数在上有且只有一个不动点，求的取值范围；
(3)若函数在上的不动点集为，求的取值范围.
答案
1．【正确答案】A
【详解】，其在复平面内对应的点位于第一象限，
故选：A.
2．【正确答案】B
【详解】因为，，
所以不成立，，故CD错误，
则，，故A错误，B正确，
故选：B.
3．【正确答案】B
【详解】解：抛物线的标准方程为，
所以抛物线的准线方程为．
故选：B
4．【正确答案】D
【详解】设的公比为，则，从而，
则，
故选：D.
5．【正确答案】C
【详解】由，得，，
则的图象在点处的切线方程为，即，
令，得，令，得，
则该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，
故选：C.
6．【正确答案】A
【详解】设侧面展开图为扇形的圆锥的底面半径为r，高为h，
则该圆锥的体积.
侧面展开图为扇形的圆锥的底面半径为，高为，
则该圆锥的体积.
由题可知，从而.
故选：A.
7．【正确答案】C
【详解】因为为等差数列，所以，，
则，
所以，
从而，
故，
故选：C.
8．【正确答案】A
【详解】当时，显然恒成立．
当时，可以理解为将的图象向右平移个单位长度后，得到的的图象始终在的图象的下方（或重合）．
当时，由的图象可知，
，则，解得；

当时，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，函数在R上为增函数，
对任意的x∈R且时，，恒成立.
综上所述，的取值范围为．
故选：A.
9．【正确答案】ABD
【详解】对于A、B，由，
得，则，故A，B正确；
对于C，估计参赛选手得分的平均分为x，
则，故C不正确；
对于D，因为，，
所以估计参赛选手得分的中位数在内，故D正确．
故选：ABD.
10．【正确答案】AD
【详解】，恒成立，则函数的定义域为，
则，所以为奇函数，A正确．
，所以的最小正周期不是，B不正确．
，所以的图象不关于直线对称，C不正确，
，显然，为函数的一个周期，且，
由C可知，函数关于对称，
当x∈0,π时，，由，
设，则在单调递减，当时取得最小值，
得，所以，当，即时取得最大值，
当时，，所以的最大值为，D正确．
故选：AD
11．【正确答案】ACD
【详解】由图可知，点在C上，所以，A正确，
设曲线C上任一点Px,y，由，可得，，
即C上不存在点，使得，B不正确,
方程可化为，
令，得，
由可得，
即，等号成立，故C上的点的纵坐标的最大值为，C正确．
直线与C均经过原点，则直线与C除原点外无其他公共点．
联立方程组整理得．
当时，方程仅有一解，满足题意，
当时，当时，方程恒成立，即恒有一解，当时，方程化简得，
即当时，方程无解，满足题意，综上，，解得或，D正确．
故选：ACD
12．【正确答案】
【详解】由，得，
因为，为单位向量，
所以，则，
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】先站甲、乙、丙人，共有种不同的站法，
再站剩余人，先将1人排到甲、乙、丙3人之间的空位中，
最后将剩余的1人排到前面4人之间的空位中，
共有种不同的站法，
根据分步乘法计数原理，不同的站法共有种．
故40
14．【正确答案】
【详解】由，得，
则，
则.
因为，所以，则，
当且仅当时，等号成立，
从而.
又，
所以当取得最大值时，取得最小值，且最小值为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)3
【详解】（1）（方法一）因为，，所以，
则．
又，所以．
因为，所以．
又，所以，
（方法二）由余弦定理得，
因为，所以，则．
．
因为，所以．
（2）由（2）可得，
从而．
因为，当且仅当时，等号成立，所以，
从而，则周长的最大值为3．
16．【正确答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【详解】（1）若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额，可知乙也得抽中银奖，此时概率．
若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额，此时概率．
故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率．
（2）记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为，则．
由题可知，，，
，，
则，，，．
的分布列为
．
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）

证明：取CD的中点O，连接OB，OF.
因为△FCD为等腰直角三角形，且，所以.
又平面平面ABCD，平面平面，平面，
所以平面ABCD，.
因为平面ABCD，
所以.
又平面，平面，
所以平面ADE，
因为，所以，
又，
所以四边形ABOD为平行四边形，则.
因为平面ADE，平面ADE，
所以平面ADE，
又，平面，
所以平面平面ADE.
因为平面OBF，所以平面ADE .
（2）解：由题可知AB，AD，AE两两垂直，
故以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则B1,0,0，，E0,0,1，，
，，
设平面的法向量为m=x1,y1,z1，
则由得，
令，得，
设平面的法向量为n=x2,y2,z2，
则由得，
令，得.
，
则平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由题可知，解得，，
故的方程为.
（2）设的方程为，Px1,y1，.
联立方程组
整理得，
即，则，，
，
整理得，则或，
若，则，则过点，不符合题意，
故，即的斜率为定值.
（3）由（2）可得直线，，，
因为与线段（不含端点）相交，所以，
，
点到的距离，
点到的距离，
四边形的面积，
解得或（舍去），
故的方程为.
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，得，
解得或，
故在0,+∞上的不动点集为.
（2）方法一：由题可知，关于的方程在上有且只有一个实数根.
即方程在只有一解.
因为是方程的解，所以方程在上无解.
作函数和，的图象，如下图：
由，，所以.
当或即或时，与，的图象只有一个交点.
所以的取值范围是.
方法二：由题可知，关于的方程在上有且只有一个实数根.
令，则.
若，则在上恒成立，φx在上单调递增.
因为，，所以φx在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个不动点.
若，则在上恒成立，φx在上单调递减.
因为，，所以φx在上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个不动点.
若，易知是上的偶函数，且在上单调递增.
因为，，所以存在，使得，
则当和时，φ′x>0，φx单调递增，当时，φ′x