2024-2025学年山东省青岛市高三上册1月期末数学检测试题
展开
这是一份2024-2025学年山东省青岛市高三上册1月期末数学检测试题,共6页。
1. 已知集合A=,B=,则A∩B等于( )
A. [1,3]B. [1,5]C. [3,5]D. [1,+∞)
2. 若复数z满足:,则的共轭复数的虚部为( )
A. -2B. iC. 0D. 2
3. 我国古代数学名著《算法统宗》中说:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次第,孝和休惹外人传.”意为:“996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第1个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第8个孩子为止.分配时一定要按照次序分,要顺从父母,兄弟间和气,不要引得外人说闲话.”在这个问题中,第8个孩子分到的棉花为( )
A. 184斤B. 176斤C. 65斤D. 60斤
4. 已知随机变量服从正态分布,且,则( )
A. 0.5B. 0.625C. 0.75D. 0.875
5. 已知,则( )
A. B. C. D.
6. 设,是椭圆的两个焦点,P是椭圆上一点,且点P到两个焦点的距离之差为1,则的面积为( )
A. 2B. 3C. D.
7. 已知函数在区间上单调递增,且在区间上只取得一次最大值,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 定义在上的函数满足,且当时,.若对,都有,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、选择题;本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
9. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系中,点满足.设点的轨迹为,下列结论正确的是( )
A. 的方程为
B. 在轴上存在异于的两定点,使得
C. 当三点不共线时,射线是平分线
D. 在上存在点,使得
10. 已知函数,若在上的值域是,则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
11. 对于伯努利数,有定义.则( )
A B.
C. D.
12. 已知函数(为正整数,)的最小正周期,将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称,则下列关于函数的说法正确的是( )
A. 是函数的一个零点B. 函数的图象关于直线对称
C. 方程在上有三个解D. 函数在上单调递减
三、填空题;本题共4小题,每小题5分,共20分
13. 一个布袋中,有大小、质地相同的4个小球,其中2个是红球,2个是白球,若从中随机抽取2个球,则所抽取的球中至少有一个红球的概率是______.
14. 已知抛物线的焦点为,过点作倾斜角为的直线交于,两点,过,分别作的切线、,与交于点,,与轴的交点分别为,,则四边形的面积为______________.
15. 已知函数,则的最小值为____.
16. 已知函数有六个不同零点,且所有零点之和为,则的取值范围为__________.
四、解答题;本题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. 某电视台“挑战主持人”节目挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得分,回答不正确得分,第三个问题回答正确得分,回答不正确得分.如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是,回答第三个问题正确的概率为,且各题回答正确与否相互之间没有影响.若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于分就算闯关成功.
()求至少回答对一个问题概率.
()求这位挑战者回答这三个问题的总得分的分布列.
()求这位挑战者闯关成功的概率.
18. 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个长方体形状的包装盒,E,F是AB边上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设cm.
(1)求包装盒的容积关于x的函数表达式,并求出函数的定义域.
(2)当x为多少时,包装盒的容积V()最大?最大容积是多少?
19. 已知函数
(1)函数为的导函数,讨论当时的单调性;
(2)当时,证明:存在唯一的极大值点.
20. 已知数列中,,,,
(1)求通项公式;
(2)设,求.
21. 已知直线方程为,其中.
(1)当变化时,求点到直线的距离的最大值及此时的直线方程;
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点,求面积的最小值及此时的直线方程.
22. 已知函数.
(1)求的极值;
(2)若,且,证明:.