2024-2025学年天津市和平区高三上册期末数学模拟检测试卷

这是一份2024-2025学年天津市和平区高三上册期末数学模拟检测试卷，共5页。
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
·球的体积公式，其中表示球的半径.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．，或D．
2．“直线与圆相交”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．函数在的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
4．某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在内.现将所有学生的体能测试成绩按分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，则体能测试成绩在内的被抽取的学生人数为（ ）
A．4B．6C．8D．10
5．记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在正三棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的半径为（ ）

A．2B．C．D．
8．已知函数的最小正周期是，把它图象向右平移个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论：
①函数的图象关于直线对称.；②函数的图象关于点对称；
③函数在区间上单调递减；④函数在上有个零点.
正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③D．②
9．已知双曲线，过原点O任作一条直线，分别交曲线两支于点P，Q（点P在第一象限），点F为E的左焦点，且满足，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
10．已知函数，函数，若方程恰好有4个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共11小题，共105分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.
11．已知为虚数单位，若，则 .
12．展开式中的常数项为 ．
13．过点，且与直线相切于点的圆的方程为
14．袋子中有6个大小相同的小球，其中4个红球，2个白球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则两次都摸到红球的概率为 ；在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 .
15．在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，则 ；为线段上的动点，为中点，则的取值范围为 .
三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．在中，角所对的边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积的最大值；
(3)设是边上一点，为角平分线且，求的值.
17．在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，是中点，是中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的大小；
(3)在棱上是否存在一点，使得的余弦值为？若存在，指出点在上的位置；若不存在，说明理由．
18．已知椭圆的长轴长是，为右顶点，，，，是椭圆上异于顶点的任意四个点，当直线经过原点时，直线和的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线和的斜率之积为定值时，直线是否过一个定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
19．在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.
(1)求，，，；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
20．已知函数.
(1)若，求函数的极值；
(2)讨论的单调性；
(3)若是的两个极值点，证明.