2024-2025学云南省昆明市年高二上册期末数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学云南省昆明市年高二上册期末数学质量检测试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{﹣2，0，1，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1}B．{﹣2，0，1}C．{0，1，3}D．{﹣2，0，1，3}
2．（5分）已知复数z满足z2﹣2iz﹣1＝0，则z=（ ）
A．﹣1B．1C．iD．﹣i
3．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标是（ ）
A．（12，0）B．（14，0）C．（0，18）D．（0，14）
4．（5分）在空间直角坐标系中，已知向量a→=(3，2，2−m)，b→=(m，9，−3)，若a→⊥b→，则m＝（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
5．（5分）若双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，焦距为43，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．y=±2xC．y=±12xD．y=±22x
6．（5分）已知f(x)=(a−2)x+5，x＜1，−ax2+x，x≥1在（﹣∞，+∞）上满足f(x1)−f(x2)x1−x2＜0，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，2）B．[12，2)C．[29，2)D．(29，2)
7．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为16，且AA1＝2，则长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球表面积的最小值为（ ）
A．2053πB．16053πC．20πD．100π
8．（5分）已知点O（0，0），点P满足|PO|＝1，则点P到直线x﹣my﹣3＝0的距离的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同学有12名，则（ ）
A．这五个社团的总人数为100
B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C．这五个社团总人数占该校学生人数的5%
D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%
（多选）10．（6分）已知圆C1：x2+y2＝1，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0），则下列说法正确的是（ ）
A．当r＝1时，圆C1与圆C2有2条公切线
B．当r＝2时，y＝1是圆C1与圆C2的一条公切线
C．当r＝3时，圆C1与圆C2相离
D．当r＝4时，圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为y＝﹣x+1
（多选）11．（6分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，点P在l上的射影为P1，点O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．过点M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条
B．以PQ为直径的圆与x＝0相切
C．设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥2
D．若|PQ|＝8，则△OPQ的面积为22
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）已知平面α过点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，﹣1，2）三点，直线l与平面α垂直．则直线l的一个方向向量的坐标可以是 ．
13．（5分）将函数y=cs(2x−π6)的图象向右平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度后，所得函数为奇函数，则φ＝ ．
14．（10分）1911年5月，欧内斯特•卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文．在这箭论文中，他描述了用α粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望α粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分α粒子从金箔工反弹．如图2显示了卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 ；如果α粒子的路径经过点（20，10），则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 cm．
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知1﹣cs2A＝4sinAsinBsinC．
（1）求1tanB+1tanC的值；
（2）若a＝4，求△ABC的面积．
16．已知点A是圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点．
（1）求直线AB的方程；
（2）求经过A，B两点，且圆心在直线y＝2x﹣5上的圆的标准方程．
17．已知函数f（x）＝4x﹣a•2x．
（1）当a＝2时，求f（x）在[﹣2，2]上的最值；
（2）设函数g（x）＝f（x）+f（﹣x），若g（x）存在最小值﹣8，求实数a的值．
18．如图，已知在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1，E是B1C1的中点，F是DD1的中点．
（1）求证：D1E∥平面CB1F；
（2）求平面CB1F与平面BB1C1C夹角的余弦值；
（3）求点A到平面CB1F的距离．
19．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，其中一个焦点的坐标为（1，0）．
（1）求C的方程；
（2）过左焦点的直线交C于A，B两点，点P在C上．
（i）若△PAB的重心G为坐标原点，求直线AB的方程；
（ii）若△PAB的重心G在x轴上，求G的横坐标的取值范围．
答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}，B＝{﹣2，0，1，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1}B．{﹣2，0，1}C．{0，1，3}D．{﹣2，0，1，3}
【分析】先解一元二次不等式得集合A，再求交集即得．
解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{﹣2，0，1，3}，
则A∩B＝{0，1，3}．
故选：C．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）已知复数z满足z2﹣2iz﹣1＝0，则z=（ ）
A．﹣1B．1C．iD．﹣i
【分析】化简z2﹣2iz﹣1＝0可得z＝i，再由共轭复数的定义即可得出答案．
解：z2﹣2iz﹣1＝z2﹣2iz+i2＝（z﹣i）2＝0，解得z＝i，
由共轭复数的定义可知，z=−i．
故选：D．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标是（ ）
A．（12，0）B．（14，0）C．（0，18）D．（0，14）
【分析】直接利用抛物线的简单性质写出结果即可．
解：抛物线y＝2x2，化为x2=12y，
它的焦点坐标为：（0，18）．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
4．（5分）在空间直角坐标系中，已知向量a→=(3，2，2−m)，b→=(m，9，−3)，若a→⊥b→，则m＝（ ）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
【分析】利用向量数量积的坐标表示解方程可得结果．
解：由a→⊥b→可得a→⋅b→=0，
因为向量a→=(3，2，2−m)，b→=(m，9，−3)，
所以a→⋅b→=3m+2×9﹣3（2﹣m）＝0，
解得m＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间向量的数量积运算，属于基础题．
5．（5分）若双曲线x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）的实轴长为4，焦距为43，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2xB．y=±2xC．y=±12xD．y=±22x
【分析】根据实轴长以及焦距可得a＝2，c=23，计算可得b=22，再由渐近线方程的形式即可求得结果．
解：实轴长为4，则2a＝4，∴a＝2，
焦距为43，∴2c=43，∴c=23；
∴b2＝c2﹣a2＝12﹣4＝8，∴b=22；
渐近线方程y=±bax=±2x．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
6．（5分）已知f(x)=(a−2)x+5，x＜1，−ax2+x，x≥1在（﹣∞，+∞）上满足f(x1)−f(x2)x1−x2＜0，则实数a的取值范围为（ ）
A．（0，2）B．[12，2)C．[29，2)D．(29，2)
【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可．
解：由f(x)=(a−2)x+5，x＜1，−ax2+x，x≥1在（﹣∞，+∞）上满足f(x1)−f(x2)x1−x2＜0，
可得f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，
所以a−2＜0−a＜0−1−2a≤1a−2+5≥−a+1，解得12≤a＜2；
即实数a的取值范围为[12，2)．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数单调性定义，还考查了分段函数单调性的应用，属于中档题．
7．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为16，且AA1＝2，则长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球表面积的最小值为（ ）
A．2053πB．16053πC．20πD．100π
【分析】设AB＝a，AD＝b，由柱体的体积可得ab＝8，长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的半径为r=a2+b2+44，由基本不等式求出r的最小值即可求出外接球表面积的最小值．
解：设AB＝a，AD＝b，又AA1＝2，
∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为2ab＝16，∴ab＝8，
∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径2r即为长方体的体对角线，
∴2r=a2+b2+4，
∴r=a2+b2+44≥2ab+44=2×8+44=5，
当且仅当a=b=22时取等，∴rmin=5，
∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球表面积的最小值为4πr2＝20π．
故选：C．
【点评】本题考查长方体的外接球，重要不等式的应用，属中档题．
8．（5分）已知点O（0，0），点P满足|PO|＝1，则点P到直线x﹣my﹣3＝0的距离的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】由题意知，点P的轨迹为以点O为圆心，半径为1的圆，直线l：x﹣my﹣3＝0经过定点（3，0），结合图形可得，当且仅当l⊥x轴时，点P到直线x﹣my﹣3＝0的距离最大，即可求得．
解：如图，因点P满足|PO|＝1，则点P的轨迹为以点O为圆心，半径为1的圆，
又直线l：x﹣my﹣3＝0经过定点（3，0），
由图知，要使点P到直线x﹣my﹣3＝0的距离最大，只需使圆心O到直线l的距离最大，（理由：过点A（3，0）另作一条直线m，过点O作OE⊥m于点E，
在Rt△AEO中显然有|OA|＞|OE|，故当且仅当l⊥x轴时，点O到直线x﹣my﹣3＝0的距离最大）．
即当且仅当l⊥x轴时，点P到直线x﹣my﹣3＝0的距离最大，为3+1＝4．
故选：D．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同学有12名，则（ ）
A．这五个社团的总人数为100
B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C．这五个社团总人数占该校学生人数的5%
D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%
【分析】根据朗诵社团的人数及其占比可计算出五个社团的总人数为80，即A错误，
再根据太极拳社团的人数计算出其占比，可得脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%，即B正确，
利用该校总人数可得C错误，
由古典概型概率计算公式可得D正确．
解：A项，参加朗诵社团的同学有8名，占比为10%，∴这五个社团的总人数为：8÷10%＝80人，故A项错误，
B项，太极拳社团的同学有12名，占比为：12÷80＝15%，
∴脱口秀社团的人数占五个社团总人数的1﹣30%﹣10%﹣25%﹣15%＝20%，故B项正确，
C项，该校共有2000名，∴这五个社团总人数占该校学生人数的80÷2000＝4%，故C项错误，
D项，脱口秀社团共有80×20%＝16人，舞蹈社团共有80×25%＝20人，两社团共有36人，
∴从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为36÷80＝45%，故D项正确．
故选：BD．
【点评】本题考查了随机抽样，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知圆C1：x2+y2＝1，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0），则下列说法正确的是（ ）
A．当r＝1时，圆C1与圆C2有2条公切线
B．当r＝2时，y＝1是圆C1与圆C2的一条公切线
C．当r＝3时，圆C1与圆C2相离
D．当r＝4时，圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为y＝﹣x+1
【分析】根据两圆圆心距与半径间的关系判断各项中圆C1与圆C2的位置关系，结合点线距离与半径的大小关系判断直线与圆的关系，相交情况下两圆方程相减求得公共弦所在直线的方程．
解：由圆C1：x2+y2＝1，圆心C1（0，0），半径r1＝1，
圆C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（r＞0），圆心C2（3，3），半径r；
故两圆圆心距为|C1C2|=32，
对于选项A，当r＝1时，|C1C2|=32＞r+1，此时两圆相离，故圆C1与圆C2有4条公切线，即A选项错误；
对于选项B，当r＝2时，y＝1是圆C1的切线，
又圆心C2（3，3）到y＝1的距离为d＝2＝r，即圆C2与y＝1相切，
所以y＝1是圆C1与圆C2的一条公切线，即B选项正确；
对于选项C，当r＝3时，|C1C2|=32＞4=r+1，此时圆C1与圆C2相离，即C选项正确；
对于选项D，当r＝4时，4﹣1＝3＜|C1C2|＜5＝4+1，此时圆C1与圆C2相交，
将两圆方程相减可得2x+2y﹣1＝0，即圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为y=−x+12，即D选项错误．
故选：BC．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系的判断与应用，是中档题．
（多选）11．（6分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，点P在l上的射影为P1，点O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．过点M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条
B．以PQ为直径的圆与x＝0相切
C．设M（0，1），则|PM|+|PP1|≥2
D．若|PQ|＝8，则△OPQ的面积为22
【分析】分别求出过点M（0，1）与抛物线相切以及斜率为0的直线，即可判断A；根据抛物线定义和梯形中位线性质求得|NN1|=12|PQ|，即可判断B；由抛物线定义可知|PP1|＝|PF|，利用三点共线求距离之和最小值，即可判断C，设PQ的直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和弦长公式求解，即可判断D．
解：对于A，由抛物线性质知，
过点M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线必有x＝0，y＝1，
当直线斜率存在时，可设直线方程为y＝kx+1，
当直线与抛物线C相切时，有且仅有一个公共点，
联立y=kx+1y2=4x，化简：k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，
所以Δ＝（2k﹣4）2﹣4k2＝0，解得：k＝1，所以切线方程为y＝x+1，
综上可知，过点M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有3条，故A正确；
对于B，如图，设点Q在l上的射影为Q1，取PQ的中点为N，P1Q1的中点为N1，
由抛物线定义可知|PP1|+|1|＝|PF|+|QF|＝|PQ|，
在梯形PP1Q1Q中，有|NN1|=12(|PP1|+|1|)=12|PQ|，
所以以PQ为直径的圆与准线相切，切点为N1，故B错误；
对于C，易知F（1，0），由抛物线定义可知|PP1|＝|PF|，所以|PM|+|PP1|＝|PM|+|PF|，
当P，F，M三点共线时，有最小值为|MF|=2，
所以|PM|+|PP1|≥2，故C正确；
对于D，设PQ的方程为x＝my+1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立x=my+1y2=4x，化简y2﹣4my﹣4＝0，可得Δ＝（4m）2+16＞0，因此m≠0，
所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以|PQ|=1+m2(y1+y2)2−4y1y2=1+m2(4m)2+16
＝4（1+m2）＝8，
解得：m＝±1，
又O到直线PQ的距离为d=11+m2=22，
所以S△OPQ=12×22×8=22，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）已知平面α过点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，﹣1，2）三点，直线l与平面α垂直．则直线l的一个方向向量的坐标可以是 （﹣2，2，1）（答案不唯一） ．
【分析】根据平面法向量的求法求出一个法向量n→=(−2，2，1)，即可得出直线l的一个方向向量．
解：平面α过点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，﹣1，2）三点，
所以OA→=(2，2，0)，OB→=(0，−1，2)，
可设平面α的一个法向量为n→=(x，y，z)，
可得OA→⋅n→=0OB→⋅n→=0，即2x+2y=0−y+2z=0，令y＝2，可得x＝﹣2，z＝1；
所以n→=(−2，2，1)；
因为直线l与平面α垂直，所以直线l的一个方向向量与n→=(−2，2，1)共线，
所以直线l的一个方向向量的坐标可以是（﹣2，2，1）．
故（﹣2，2，1）（答案不唯一）．
【点评】本题考查平面的法向量的求法，属于基础题．
13．（5分）将函数y=cs(2x−π6)的图象向右平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度后，所得函数为奇函数，则φ＝ π6 ．
【分析】根据平移规则可得平移后的解析式，再利用奇偶性以及0＜φ＜π2即可得φ=π6．
解：函数y=cs(2x−π6)的图象向右平移φ个单位以后可得y=cs(2x−2φ−π6)；
即y=cs(2x−2φ−π6)为奇函数，因此可得−2φ−π6=π2+kπ，k∈Z，即φ=−π3−k2π，k∈Z；
又0＜φ＜π2，可知当k＝﹣1时，φ=π6符合题意．
故π6．
【点评】本题考查了平移的变换，三角函数的诱导公式，奇函数的定义，是基础题．
14．（10分）1911年5月，欧内斯特•卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文．在这箭论文中，他描述了用α粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况．在进行这个实验之前，卢瑟福希望α粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分α粒子从金箔工反弹．如图2显示了卢瑟福实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为 2 ；如果α粒子的路径经过点（20，10），则该粒子路径的顶点距双曲线的中心 103 cm．
【分析】根据渐近线倾斜角可得离心率为2，代入点坐标计算即可得双曲线方程，求得结果．
解：由题意几何图形可知双曲线的一条渐近线方程为y=tan45°⋅x=bax，即ba=1，
即a＝b，所以离心率为e=c2a2=1+b2a2=1+1=2；
双曲线是等轴双曲线，设双曲线的方程为x2﹣y2＝a2，
将（20，10）代入双曲线方程，得202﹣102＝a2，
解得a=103；
所以该粒子路径的顶点距双曲线的中心103cm．
故2；103．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，关键在于利用题目信息，根据渐近线倾斜角得出离心率，再由过的点坐标得出实半轴长，是中档题．
四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知1﹣cs2A＝4sinAsinBsinC．
（1）求1tanB+1tanC的值；
（2）若a＝4，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式以及同角三角函数的商数关系计算可得结果；
（2）由正弦定理以及三角形面积公式求解可得．
解：（1）由1﹣cs2A＝4sinAsinBsinC及倍角公式，
可得2sin2A＝4sinAsinBsinC，
又A∈(0，π2)，所以sinA≠0，
故sinA＝2sinBsinC，
又A+B+C＝π，则sinA＝sin（B+C），
则有sinBcsC+csBsinC＝2sinBsinC，
由锐角△ABC可知B，C∈(0，π2)，故csBcsC≠0，
因此sinBcsC+csBsinCcsBcsC=2sinBsinCcsBcsC，
整理可得tanB+tanC＝2tanBtanC，
所以1tanB+1tanC=2；
（2）由（1）中sinA＝2sinBsinC，
利用正弦定理可得a＝2bsinC，
因为a＝4，所以bsinC＝2，
则S△ABC=12absinC=12×4×2=4．
【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的应用，属中档题．
16．已知点A是圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4与y轴的公共点，点B是圆C上到x轴距离最大的点．
（1）求直线AB的方程；
（2）求经过A，B两点，且圆心在直线y＝2x﹣5上的圆的标准方程．
【分析】（1）根据给定条件，求出点A、B的坐标，再利用直线的两点方程求解，可得答案；
（2）求出线段AB的中垂线方程，求出直线的交点坐标，再求出圆的半径，即可得到所求圆的标准方程．
解：（1）在圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4中令x＝0，解得y＝2，
可知圆C与y轴切于点A（0，2），
结合BC⊥x轴，|BC|＝4，点B在x轴上方，可知B（2，4），
所以直线AB的方程为y−24−2=x−02−0，化简得x﹣y+2＝0．
（2）由（1）知A（0，2），B（2，4），
所以线段AB的中点为（1，3），且直线AB的斜率k＝1，
可得线段AB的中垂线方程为y﹣3＝﹣（x﹣1），即x+y﹣4＝0，
由x+y−4=0y=2x−5，解得x=3y=1，所求圆的圆心为（3，1），半径r=(0−3)2+(2−1)2=10．
所以所求圆的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10．
【点评】本题主要考查直线的方程、圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
17．已知函数f（x）＝4x﹣a•2x．
（1）当a＝2时，求f（x）在[﹣2，2]上的最值；
（2）设函数g（x）＝f（x）+f（﹣x），若g（x）存在最小值﹣8，求实数a的值．
【分析】（1）根据题意，设t=2x∈[14，4]，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，令λ=2x+2−x≥22x⋅2−x=2，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果．
解：已知函数f（x）＝4x﹣a•2x，
（1）当a＝2时，f（x）＝4x﹣2•2x＝（2x）2﹣2•2x，
设t=2x∈[14，4]，则h（t）＝t2﹣2t，开口向上，对称轴t＝1，
所以函数h（t）在[14，1]上单调递减，（1，4]上单调递增，
所以h（t）min＝h（1）＝﹣1，h（t）max＝h（4）＝8，
所以f（x）在[﹣2，2]上的最小值为﹣1，最大值为8．
（2）g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝4x﹣a•2x+4﹣x﹣a•2﹣x＝（2x+2﹣x）2﹣a•（2x+2﹣x）﹣2，
设λ=2x+2−x≥22x⋅2−x=2，当且仅当2x＝2﹣x，即x＝0时取得等号，
所以y＝λ2﹣aλ﹣2，g（λ）＝λ2﹣aλ﹣2，λ∈[2，+∞），对称轴λ=a2．
当a2≥2，即a≥4时，y＝λ2﹣aλ﹣2在[2，a2]上单调递减，(a2，+∞)上单调递增，
所以λ=a2时，ymin=−a24−2=−8，解得a=26或a=−26（舍去），
当a2≤2，即a≤4时，y＝λ2﹣aλ﹣2，在[2，+∞）上单调递增，
则当λ＝2时，ymin＝2﹣2a＝﹣8，解得a＝5，不满足题意；
综上，实数a的值为26．
【点评】本题考查函数的性质，属于中档题．
18．如图，已知在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，其中AB＝AA1＝2，AD＝DC＝1，E是B1C1的中点，F是DD1的中点．
（1）求证：D1E∥平面CB1F；
（2）求平面CB1F与平面BB1C1C夹角的余弦值；
（3）求点A到平面CB1F的距离．
【分析】（1）利用空间位置关系的向量表示可得结论；
（2）求出两平面的法向量，再由面面角的向量求法计算可得结果；
（3）利用点到平面距离的向量求法计算即可．
解：（1）证明：因为AA1⊥底面ABCD，AD⊥AB，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，E(32，12，2)，F(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，2)，D（0，1，0），D1（0，1，2），
则CB1→=(1，−1，2)，CF→=(−1，0，1)，BB1→=(0，0，2)，D1E→=(32，−12，0)，
设平面CB1F的一个法向量为m→=(x，y，z)，
则CB1→⊥m→CF→⊥m→，则CB1→⋅m→=x−y+2z=0CF→⋅m→=−x+z=0，
令x＝1，可得y＝3，z＝1，
即m→=(1，3，1)，
因为D1E→⋅m→=(1，3，1)⋅(32，−12，0)=0，可得D1E→⊥m→，
且D1E⊄平面CB1F，
所以D1E∥平面CB1F
（2）设平面BB1C1C的一个法向量为n→=(x1，y1，z1)，
则CB1→⊥n→BB1→⊥n→，则CB1→⋅n→=x1−y1+2z1=0BB1→⋅n→=2z1=0，
解得z1＝0，令x1＝1，可得y1＝1，
即n→=(1，1，0)，
所以cs＜m→，n→＞=m→⋅n→|m→||n→|=411×2=22211，
因此平面CB1F与平面BB1C1C夹角的余弦值为22211；
（3）易知AB1→=(2，0，2)，
平面CB1F的一个法向量为m→=(1，3，1)，
所以点A到平面CB1F的距离为d=|AB1→⋅m→||m→|=411=41111．
【点评】本题考查向量法在立体几何中的应用，属于中档题．
19．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，其中一个焦点的坐标为（1，0）．
（1）求C的方程；
（2）过左焦点的直线交C于A，B两点，点P在C上．
（i）若△PAB的重心G为坐标原点，求直线AB的方程；
（ii）若△PAB的重心G在x轴上，求G的横坐标的取值范围．
【分析】（1）根据已知条件列方程组，求出a，b即可得解；
（2）设直线AB的方程为x＝my﹣1，与椭圆方程联立消元，得到（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，利用韦达定理得到y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
（i）根据重心为原点得到G点坐标，将G点坐标代入椭圆方程即可求出m的值，进而得到直线AB的方程；
（ii）设G（t，0），方法同（i），得到G点坐标，将G点坐标代入椭圆方程得到3t2+163m2+4t−4m23m2+4=0，利用m2≥0求出t的取值范围．
解：（1）由题可得ca=1c=1b2=a2−c2，解得：a2=4b2=3，
所以C的方程为：x24+y23=1；
（2）（i）因为左焦点为（﹣1，0），直线AB的斜率不为零，
设直线AB的方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），
联立x=my−1x24+y23=1，消去x得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，
因为△PAB的重心为原点，所以y1+y2+y3＝0，
所以y3=−(y1+y2)=−6m3m2+4，
则x3=−(x1+x2)=−m(y1+y2)+2=83m2+4，
又P（x3，y3）在椭圆x24+y23=1上，
则(83m2+4)24+(−6m3m2+4)23=1，
化简得：12m2+16(3m2+4)2=1，
解得：m＝0，所以直线AB的方程是x＝﹣1；
（ii）如图，设G（t，0），
由（i）可知y3=−6m3m2+4，x3=3t−(x1+x2)=3t+83m2+4，
代入x24+y23=1，可得(3t+83m2+4)24+12m2(3m2+4)2=1，
即3t2+163m2+4t−4m23m2+4=0，
所以m2=−4(3t2+4t)9t2−4≥0，
即（3t+4）t（3t+2）（3t﹣2）≤0，且t≠±23，
解得：t∈[−43，−23)∪[0，23)．
【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，属于难题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
C
A
B
B
C
D