2024-2025学年甘肃省天水市高一上册期末数学模拟检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年甘肃省天水市高一上册期末数学模拟检测试题（含解析），共33页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设集合，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．设A、B、C是函数与函数的图象连续相邻的三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．已知函数，其中表示不超过的最大整数.设，定义函数，，则下列说法正确的有（ ）个
①的定义域为；
②设，则；
③；
④若集合，则中至少含有8个元素.
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．已知定义在上的函数满足：对任意实数，均有，则下列结论中，错误的是（ ）
A．存在使且
B．可能为常数函数
C．若，则
D．若，且时，，则解集为
6．已知，则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．以上均不正确
7．函数的定义域为，若对于任意的，当时，都有，则称函数在上为非减函数.设函数在上为非减函数，且满足以下三个条件：①；②；③.则等于（ ）
A．B．C．D．
8．设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ）
A．9B．1C．D．3
9．定义在上的奇函数满足，当时，，设，则（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，在0,+∞上有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度.用表示不超过的最大整数，记，其中.设，当时，不等式解集的区间长度为，则实数的最小值为（ ）.
A．B．C．6D．7
12．已知函数，下列命题中错误的是（ ）
A．，使得是偶函数B．，都不是R上的单调函数
C．，使得有三个零点D．若的最小值是，则
二、多选题（本大题共6小题）
13．已知函数和实数，，则下列说法正确的是（ ）
A．定义在上的函数恒有，则当时，函数的图象有对称轴
B．定义在上的函数恒有，则当时，函数具有周期性
C．若，，，则，恒成立
D．若，，，且的4个不同的零点分别为，且，则
14．已知锐角满足，设，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
15．，，非常数函数都有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．若，是偶函数
C．若，则D．的值不可能是
16．已知函数是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数可能的值为（ ）
A．B．0C．D．1
17．群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对所有的、，有；
②、、，有；
③，使得，有，称为单位元；
④，，使，称与互为逆元．
则称关于“”构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．关于数的乘法构成群
B．实数集R关于数的加法构成群
C．关于数的乘法构成群
D．关于数的加法构成群
18．若满足对任意的实数都有，且，则下列判断正确的有（ ）
A．是奇函数
B．在定义域上单调递增
C．当时，函数
D．
三、填空题（本大题共3小题）
19．已知函数，则下列四组关于的函数关系：
①；
②；
③；
④，
其中能使得函数取相同最大值的函数关系为 .
20．已知（其中为自然对数的底数），若在上有三个不同的零点，则的取值范围是 .
21．已知函数，若函数恰有两个零点，则a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题）
22．已知非空集合是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意均存在反函数，且；②对任意，方程均有解；③对任意､，若函数为定义在上的一次函数，则.
(1)若，均在集合中，求证：函数；
(2)若函数在集合中，求实数的取值范围；
(3)若集合中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数，使得对一切，均有.
23．设为正整数，集合.对于集合中的任意元素和，记.
(1)当时，若，求和的值；
(2)当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素，当相同时，是奇数；当不同时，是偶数.求集合中元素个数的最大值；
(3)给定不小于2的，设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，.写出一个集合，使其元素个数最多，并说明理由.
24．设对集合上的任意两相异实数，若恒成立，则称在上优于；若恒成立，则称在上严格优于.
(1)设在上优于，且是偶函数，判断并证明的奇偶性；
(2)若在上严格优于，若是上的增函数，求证：在上也是增函数；
(3)设函数，若，是否存在实数使得在上优于，若存在，求实数的最大值；若不存在，请说明理由.
25．定义，中元素称为奇函数；，中元素称为奇函数；，中元素称为双偶函数.例如：，，
(1)在下面横线上填下列词的一个：“真包含”“真包含于”“相等”，___________，并说明理由；
(2)若所有项系数均为正数的多项式函数，满足，且，则可以找到关于的多项式函数，使得当，时，，且等号当时取到，求这样的；
(3)证明：对任何函数，均可得到如下分解：，其中为奇函数，为奇函数，为双偶函数.
26．排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，那么即“反序和乱序和顺序和”.当且仅当或时，反序和等于顺序和.
(1)设为实数，是的任一排列，则乘积的值不会超过___________.
(2)设是个互不相同的正整数，求证.
(3)有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第个人的水桶需要分钟，假定这些各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？
答案
1．【正确答案】D
【详解】对于集合，因为与互为反函数，
所以其图象互相关于对称，
因为，所以有解，
因为，所以，所以有解，
所以，
设，得，
所以单调递增；单调递减，
所以，故，所以；
对于集合，化简得，
设，
因为，可设，
单调递减，又，所以当时，单调递减，
利用洛必达法则，时，，
所以，所以；
由于，所以D正确
故选：D
2．【正确答案】C
【详解】由题意时，，
当时，；
当时，；
当时，，
又因为函数为定义在R上的奇函数，则，；
；.
即得函数解析式为：由此作出函数图象如图所示：
由题意x∈R时，恒成立，即得函数的图象恒在函数y=fx的图象下方，
则由图象需使，解得，即的取值范围为.
故选：C.
3．【正确答案】B
【详解】由已知条件及三角函数诱导公式得：
所以函数，的周期,
在同一直角坐标系中作出函数，的图像，如图所示：
因为A、B、C为连续三交点，(不妨设B在x轴下方)，D为AC的中点，
由对称性知，是以AC为底边的等腰三角形，
所以,
由展开整理得：，
又，所以，
设点A、B的纵坐标分别为，则，即,
要使为锐角三角形，则，又，
所以当且仅当时满足要求，
此时，解得，
所以的取值范围是.
故选：B.
4．【正确答案】C
【详解】①因，由，可得，
当时，则由可得，所以；
当时，则由恒成立，所以；
当时，成立，所以符合.
因此函数定义域为，故①正确；
②由题意，由可得，即；
又由可得，即；
又由可得，即.因此,故②正确；
③由，可得即，
则，则，故③错误；
④由上分析可知：为中的元素，又，则中至少含有8个元素，即④正确.
综上所述，有①②④共3个正确说法.
故选：C.
5．【正确答案】A
【详解】对于A，假设存在使且，则必有,
而对任意的，若取，
则，
显然产生矛盾，故假设不成立，即A错误；
对于B，由A可得恒成立，若存在使，
则，
此时， ，故 B正确；
对于C，令，则有，
因，故得，即，故C正确；
对于D，由展开整理得，，
任取，，则，
依题意，，
又由上分析，因知函数不是常数函数，则必有恒成立，
于是由，
则得 ，即为R上的增函数.
因，则，
即得，
于是等价于，
设，则得，解得或，
即得或，
又，由C项知，，因为R上的增函数，可得或，
即不等式解集为,故D正确.
故选：A.
6．【正确答案】A
【详解】有题意知，，
因为幂函数中，函数在上单调递增，
因为，所以，即，同理，
对于分别取对数得，
不妨设，则，
其中，易得，则，
综上所述，.
故选：A
7．【正确答案】D
【详解】函数在上为非减函数，
①，③，
令，得；令，得.
又②.
令，得.
令，得；
令，得.
当时，都有，
.
.
故选：D
8．【正确答案】B
【详解】，
，又均为正实数，
（当且仅当时取“），
，此时.
，
，当且仅当时取得，满足题意.
的最大值为1.
故选：B.
9．【正确答案】A
【详解】因为是在上的奇函数，所以，故，
所以，
，
，
当时，，则在上单调递增，
又因为，所以，即，
因为，所以，则，故，
又因为，所以，故，
所以，
故，
综上：，
所以，即，故，
因为，则，所以，即，
综上.
故选：A.
10．【正确答案】D
【详解】因为函数在0,+∞上有个不同的零点，
所以，关于的方程在0,+∞上有个不同的实数根，
作出函数的图象如下图所示：
函数的图象恒过点，
当时，函数的图象与轴的交点为，
①当时，即当时，函数与的图象在0,+∞上仅有个不同的交点，如下图所示：
②当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示：
③当时，即当时，函数与的图象在上有个交点，在上有个交点，如下图所示：
④当时，即当时，函数与的图象在0,+∞上有个交点，如下图所示：
⑤当时，要使得函数与的图象在0,+∞上有个交点，
则与的图象在0,+∞上有个交点，
则与函数在上的图象有两个交点，
即方程在上有两个不等的实根，
设，则在上有两个零点，
可得，解得，此时.
且与的图象在上有一个交点，则，解得.
由上可知，；
⑥当时，，如下图所示：
直线与函数在0,+∞上的图象有三个交点.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：D.
11．【正确答案】B
【详解】，
由，得，即，
当时，，不等式为，则，其区间长度为；
当时，，不等式为，无解；
当时，，不等式为，无解；
当时，，不等式为，无解；
当时，，不等式为，无解；
当时，，不等式为，则，其区间长度为；
当时，，不等式为，则，其区间长度为；
当时，，不等式为，则，其区间长度为；
因此当时，不等式的解集为，而，
于是当时，不等式解集的区间长度为，所以实数的最小值为.
故选：B
12．【正确答案】D
【分析】A选项，可举出时，是偶函数；
B选项，得到在分段处函数值相等，结合分段函数的开口方向，对称轴，得到结论；
C选项，可举出时，满足要求；
D选项，分类讨论得到若的最小值是，则，D错误.
【详解】当时，，定义域为R，
且，故此时为偶函数，A正确；
当时，，开口向上，对称轴为，
当时，，开口向上，对称轴为，
即，
且，，即在分段处函数值相等，
由于的对称轴在的对称轴的左侧，
故，都不是R上的单调函数，B正确；
当时，，
若，即时，当时，令，解得：，
当时，令，解得：，均符合要求，
综上：此时函数有3个零点，故C正确；
由B选项可知的最小值在或处取到，
，
当时，函数最小值在处取到，
由，解得：（舍）或1，故满足题意；
当时，函数最小值在处取到，
由，解得：或2（舍），故满足题意，
当时，函数最小值在或处取到，
由于此时恒成立，恒成立，
故都不合要求，舍去；
综上：若的最小值是，则，D错误.
故选：D
二次函数相关知识点总结，对称轴为，顶点坐标为，若，二次函数与轴有两个交点，若，二次函数与轴有1个交点，若，二次函数与轴有0个交点.
13．【正确答案】ACD
【分析】根据函数的对称性和周期性可分别判断AB；求出时的解析式，然后根据自变量范围代入相应表达式解不等式即可判断C；将问题转化为直线与函数有四个交点，结合图象求得四根的关系即可判断D.
【详解】对于A，若，则，
所以函数的图象的对称轴为直线，故A正确.
对于B，当时，.
若，则，函数不具有周期性，故B错误.
对于C，若，，则，
当时，，
则，
即当时，.
当时，，
所以
，所以恒成立，C正确.
对于D，当时，，则，
令，
作出函数的图象和直线，如图.
要使有4个不同的零点，则函数的图象与直线有4个不同的交点.
又，则，
所以，，
所以，，
则，
所以，D正确.
故选ACD.
【方法总结】关于函数零点个数的有关问题，一般转化为两个函数图象交点问题，利用函数图象分析求解即可.
14．【正确答案】ABC
【详解】因为为锐角，若，则，，则，
同理，与矛盾，所以，A项正确；
所以，所以，B项正确；
同理可得，，所以，
所以是减函数，所以正确；
错误.
故选：ABC.
15．【正确答案】ABC
【详解】由条件①，
对于A，取，有即（*），
若，则为常数，与题意矛盾，即，故A正确；
对于B，由A项已得，代入（*），可得，
在①式中，取，有②，
再取，有，可得，
则有或.因 ，故，
代入②式，可得，用替换，即得，
故为偶函数，即B正确；
对于C，若，在①式中取，
可得则有，由B项知为偶函数，
在①式中，取，有，即③，
再取，有即，
用替换，即得④，
由③④，易得，
即，
由上已得，，，，
依次代入，可得，，故C正确；
对于D，取，
因，
而，即符合①式，
此时，故D错误.
故选：ABC.
16．【正确答案】ABC
【详解】由题意得为奇函数，则为偶函数，；
将代入到得：，
与原式联立可得：，
又因为等价于，
整理得，令，
则在为单调递减，
对任意的、且，则，则，
，
所以，，可得，故.
故选：ABC.
17．【正确答案】ABD
【详解】对A，对所有的，有，且满足乘法结合律；，使得，有；，有，故A正确.
对B，若，，有，满足加法结合律；当时，满足③；，使，即④成立，故B正确.
对C，因为，且，但，故C错误.
对D，，可设，
则，则G满足加法结合律，即，有；，使得，有；
，，，使得，故D正确.
故选：ABD.
18．【正确答案】BD
【分析】利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出判断A；先利用证明所有有理数，有，然后用任意无理数都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得，这样可判断C，由此再根据单调性定义判断B，根据定义计算（），然后求得D中的和，从而判断D．
【详解】对于选项A，令，则，
即，，不可能是奇函数，选项A不正确；
证明，对于任意，.
假设存在，使得，
则，与矛盾，
故对于任意，，
所以对于任意，，
因为，所以对任意正整数，
，
所以，
同理，
对任意正有理数，显然有（是互质的正整数），
则，
对任意正无理数，可得看作是某个有理数列的极限，
而，，所以与的极限，所以，
综上对所有正实数，有，选项C不正确，
设，则，所以，
则，
所以在定义域上是增函数，选项B正确；
由已知，
所以，
所以，
选项D正确．
故选：BD．
关键点点睛：本题的关键是充分理解函数新定义，利用函数奇偶性的判断和函数单调性的证明即可判断AB选项.
19．【正确答案】①②④
【详解】依题意，
令，当取得最小值时，取得最大值.
（1）当时，.
（2）当时：由（1）去分母并化简得，
此方程有解，故，
整理得，此一元二次不等式有解，
所以，整理得，
即，解得.
综上所述，所以的最小值为.
由，化简得，
即，所以.
即当时，取得最小值，取得最大值.
将点代入①②③④进行验证：
①，符合；
②，符合；
③，不符合；
④，符合.
所以点满足①②④，不满足③.
故①②④
20．【正确答案】
【详解】（1）当时，，
当时，由，可得，
当时，由，可得.
（2）当时，，
当时，由，可得无解，
当时，由，可得，
因为在上有三个不同的零点，
所以，解得，
故答案为.
21．【正确答案】
【详解】如图，作出函数的图象，
由，
令，
由图知，当时，方程有个不同的解，
当时，方程有个解，
令，则，即，
即，
如图所示，作出函数的图象，
函数恒过定点，
当函数的图象只有一个交点时，
即，即只有一个解，
则，解得（舍去）
当时，由图知函数的图象只有一个交点，
即方程有且仅有一个根，且这个根在上，
所以方程有个不同的解，
即函数有两个零点，
所以符合题意；
当时，由图知函数的图象有个交点，
即方程有个根，且一个在上，一个为，
所以方程有个不同的解，
即函数有两个零点，
所以不符合题意；
当时，由图知函数的图象有个交点，
即方程有个根，且一个在上，另外两个在上，
所以方程有个不同的解，
即函数有两个零点，
所以不符合题意；
当时，方程没有正数根，
此时令，则，
当时，方程无解，
所以方程无解，
即函数没有零点，
所以不符合题意；
当时，，
（1）当时，，
即方程的解为，
所以方程有个不同的解，
即函数有两个零点，
所以符合题意；
（2）当时，，
则由，得，则，
所以方程有个不同的解，
即函数有两个零点，
所以符合题意；
（3）当时，，
则由，得，则，
所以方程只有个解，
即函数有个零点，
故符合题意；
（4）当时，，
则由，得，
则，
所以方程有个不同的解，
即函数有个零点，
故不符题意，
综上所述，a的取值范围是.
故答案为.
22．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由，根据性质①可得，
且数形结合可知，存在，使得，
由，且为一次函数，
根据性质③可得：，
综上，；
（2）由性质②，方程，即在上有解，
，
由，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，
在上单调递增，
若时，，且，
根据反函数的性质，有，
即对于反函数，对一个自变量，有两个函数值与其对应，不满足函数定义，
即没有反函数，即不满足性质①；
若时，函数在上单调递增，
此时有反函数，即满足性质①.
综上.
（3）任取，由性质①，
若，此时不存在反函数，
若，根据性质②，需满足有解，则必有，
同理，若，则必有，即此时，
显然满足存在相同的满足：，
接下来讨论，
由性质③，函数，
，
由性质①，的反函数，
由性质③：，
由性质②方程：，
，即，
令，可得，
令，可得，
由此可知：对于任意两个函数，
存在相同的满足：，
存在一个实数，使得对一切，均有.
23．【正确答案】(1)2，1
(2)最大值为4
(3)，理由见解析
【详解】（1），；
（2）考虑数对
相应的分别为，
所以中的每个元素应有奇数个，
所以的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）：
，
，
对于任意两个只有个的元素都满足是偶数，
所以集合满足题意，
假设中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素，
除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素，
则互补元素中含有1个1的元素与之满足不合题意，
故中元素个数的最大值为4.
（3），
此时中有个元素，下证其为最大.
对于任意两个不同的元素满足，
则中相同位置上的数字不能同时为1，
假设存在有多于个元素，由于与任意元素都有，
所以除外至少有个元素含有1，
根据元素的互异性，至少存在一对满足，
此时不满足题意，
故中最多有个元素.
24．【正确答案】(1)偶函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
【详解】（1）设为任意实数，因为是偶函数，所以，即，
在上优于，，即，为偶函数.
（2）对于任意，且，因为是上的增函数，所以，即，
所以，
即，
，即，在上也是增函数.
（3）假设存在实数使得在上优于，即，在时恒成立.
不妨设，则，，
又，，
，
在时恒成立
在时恒成立
在时恒成立.
令，解得或（舍去）.
当时，，
当时，，不合题意.
综上所述，实数的最大值为.
25．【正确答案】(1)真包含于；理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）根据题意知，集合中的元素满足
集合中的元素满足
所以集合中的元素同时满足和
即，代入得
即中的元素满足集合中元素的条件；
又，而，，
所以真包含于.
（2）根据题意，，
则，
（其中，，且，），
取，则
因为，
所以，且当时，
，
.
（3）令，
，
，
则，
，
，
所以，，，
且.
26．【正确答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)答案见解析.
【详解】（1）依题意，是的任一排列，
设两组数与，
则可看作与两组实数的“乱序和”；
设也是的一个排列，且，
其中满足集合.
则为与两组实数的”顺序和“，
且.
则由排序不等式：乱序和顺序和，
得.
故答案为.
（2）设两组数：与.
由是个互不相同的正整数，
设是的一个排列，且满足，
即是这个互不相同的正整数从小到大的排列，
因此，又，
由排序不等式：乱序和序和，得
，
所以.
（3）依题意，水龙头注满第个人的水桶需要分钟，
则第个人打水时，即个人都在等，需要等候总时间为，
则所有人打完水，他们等候的总时间为，
设两组数：与，由假定，这些各不相同，
设为的一个排列，且，
又因为，
由排序不等式：乱序和反序和，得，
所以只有一个水龙头时，要使他们等候的总时间最少，应安排需要时间最少的人总是先打水，
即各人按照注满各自水桶的时间从少至多的顺序排队打水，
等候的总时间最少为，其中为从小到大的一个顺序排列.