必修 第一册1.2 集合间的基本关系随堂练习题

这是一份必修 第一册1.2 集合间的基本关系随堂练习题，共18页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc176185153" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc176185153 \h 2
\l "_Tc176185154" 题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题 PAGEREF _Tc176185154 \h 2
\l "_Tc176185155" 题型二：韦恩图及其应用 PAGEREF _Tc176185155 \h 2
\l "_Tc176185156" 题型三：由集合间的关系求参数的范围 PAGEREF _Tc176185156 \h 4
\l "_Tc176185157" 题型四：集合间的基本关系 PAGEREF _Tc176185157 \h 5
\l "_Tc176185158" 题型五：判断两集合是否相等 PAGEREF _Tc176185158 \h 6
\l "_Tc176185159" 题型六：根据两集合相等求参数 PAGEREF _Tc176185159 \h 7
\l "_Tc176185160" 题型七：空集的性质 PAGEREF _Tc176185160 \h 8
\l "_Tc176185161" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc176185161 \h 10
\l "_Tc176185162" 【高考真题】 PAGEREF _Tc176185162 \h 18
【题型归纳】
题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题
1．（2024·高三·广东佛山·阶段练习）满足集合为的子集且的集合的个数是（ ）
A．6B．7C．8D．15
【答案】C
【解析】因为集合，
则集合可以为,，，，，，，
共8个，
故选：C
2．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
【答案】C
【解析】由且可知，可以取，则可取，
即，故集合的真子集个数为.
故选：C.
3．（2024·高一·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集．
【解析】当时，，
集合A的所有子集有，，，．
题型二：韦恩图及其应用
4．（2024·高一·全国·课后作业）能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R| x2＝x}关系的Venn图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M.
故选：B
5．（2024·高一·四川成都·开学考试）已知全集，能表示集合与关系的图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，
因为，所以C正确．故选：C
6．（2024·高一·上海·专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B.
故选：B
题型三：由集合间的关系求参数的范围
7．（2024·高一·上海·随堂练习）若集合，，且，求满足的条件．
【解析】由可知是的子集，
①当时，，所以；
②当时，，
所以，解得；
③当时，
所以，解得；
④当时，，
所以，解得；
综上可知，满足的条件为或或或.
8．（2024·高一·广东佛山·期末）设集合
(1)若，试判断集合与的关系；
(2)若⫋，求的值组成的集合．
【解析】（1）
当时，，
所以B是A的真子集．
（2）．
若，则，是真子集成立；
若，则，因为是A真子集，
或，所以或．
所以的值组成的集合．
9．（2024·高一·广东广州·阶段练习）集合．
(1)若，存在集合M使得，求出这样的集合M；
(2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由．
【解析】（1）若，，
因为，
所以；
（2）方程的判别式为，
当时，即时，，此时显然P是Q的一个子集，
当时，即时，，此时显然P不是Q的一个子集，
当时，即时，要想P是Q的一个子集，中必有二个元素是集合P中元素，根据一元二次方程根与系数关系，这两个根之和为，显然中没有两个数的和为，所以此时P不可能是Q的一个子集，
综上所述：P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为.
题型四：集合间的基本关系
10．（2024·高三·湖北荆门·阶段练习）如果集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】集合，，
．
故选：C．
11．（2024·高一·贵州六盘水·期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，，，故正确的只有A.
故选：A
12．（多选题）（2024·高三·浙江·开学考试）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【解析】易知方程无解，所以，所以选项A正确，
因为，所以选项B错误，
因为集合是以为元素的集合，由元素与集合间的关系，知选项C正确，
又空集是任何集合的子集，所以选项D正确，
故选：ACD.
13．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合，，，则下列的关系正确的是（ ）
A．⫋B．⫋
C．⫋⫋D．⫋⫋
【答案】B
【解析】由，
而为奇数，为整数，又，
所以⫋
故选：B.
题型五：判断两集合是否相等
14．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误；
B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误；
C.，得，即，故C正确；
D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误.
故选：C
15．（2024·高一·全国·专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】对A，，故A错误；
对B，中，解得，故，故B错误；
对C，，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：D.
16．（2024·高一·山东济宁·阶段练习）下列各组集合中表示同一集合的是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】由集合为点集，集合为数集，所以不是同一集合；
根据集合的表示方法，可得集合和集合表示同一个集合；
由集合表示数集，集合为点集，所以不是同一集合；
又由集合和元素不相同，所以不是同一集合.
故选：B.
题型六：根据两集合相等求参数
17．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知集合， 则 ．
【答案】
【解析】由题意得得．
故答案为：
18．（2024·高一·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ．
【答案】
【解析】由题意得，
则，解得.
故答案为：.
19．（2024·高一·湖南岳阳·阶段练习）若集合，实数的值为
【答案】
【解析】令,,，,,，
,,，，，
若，则，则,,，,,，满足要求；
若，则，而中元素，矛盾；
若，则，则,,，,,，满足要求；
故实数的值为.
故答案为：
20．（2024·高一·湖南·阶段练习）已知集合，，若，则 .
【答案】
【解析】因为集合，，，
所以，解得，从而.
故答案为：.
题型七：空集的性质
21．（2024·高一·新疆·阶段练习）在下列格式中错误的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【解析】，，，，即，
所以①③⑤对，②④错.
故选：B
22．（2024·高一·山西太原·阶段练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【解析】对于①，由集合间的关系和集合中元素的无序性知，故①正确；
对于②，由集合中元素的无序性知，故②正确；
对于③，是没有任何元素的集合，而集合中有元素，所以，故③错误；
对于④，是集合的元素，所以，故④正确；
对于⑤，是集合的子集而非元素，故⑤错误；
对于⑥，是集合的子集，即，故⑥正确；
综上知，正确的个数为4个.
故选：B.
23．（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）下列说法中正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】对于①，正确；
对于②，是元素，是没有元素的集合，故②错误；
对于③⑤，正确，即③对，错误，即⑤错；
对于④，表示集合中有一个元素，表示集合中有一个元素，研究对象不同，故④错误；
对于⑥，，故⑥错误；
对于⑦，正确；
对于⑧，表示不同的集合，错误.
①③⑦正确.
故选：B
24．（2024·高一·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ．
【答案】
【解析】当时，满足题意；
当时，应满足，解得；
综上可知，a的值的集合为．
故答案为：．
【重难点集训】
1．（2024·高三·全国·专题练习）如果集合，则（ ）
A．STB．T⊆SC．S＝TD．ST
【答案】A
【解析】由，
令，则，所以，
由于NZ，故.
故选：A.
2．（2024·高一·北京·期末）已知集合、，其中，且．满足以上条件的全部有序数对的个数为（ ）．
A．6B．8C．20D．36
【答案】B
【解析】依题意，当时，，有序数对有4个；
当时，，有序数对有4个；全部有序数对的个数为8个.故A，C，D错误.
故选：B.
3．（2024·高一·四川资阳·期中）满足的集合M共有（ ）
A．16个B．15个
C．8个D．7个
【答案】C
【解析】集合M满足，
所以集合M可以为：
共有8个.
故选：C
4．（2024·高一·山西大同·期中）对于非空数集，，其所有元素的算术平均数记为，即.若非空数集B满足下列两个条件：（1）；（2）.则称B为A的一个“保均值子集”.据此推理，集合的“保均值子集”有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【答案】C
【解析】非空数集中，所有元素的算术平均数，
在所有子集中选出平均数为的子集即可，
所以集合的“保均值子集”有，，，，，，共7个：
故选：C．
5．（2024·高一·甘肃白银·期中）已知集合，集合，若，则的取值范围为 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】集合，
集合，
因为，所以，解得.
故选：A.
6．（2024·高一·吉林通化·阶段练习）已知，则集合M的子集的个数是（ ）
A．8B．16C．32D．64
【答案】B
【解析】因为，所以，
又，所以，
所以集合，所以集合的子集个数为个．
故选：B．
7．（2024·高一·安徽铜陵·阶段练习）若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数m组成的集合是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】B
【解析】由题设集合有2个子集，则集合中仅含一个元素，
所以有且仅有一个解，
当，则，满足要求；
当，则，满足要求；
综上，满足条件的实数m组成的集合是.
故选：B
8．（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）若集合恰有1个真子集，则的取值是（ ）
A．-1B．C．D．或
【答案】D
【解析】因为集合恰有1个真子集，则集合有且只有一个元素，
当时，即，则，符合题意；
当时，即，则关于的方程只有一个实数解，
则，解得；
综上所述，或.
故选：D
9．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）已知，则的值可以为（ ）
A．1B．6C．8D．10
【答案】AC
【解析】当时，由得，满足，所以；
当时，由得，满足，所以；
当时，由得，不满足；
综上，则或.
故选：AC.
10．（多选题）（2024·高一·山西朔州·阶段练习）已知集合，，，由实数a组成集合C，则下列选项中正确的是（ ）
A．集合C的所有非空真子集个数是2B．集合C的所有非空真子集个数是6
C．集合C的所有子集个数是4D．集合C的所有子集个数是8
【答案】BD
【解析】由题意，，
因为，
所以，
当时，，合题意，
当时，，，
因为，
所以或，所以或，
故．
集合C的子集个数为，D选项正确，C选项错误，
集合C的非空真子集个数为，B选项正确，A选项错误.
故选：BD.
11．（多选题）（2024·高一·重庆渝中·阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件：
①，
②，
③，若且，则，
④，若且，则，
就称集合为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（ ）
A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有3个
B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系”
C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合共有6个
D．是实数集R的一个“偏序关系”
【答案】ACD
【解析】A选项，，则，
通过分析②可知，，分析③可知，和只能二选一，或两者均不能在中，
取，或，或，
故满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有3个，A正确；
B选项，集合，且，但，故②不成立，故B错误；
C选项，，通过分析②可知，，
结合③和④，可再添加一个元素，即中任选一个，
即取，或，
或，或，
或，或，
共6个，C正确；
D选项，是R的子集，满足①，
且当时，，满足②，
当时，满足③，
，若且，则，所以，
则，满足④，
故是实数集R的一个“偏序关系，D正确.
故选：ACD
12．（2024·高一·上海·课后作业）设集合，，则、之间的关系为 ．
【答案】
【解析】因为，
所以集合中的元素是的奇数倍，
又因为集合中的元素是的整数倍，
所以.
故答案为：.
13．（2024·高三·全国·单元测试）若一个正整数各数位上的数字从左到右依次递增或递减，则称此数为“好数”，如7是一位“好数”，12与21是两位“好数”……，则所有的“好数”有 个.
【答案】1524
【解析】由题意可知，“好数”的各数位上的数字各不相同.构造集合与集合，
取的一个元子集，将这个元素从高数位到低数位按从大到小的顺序排列，则形成一个位“好数”，
因为，所以这样从左到右依次递减的“好数”有个；
同理取的一个元子集，将这个元素从高数位到低数位按从小到大的顺序排列，形成一个位“好数”，
于是递增的“好数”有个.又公共的1元子集算了2次，
所以符合要求的“好数”共有（个）.
故答案为：1524.
14．（2024·高一·全国·竞赛）已知集合，且，给出下列命题：
①满足的集合的个数为；
②满足⫋的集合的个数为；
③满足⫋的集合的个数为；
④满足⫋⫋的集合的个数为．
其中正确的是 ．（填上你认为正确的所有命题序号）
【答案】①③
【解析】①满足的集合的个数为的子集的个数，即；
②满足⫋的集合的个数为的非空子集的个数，即；
③满足⫋的集合的个数为的真子集的个数，即；
④满足⫋⫋的集合的个数为的非空真子集的个数，即．
故答案为：①③.
15．（2024·高一·上海·课堂例题）已知集合.是否存在这样的实数a，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出实数a的值及对应的两个子集；若不存在，说明理由.
【解析】要使集合有且仅有两个子集，即集合有且只有一个元素，
即方程只有一个根或有两个相等实根，
当，即时，方程化为，得，
，对应的两个子集：.
当，即时，，解得，
此时，
对应的两个子集：.
综上，当时，集合对应的两个子集为：；
当时，集合对应的两个子集为：.
16．（2024·高一·全国·课后作业）已知集合.
(1)判断8，9，10是否属于集合A；
(2)集合,证明：B是A的真子集.
【解析】（1）∵，，∴，，
假设，m，，
则，且，
∵，或，
显然均无整数解，∴，
∴，，.
（2）∵集合，
则恒有，∴，
∴即一切奇数都属于A，故B是A的子集.
又∵，，
所以B是A的真子集.
17．（2024·高一·安徽滁州·阶段练习）已知集合，，
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，
当时：，即符合题意；
当时，，，
综上所述：.
（2）因为，
当时，，
，解得，无解，
当时，或，
，
综上所述：.
18．（2024·高一·北京·阶段练习）已知集合为非空数集，定义：
(1)若集合，请直接写出集合：
(2)若集合，且，求证：；
【解析】（1）因为，
，
所以；
（2）证明：由，
得，
则可取，
又因为，
所以，
剩下的元素满足，
所以.
【高考真题】
1．（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【解析】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
2．（2005·天津·高考真题）设集合的真子集个数为（ ）
A．16B．8C．7D．4
【答案】C
【解析】，所以集合的真子集个数是.
故选：C
3．（2012·湖北·高考真题）已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】求解一元二次方程，得
，易知.
因为，所以根据子集的定义，
集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，
原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.
【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
4．（2001·北京·高考真题）集合M={1,2,3,4,5}的子集的个数是
A．15B．16C．31D．32
【答案】D
【解析】集合含有5个元素，所以子集个数为
考点：结合的子集
5．（2007·山西·高考真题）设a,b∈R，集合，则=( )
A．1B．-1C．2D．-2
【答案】C
【解析】因，则，从而得，有，于是得，
所以.
故选：C
6．（2000·广东·高考真题）已知集合，那么的真子集的个数是
A．15B．16C．3D．4
【答案】A
【解析】集合A里有4个元素，那么它有个真子集，故选A
7．（2010·浙江·高考真题）设，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，即..故B正确.
考点：集合间的关系.