人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数同步测试题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数同步测试题，共30页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc179814278" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc179814278 \h 2
\l "_Tc179814279" 题型一：幂函数的概念 PAGEREF _Tc179814279 \h 2
\l "_Tc179814280" 题型二：求函数解析式 PAGEREF _Tc179814280 \h 3
\l "_Tc179814281" 题型三：定义域问题 PAGEREF _Tc179814281 \h 3
\l "_Tc179814282" 题型四：值域问题 PAGEREF _Tc179814282 \h 4
\l "_Tc179814283" 题型五：幂函数的图象 PAGEREF _Tc179814283 \h 6
\l "_Tc179814284" 题型六：定点问题 PAGEREF _Tc179814284 \h 9
\l "_Tc179814285" 题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题 PAGEREF _Tc179814285 \h 10
\l "_Tc179814286" 题型八：比较大小 PAGEREF _Tc179814286 \h 11
\l "_Tc179814287" 题型九：幂函数性质的综合运用 PAGEREF _Tc179814287 \h 12
\l "_Tc179814288" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc179814288 \h 17
\l "_Tc179814289" 【高考真题】 PAGEREF _Tc179814289 \h 29
【题型归纳】
题型一：幂函数的概念
1．（2024·高一·河北沧州·期末）下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】B项可化为，根据幂函数的概念，可知函数是幂函数，即函数是幂函数.ACD均不是幂函数.
故选：B.
2．（2024·高一·河北·期中）下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数，
对于A，是二次函数；
对于B，是一次函数；
对于C，，由前的系数不为，故不是幂函数；
对于D，满足幂函数的概念，故是幂函数.
故选D.
3．（2024·高一·陕西·期中）下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据幂函数的定义：形如，而，符合幂函数的定义,正确.
ABD在形式上都不符合幂函数定义，错误.
故选：C
4．（2024·高二·陕西咸阳·期末）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个
故选：B
题型二：求函数解析式
5．（2024·高一·浙江杭州·期中）若函数是幂函数，且满足，则的值为 .
【答案】16
【解析】设，由可得可得.
故，则.
故答案为：16
6．（2024·高一·浙江杭州·期中）若幂函数的图像过点，则此函数的解析式是 .
【答案】
【解析】设，由图像过点可得，解得.
故答案为：
7．（2024·高一·北京·期中）已知幂函数的图象过点，则 ， ．
【答案】
【解析】幂函数的图象过点，设，
则有，解得，
所以，.
故答案为：；.
题型三：定义域问题
8．（2024·高一·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，依题意可得，解得，所以，
所以的定义域为，值域为，且，
对于函数，则，解得，
即函数的定义域是.
故选：B
9．（2024·高一·广东广州·期中）幂函数图象过点，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设幂函数为，则，故，，
则的定义域为，
故满足，解得.
故选：A
10．（2024·高一·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知解得，所以f(x)的定义域为．
故选：B．
11．（2024·高一·湖北·期中）函数的定义域是（ ）
A．-∞,1B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
则有，解得且，因此的定义域是．
故选：B.
题型四：值域问题
12．（2024·高一·全国·课后作业）（1）函数的定义域是 ，值域是 ；
（2）函数的定义域是 ，值域是 ；
（3）函数的定义域是 ，值域是 ；
（4）函数的定义域是 ，值域是 ．
【答案】
【解析】（1）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,
（2）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,
（3）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,
（4）幂函数图像如图所示，定义域为，值域为,
故答案为：（1）;,
（2）;,
（3）;,
（4）;.
13．（2024·高二·辽宁抚顺·阶段练习）已知函数，且．
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域．
【解析】（1）因为，所以，
整理得，即或（舍去），
则，故．
（2）由（1）可知，．
因为，所以，，所以．
故在上的值域为．
题型五：幂函数的图象
14．（2024·高一·广东茂名·期末）若幂函数的图象经过第三象限，则的值可以是（ ）
A．-2B．2C．D．3
【答案】D
【解析】A：当时，，图像为：
故A错误；
B：当时，，图像为：
故B错误；
C：当时，，图像为：
故C错误；
D：当时，，图像为：
故D正确；
故选：D
15．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在0,+∞上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意结合图象可知.
故选：B.
16．（2024·高一·全国·期中）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设幂函数，则，即，解得，即，
的定义域是，，函数为偶函数，
由，则在上递增且越来越慢.
故选：A.
17．（2024·高一·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增；
当时，易知为幂函数，在单调递增.
故函数,图象如图所示:
要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到.
故选：C.
题型六：定点问题
18．（2024·高一·陕西渭南·阶段练习）已知函数（为不等于0的常数）的图象恒过定点P，则P点的坐标为 .
【答案】
【解析】因为的图象恒过，
所以的图象恒过定点.
故答案为：
19．（2024·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ．
【答案】
【解析】因为，故当，即时，，
即函数恒过定点.
故答案为：.
20．（2024·高一·北京·期末）幂函数的图象恒过点 ，若幂函数的图象过点，则此函数的解析式是 ．
【答案】
【解析】由幂函数的性质知：在第一象限恒过，
设幂函数，则，即，故.
故答案为：，.
21．（2024·高一·全国·课后作业）函数恒过定点 ．
【答案】
【解析】当，即时，，函数恒过定点.
故答案为：.
题型七：利用幂函数的单调性求解不等式问题
22．（2024·高一·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
又，所以或，
当时，幂函数为，图象关于y轴对称，满足题意；
当时，幂函数为，图象不关于y轴对称，舍去，
所以，不等式为，
因为函数在和上单调递减，
所以或或，
解得或.
故答案为：.
23．（2024·高一·四川南充·期末）若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】考虑函数.
因为函数的单调递减区间为和.
所以不等式等价于或者或者，
解得：或.
所以实数的取值范围为：.
故答案为：
24．（2024·高一·重庆永川·期中）已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】由函数为幂函数得，解得或，又
函数在上是减函数，则，即，
所以，所以；
所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
25．（2024·高一·江苏盐城·阶段练习）函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】由题意知，幂函数在上单调递减，
由，得，
解得，即不等式的解集为.
故答案为：
题型八：比较大小
26．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，，
又在第一象限内是增函数，，
所以，即.
故选：D.
27．（2024·高一·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以在上单调递增，
又因为，
所以，
所以.
故选：C.
28．（2024·高一·黑龙江双鸭山·阶段练习）若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】设函数，则在0,+∞上单调递增，
故，即，又，即.
故选：B．
题型九：幂函数性质的综合运用
29．（2024·高一·陕西西安·期末）已知幂函数为偶函数，．
(1)求的解析式；
(2)若对于恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）因为幂函数为偶函数，
所以，解得或，
当时，，定义域为R，，
所以为偶函数，符合条件；
当时，，定义域为R，，
所以为奇函数，舍去；
所以.
（2）因为，
所以对于恒成立，即对于恒成立，
等价于对于恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，故，则.
30．（2024·高一·安徽阜阳·期末）已知幂函数的图象过点．
(1)求实数m的值；
(2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增．
【解析】（1）由幂函数的定义可知，解得，
当时，，又的图象不过点，显然不满足题意；
当时，，将点代入得，
综上所述，．
（2）由（1）可知，，则，
任取，且，
则
，
因为，所以，，则，，
所以，则，
所以，
则，即，
故在1,+∞上单调递增．
31．（2024·高一·广西河池·期末）已知幂函数的图象过点.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）设函数，由的图象过点，得，解得，
所以函数的解析式是.
（2）由（1）知，，则，由，得，
即，令，依题意，任意，，
而函数在上单调递减，，因此，
所以实数的取值范围是.
32．（2024·高一·江苏淮安·期末）已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，．
(1)求的值；
(2)当时，求的表达式；
(3)若函数在区间（）上的值域为，求的值．
【解析】（1）因为，，
所以，
故是奇函数，且为其一个周期，且关于轴对称，
所以；
（2）结合（1）的结论可令，则，
所以；
（3）由（1）（2）可知，
由二次函数单调性可知在上单调递增，且，
所以，则，
若，则，此时，
若，则，此时，
若，则，此时.
故的值为或或.
33．（2024·高一·广西钦州·开学考试）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”.
(1)函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由；
(2)已知函数.
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值.
【解析】（1）①因为，所以，所以，，
得，故是在上的“美好函数”；
②因为，所以，所以，，
得，故不是在上的“美好函数”；
③因为，所以，所以，，
得，故不是在上的“美好函数”
（2）①由题得，
当，可知
所以，当时，，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有；
当时，，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有；
故
②由题可知此时，函数，可知此时，函数的对称轴为且开口向上；
当时，此时函数在上单调递减，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有，解得；
当时，此时函数在上单调递减，在单调递增，所以当时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有；
令，解得或
所以此时（舍去），（舍去）
当时，此时函数在上单调递増，此时，，
因为函数是在上的“美好函数”
所以有，解得；
综上所述：或
34．（2024·高一·贵州六盘水·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：是函数的一个“优美区间”；
(2)求证：函数不存在“优美区间”；
(3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值.
【解析】（1）在区间上单调递增，又，
当时，，
根据“优美区间”的定义，是的一个“优美区间”；
（2），设，可设或，
则函数在上单调递增.
若是的“优美区间”，则是方程的两个同号且不等的实数根.
方程无解.
函数不存在“优美区间”.
（3），设.
有“优美区间”，
或，
在上单调递增.
若是函数hx的“优美区间”，则，
是方程，即（*）的两个同号且不等的实数根.
，
或，
由（*）式得.
，
或，
当时，取得最大值.
.
【重难点集训】
1．（2024·高一·河南郑州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．-1,0C．D．
【答案】B
【解析】函数在上单调递增，
当时，单调递增，当时，也需要单调递增，
所以，解得，故B正确.
故选：B.
2．（2024·高一·四川绵阳·开学考试）若，则这四个数中（ ）
A．最大，最小B．最大，最小
C．最大，最小D．最大，最小
【答案】D
【解析】当，结合幂函数图象，
可得，
所以最大，最小.
故选：.
3．（2024·高二·湖南·学业考试）已知，且函数在上是增函数，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【解析】因为函数在上是增函数，
所以，解得，
又，所以.
故选：C
4．（2024·高一·湖北·阶段练习）已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A．B．C．0D．3
【答案】B
【解析】因为函数是偶函数且在上是增函数，
所以函数在0,+∞上单调递减，
所以，即，解得，
又因为，所以或或，
当或时，，此时为奇函数，不满足题意；
当时，，此时为偶函数，满足题意；
所以.
故选：B
5．（2024·高一·广东茂名·阶段练习）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】为定义在上的奇函数，
因为当时，，
所以，故
在上单调递增，
根据奇函数的性质可知在上单调递增，
因为，所以，
由不等式可得，，解得，，
故解集为.
故选：D.
6．（2024·高一·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.
所以，则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递减，则，解得.
故选：C．
7．（2024·高一·江苏常州·期末）已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．为偶函数且在区间上单调递增
B．为偶函数且在区间上单调递减
C．为奇函数且在区间上单调递增
D．为奇函数且在区间上单调递减
【答案】B
【解析】设幂函数为，
因为幂函数的图象经过点，
所以，解得，
故，定义域为，定义域关于原点对称，
，所以为偶函数，
又因为，所以在区间上单调递减，
故选：B.
8．（2024·高一·甘肃庆阳·期末）已知定义在上的奇函数在时满足，且在有解，则实数的值可以为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】ABC
【解析】当时，函数单调递增，值域为，
由在R上为奇函数，则上函数也递增，值域为，且，
综上，在R上单调递增，
因为，所以，
所以，所以，即在有解，
当时，所以.
故选：ABC
9．（多选题）（2024·高一·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．函数的最小值是2
【答案】BC
【解析】对于A选项，取，，，则，故A错误；
对于B选项，由，根据幂函数的单调性知，又，则，故B正确；
对于C选项，由，则，，即，故C正确；
对于D选项，函数，令，
由函数在上单调递增，则，故D错误.
故选：BC
10．（多选题）（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【解析】将点代入函数得：，则．
所以，
显然在定义域上为增函数，所以A正确．
的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B不正确．
当时，，即，所以C正确．
当时，
即成立，所以D正确．
故选：ACD．
11．（多选题）（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）关于幂函数，下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．在区间上单调递减
D．的图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】对于选项A，因为f(x)=x-3=1x3，所以，得到的定义域为，所以选项A正确，
对于选项B，由f(x)=1x3知，所以选项B错误，
对于选项C，任取，且，则f(x1)-f(x2)=1x13-1x23=x23-x13x13⋅x23=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)x13⋅x23=(x2-x1)[(x2+12x1)2+34x12]x13⋅x23，
因为，所以，x23⋅x13>0，又(x2+12x1)2+34x12>0，
所以，即，所以选项C正确，
对于选项D，因为定义域关于原点对称，又f(-x)=1(-x)3=-1x3=-f(x)，所以为奇函数，故选项D正确，
故选：ACD.
12．（多选题）（2024·高一·福建·期中）已知函数 ，则以下说法正确的是（ ）
A．若，则是R上的减函数
B．若，则有最小值
C．若，则的值域为
D．若，则存在，使得
【答案】BC
【解析】对于A，若，，
在和上单调递减，故A错误；
对于B，若，，
当时，，在区间上单调递减，
，则有最小值1, 故B正确；
对于C，若，，
当时，，在区间上单调递减，；
当时，，在区间上单调递增，，
则的值域为，故C正确；
对于D，若，
当时，；
当，即时，；
当，即时，，
即当时，，
所以不存在，使得，故D错误.
故选：BC
13．（2024·高二·湖南·开学考试）已知幂函数在0,+∞上单调递减，则 .
【答案】
【解析】由题意可得为幂函数，则，解得或.
当时，为增函数，不符合题意；
当时，在0,+∞单调递减，符合题意.
故答案为:.
14．（2024·高一·四川内江·阶段练习）若幂函数过，则满足不等式的实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】设，
由题意可得：，解得，即，
可知为定义在上的偶函数，且在内单调递减，在内单调递增，
若，可得，
整理可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
15．（2024·高一·江苏镇江·期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ．
①；
②对于任意两个不同的正数，都有恒成立；
③对于任意两个不同的实数，都有．
【答案】（答案不唯一）
【解析】当时，
对于①，，故满足①；
对于②，由对于任意两个不同的正数，都有恒成立，
得函数在0,+∞上单调递增，
而函数在0,+∞上单调递增，故满足②；
对于③，任取，
则，
因为，所以，
即，
所以，故满足③.
故答案为：（答案不唯一）.
16．（2024·高一·上海·随堂练习）若，且函数与的图象若有1个交点，则写出一个符合条件的集合 ；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有 个．
【答案】 （答案不唯一） 4
【解析】作出五个函数图象，如图：
由图可知：
图像与、、、的图象有1个、1个，2个、2个交点；
图像与、、的图像有1个、1个，1个交点；
图像与、的图像有2个、2个交点；
图像与的图像有3个交点.
综上可得，函数与的图象若有1个交点，
则，，，，；
满足函数与的图像恰有两个交点的集合有4个：
，，，．
故答案为：（答案不唯一）；4.
17．（2024·高一·全国·课后作业）已知幂函数的图象过点，幂函数的图象过点．
(1)求，的表达式；
(2)求当为何值时：①；②；③．
【解析】（1），∵图象过点，故，解得，∴；
，∵图象过点，∴，解得．∴．
（2）在同一平面直角坐标系中作出与的图象，如图所示．
由图象可知，、的图象均过点-1,1和．
所以①当或时，；
②当或时，；
③当且时，．
18．（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）已知幂函数满足.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【解析】（1）由是幂函数，
可得，解得或；
当时，在上单调递减，不满足；
当时，在上单调递增，满足，
故.
（2）由（1）知，则函数的定义域为，且函数在上单调递增，
又，
所以解得，
所以实数的取值范围是.
19．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，.
(1)求的解析式；
(2)在时，解不等式；
(3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为是幂函数，
所以有，或，
当时，函数在区间上是单调递减，不符合题意；
当时，在区间上是单调递增，符合题意，
所以，
因为函数是定义域为R的奇函数，则，
所以当时，
因此的解析式为：；
（2）因为时，，
所以由，又，
所以，
所以不等式的解集为；
（3）当时，，此时函数单调递增，且，
当时，，此时函数单调递增，且，而，
因此奇函数是R上的增函数，于是由
恒成立，
又，
所以，
所以实数的取值范围为.
20．（2024·高一·广东江门·期中）已知幂函数y=fx的图象过点．
(1)求此函数的解析式．
(2)根据单调性的定义，证明函数在上单调递减．
(3)判断函数的奇偶性并说明理由．
【解析】（1）由题意，设，则，故，
所以；
（2）设任意且，
则，
而，，，
故，即
函数在上单调递减．
（3）函数的定义域为，不关于原点对称，
则函数为非奇非偶函数．
21．（2024·高一·山东济南·阶段练习）已知幂函数是偶函数.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围；
(3)若，对任意，都存在唯一，使得，求实数的取值范围.
【解析】（1）幂函数，
所以，解得或，
所以或，
因为是偶函数，
所以.
（2）图象关于y轴对称，且在上单调递增，
则可化为，平方得，，
化简得，，解得，，
所以x的取值范围是.
（3）因为，所以对任意，，
因为存在唯一，使得，则在区间上单调，且是值域的子集，
因为对称轴为，
①当，即时，在上单调递减，
满足，
解得，，和取交集得；
②当，即时，在上单调递增，
满足，解得，，和取交集得；
综上所述，实数的取值范围是.
【高考真题】
1．（2011年上海市普通高中招生考试文科数学）下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
2．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（山东））设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】时，函数定义域不是R,不合题意；
时，函数的定义域为R且为奇函数，合题意，
故选A.
3．（2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（陕西卷））函数的图象是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；
由特殊点（8，2），，可排除C．
故选B．
4．（2020年江苏省高考数学试卷）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 .
【答案】
【解析】，因为为奇函数，所以
故答案为：
5．（2003 年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））已知函数，.
（1）求证：是奇函数并求的单调区间；
（2）分别计算合的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个式，并加以证明.
【解析】（1）函数的定义域，关于原点对称，
又，所以函数是奇函数.
幂函数在上单调递增，幂函数的单调递减区间为-∞,0和0,+∞，
所以，函数的单调递增区间为-∞,0和0,+∞；
（2），
同理可得，
由此概括出对所有不等于零的实数有：，证明如下：
，因此，等式成立.