高中第三章 函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）课后复习题

这是一份高中第三章 函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）课后复习题，共29页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc179822875" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc179822875 \h 2
\l "_Tc179822876" 题型一：一次函数模型 PAGEREF _Tc179822876 \h 2
\l "_Tc179822877" 题型二：二次函数模型 PAGEREF _Tc179822877 \h 4
\l "_Tc179822878" 题型三：分段函数模型 PAGEREF _Tc179822878 \h 7
\l "_Tc179822879" 题型四：幂函数模型 PAGEREF _Tc179822879 \h 10
\l "_Tc179822880" 题型五：耐克函数模型 PAGEREF _Tc179822880 \h 13
\l "_Tc179822881" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc179822881 \h 16
\l "_Tc179822882" 【高考真题、模拟题】 PAGEREF _Tc179822882 \h 28
【题型归纳】
题型一：一次函数模型
1．（2024·全国·高一课堂例题）某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过100kW·h，按0.57元/（kW·h）计费；每月用电量超过100kW·h，其中100kW·h仍按原标准收费，超过部分按1.5元/（kW·h）计费．
(1)设月用电，应交电费元，写出关于的函数解析式；
(2)小赵家第一季度缴纳的电费情况如下表：
问：小赵家第一季度共用电多少？
【解析】（1）当时，月电费=月用电量×标准电价，可得；
当时，月电费=100kW·h的电费+超过100kW·h部分的电费，可得
．
所以
（2）由（1）可知，当电费不超过57元时，说明月用电量不超过100kW·h；当电费超过57元时，说明月用电量超过100kW·h．因此用电量应使用函数的不同关系式来计算．
因为1月份、2月份电费超过57元，所以按第二个函数关系式计算，即，，分别算出1月份用电138kW·h，2月份用电112kW·h；
而3月份电费不超过57元，按第一个函数关系式计算，有，算出3月份用电80kW·h．
因此，小赵家第一季度共用电330kW·h．
2．（2024·高一·云南曲靖·期末）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2．
(1)分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
(2)该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
【解析】（1）由题意可设，，
由图知，函数和的图象分别过点和，
代入解析式可得，，
所以，
.
（2）设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，
年收益为万元，
则，，
有，
则当，即万元时，的最大值为，
所以当投资稳健型产品的资金为6万元，
风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为万元．
3．（2024·高一·湖北咸宁·自主招生）某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销． 经过调查，得到如下数据：
(1)把上表中 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，根据所描出的点猜想 是 的什么函数，并求出函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）
(3)为了支持希望工程，在实际的销售过程中该公司决定每销售一件工艺品就捐元给希望工程，公司通过销售记录发现，当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大，求 的取值范围．
【解析】（1）如下图，由图猜想与是一次函数，设这个函数为，
又这个函数图象过两点，，
所以，解得，
所以函数关系式为.
（2）由（1）知总销售额为，设利润为，
所以总利润为，
当时，有最大值元.
（3）由题意可得设扣除捐赠后的利润为，
因为，所以抛物线开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大。
所以时，有最大值，
又因为当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大，
所以，解得，又因为，
所以的取值范围为.
题型二：二次函数模型
4．（2024·高一·全国·课后作业）某网店销售一批新款削笔器，进价为10元/个.经统计，该削笔器的日销售量（单位：个）与售价（单位：元）满足如图所示的函数关系.
(1)为了使这批削笔器的日利润最大，应怎样定制这批削笔器的销售价格？
(2)为了使这批削笔器的日利润不低于售价为15元时的日利润，求售价的取值范围.
【解析】（1）根据图象可设，
将和代入解得，故，
设日利润为元，则，
所以当时，日利润最大.
为了使这批削笔器的日利润最大，这批削笔器的销售价格应定为20元.
（2）由（1）可知，当时，，
要使这批削笔器的日利润不低于售价为15元时的日利润，
则，即，
对于方程，
方程的两个实数根为，
为了使这批削笔器的日利润不低于售价为15元时的日利润，
则售价的取值范围是.
5．（2024·高一·河北石家庄·开学考试）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．

(1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式；
(2)若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？
(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
【解析】（1）设，由图可知，函数图象过点，
所以，解得，所以，
由解得.
所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是.
（2）若，
则利润，
其开口向下，对称轴为，所以当时，
利润取得最大值为，
所以当单价为元时，取得最大利润为元.
（3）由（2）得利润，
由整理得，
即，解得，
销售量是减函数，所以当时，销售量最小，
且最小值为件.
6．（2024·高一·贵州·阶段练习）某工厂生产某种产品，其生产的总成本（万元）年产量（吨）之间的函数关系可近似的表示为已知此工厂的年产量最小为吨，最大为吨．
(1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；
(2)若每吨产品的平均出厂价为万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润．
【解析】（1）由题意可得，，
因为，
当且仅当时，即时等号成立，符合题意.
所以当年产量为吨时，平均成本最低为万元．
（2）设利润为，则，
又，
当时，．
所以当年产量为吨时，最大利润为万元．
7．（2024·高一·全国·单元测试）某商品的成本价为80元/件，售价为100元/件，每天售出100件，若售价降低x成（1成），售出商品的数量就增加成，要求售价不能低于成本价．
(1)设该商品一天的营业额为y，试求出y与x之间的函数关系式；
(2)若要求该商品一天的营业额至少为10260元，求x的取值范围．
【解析】（1）依题意售价降低x成则商品售价为元/件，
售出商品数量为件，
所以该商品一天的营业额为，
又售价不能低于成本价，所以，解得，
所以.
（2）由（1）商品一天的营业额为，
令，化简得，
解得，又，
所以x的取值范围为．
题型三：分段函数模型
8．（2024·高一·上海·课堂例题）邮局规定：当邮件质量不超过100g时，每20g邮费0.8元，且不足20g时按20g计算；超过100g时，超过100g的部分按每100g邮费2元计算，且不足100g按100g计算；同时规定邮件总质量不得超过2000g.请写出邮费关于邮件质量的函数表达式，并计算50g和500g的邮件分别收多少邮费.
【解析】设邮件重量为g，邮费为元，则，
当时，，（其中表示取大于或等于的最小整数）；
当时，；
所以，
则当时，（元），
当时，（元），
则50g和500g的邮件分别收取2.4元和12元.
9．（2024·高一·上海·课堂例题）为分流短途乘客，减缓轨道交通高峰压力，某地地铁实行新的计费标准，其分段计费规则如下：0至6 km（含6 km）票价3元；6至16 km（含16 km）票价4元；16 km以上每6 km（不足6 km时按6 km计）票价递增1元，但总票价不超过8元．
(1)试作出票价y（单位：元）关于路程x（单位：km）的函数的大致图象；
(2)某人买了5元的车票，他乘车的路程不能超过多少？
【解析】（1）由题知，作出图象，如图所示，
（2）由（1）得该乘客乘车的路程不能超过.
10．（2024·高一·上海·课堂例题）某地区住宅电话费收取标准为：接通后分钟内（含分钟）收费元，以后每分钟（不足分钟按分钟计）收费元．如果一次通话时间为（单位：min），写出通话费（单位：元）关于通话时间的函数关系．
【解析】当时，话费为元；当时，话费为元，其中表示不小于的最小整数，
所以通话费（单位：元）关于通话时间的函数关系为，其中表示不小于的最小整数.
11．（2024·高一·全国·单元测试）某市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台．每生产x台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
(1)写出年利润万元关于年产量x台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】（1）由题意可得当，时，；
当，时，；
所以（）．
（2）当时，，，
当时，取最大值，（万元）；
当时，，
，
当且仅当，即时等号成立，因为，
故当该产品的年产量为35台时所获利润最大，最大利润为2050万元
12．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1000万元，每生产x台，需另投入生产成本万元.当年产量不足25台时，；当年产量不小于25台时，且当年产量为10台时需另投入成本1100万元；若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.
(1)求k的值；
(2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润所（万元）关于年产量x（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；
(3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.
【解析】（1）当，代入，得；
（2）由题意可得：当时，，
当时，
所以年利润（万元）关于年产量x（台）的函数关系式为：
；
（3）由（1）得时，，
此时（台）时，（万元）
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，（万元）
而，故（台）时，利润最大，最大利润是200万元，
综上所述：年产量为20台时，该企业所获利润最大，最大利润是200万元.
题型四：幂函数模型
13．（2024·高一·广东珠海·期末）果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本（万元）与果树数量（百棵）之间的关系如下表所示.
(1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适合作为与的函数模型；
(2)已知该果园的年利润（万元）与的关系为，则果树数量为多少时年利润最大？
【解析】（1）①若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得
解得
此时，当时，，
当时，，
与表格中的和相差较大，
所以不适合作为与的函数模型.
②若选择作为与的函数模型，将的坐标分别带入，得
解得
此时，当时，，
当时，，
刚好与表格中的和相符合，
所以更适合作为与的函数模型.
（2）由题可知，该果园最多120000棵该吕种果树，所以确定的取值范围为，
令，则
经计算，当时，取最大值（万元），
即，时（每亩约38棵），利润最大.
14．（2024·高一·湖南·课后作业）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．
(1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？
【解析】（1）设投资额为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，
由题设，，
由图可知（1），所以，又（4），所以，
所以，；
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，
，，
令，则，，
所以当时，，此时，
所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，约为4万元．
15．（2024·高一·云南昭通·期末）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系为，其图像如图所示.

（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入(千万元)与投入的资金(千万元)的函数关系式；
（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大?
（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产，两种芯片.设投入千万元生产芯片，用表示公司所获利润，当为多少时，可以获得最大利润?并求最大利润.(利润芯片毛收入芯片毛收入-发耗费资金)
【解析】（1）设投入资金(千万元)，则生产芯片的毛收入.
将，代入，得，
∴，
生产芯片的毛收入.
（2）由，得；由，得；由，得.
∴当投入资金大于16千万元时，生产芯片的毛收入大；
当投入资金等于16千万元时，生产、芯片的毛收入相等；
当投入资金小于16千万元时，生产芯片的毛收入大
（3）公司投入4亿元资金同时生产、两种芯片，设投入千万元生产芯片，
投入千万元资金生产芯片，
∴公司所获利润，
故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润9千万元.
题型五：耐克函数模型
16．（2024·高一·上海·课堂例题）已知某气垫船的最大船速是海里/时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成正比．当船速为海里/时时，船每小时的燃料费用为元，而其余费用（不论船速为多少）都是每小时元．船从甲地行驶到乙地，甲乙两地相距海里．
(1)试把船每小时使用的燃料费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数；
(2)试把船从甲地到乙地所需的总费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数；
(3)当船速为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？
【解析】（1）由题设燃料费用（单位：元）表示成船速（单位：海里/时）的函数为，
又当船速为海里/时时，船每小时的燃料费用为元，所以，解得，
所以.
（2）设船从甲地到乙地所需的时间为小时，所以，又，
得到.
（3）由（2）知，，
当且仅当，即时取等号，
所以当船速为海里/时时，船从甲地到乙地所需的总费用最少，最少为元.
17．（2024·高一·上海·课堂例题）建造一个容积为、深为的长方体的游泳池（无盖），池壁造价为元，池底造价为元，把总造价（元）表示成池底的一边长的函数.
【解析】由题意，设池底的一边长为，
因为游泳池的容积为、深为的长方体，可得其邻边长为，
可得游泳池的底面面积为，侧面积为，
又因为池壁造价为元，池底造价为元，
所以总造价关于边长的函数关系式为.
18．（2024·高二·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位；）满足关系：，设为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．
(1)求的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
【解析】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，
∴.
（2）因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值，
∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元.
19．（2024·高一·辽宁·阶段练习）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，且要求奖金不低于7万元，不超过年产值的.
(1)若该地方政府采用函数作为奖励模型，当本地某新增小微企业年产值为92万元时，该企业可获得多少奖金？
(2)若该地方政府采用函数作为奖励模型，试确定满足题目所述原则的最小正整数.
【解析】（1）当时，，
因为，
所以，符合要求，
故该企业可获得10.5万元奖金.
（2），
因为为正整数，所以在上单调递增，
由题意知对时恒成立，
故，解得.
又，
即在时恒成立，
即
所以正整数.
综上，
故最小正整数的值为158.
20．（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（其中为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
(1)求常数的值，并将2023年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；
(2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？
【解析】（1）依题意，当时，，则，解得，即，
又每件产品的销售价格为元，
因此，
所以，.
（2）由（1）知，，
由，得，当且仅当，即时取等号，
因此当时，，
所以该厂家2023年的促销费用投入为3万元时获得利润最大，且最大值为21万元.
21．（2024·高一·安徽马鞍山·期末）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为米、长为米的长方形展牌，其中，其面积为平方米.
(1)求关于的函数解析式，并求出的取值范围；
(2)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小?并求出周长的最小值.
【解析】（1）由宽为米、长为米的长方形展牌, 得, 整理得，
由，得，即，解得，
所以关于的函数解析式是，.
（2）展牌的周长，
当且仅当 ，即时取等号，此时，
所以设计展牌的长为9米和宽为3米，才能使展牌的周长最小，最小值为24米.
【重难点集训】
1．（2024·高一·广东深圳·期末）生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：心跳次数）与体重（单位：）的次方成反比.若、为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是70次，则的体重为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意设，
当，,则，
当，则，所以
故选：D
2．（2024·高一·广东佛山·阶段练习）已知函数，，设函数，则下列说法错误的是（ ）
A．是偶函数B．函数有两个零点
C．在区间上单调递减D．有最大值，没有最小值
【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中，画出函数，的图象，
从而得函数图象，如图实线部分：
对于A，因为函数图象关于y轴对称，所以是偶函数，正确；
对于B，根据零点的定义结合函数的图象知，函数有三个零点，分别为，错误；
对于C，从函数图象观察得在区间上单调递减，正确；
对于D，从函数图象观察得有最大值，没有最小值，正确；
故选：B
3．（2024·高一·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（ ）


A．①②B．③④C．①④D．②③
【答案】A
【解析】设行进的速度为 m/min，行走的路程为S m，
则，且，
由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②.
故选：A
4．（2024·高一·湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】点P在AB上时,；
点P在BC上时，
；
点P在CD上时，；
所以
画出分段函数的大致图象，如图所示．
故选：A．
5．（2024·高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，，
即，解得，又因为，所以，
这批台灯的销售单价的取值范围是.
故选：C
6．（2024·高一·全国·课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（ ）
A．60B．100C．200D．600
【答案】B
【解析】当时，设，则，解得
于是
设车流量为q，则
当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有；
当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数，
因此恒有，等号成立当且仅当；
综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆．
故选：B．
7．（2024·高一·浙江·期中）某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示：
若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（ ）
A．935元B．1000元C．1035元D．1100元
【答案】C
【解析】当顾客的购物总金额超过400元不超过800元时，
享受折扣优惠的金额做多为元，
故该顾客购物总金额一定超过了800元，设为x元 ，
则 ，解得（元），
则此顾客实际所付金额为元，
故选：C.
8．（2024·安徽淮南·一模）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ）
A．120B．200C．240D．400
【答案】D
【解析】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为，
当时，，
当时，取得最小值240，
当 时，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200，
综上，当每月得理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元，
故选：D
9．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（ ）

A．甲车出发2h时，两车相遇
B．乙车出发1.5h时，两车相距170km
C．乙车出发2h时，两车相遇
D．甲车到达C地时，两车相距40km
【答案】BCD
【解析】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，
∵C地位于A、B两地之间，
∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误；
甲车的速度为240÷4＝60（km/h），
乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），
∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），
∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；
∵，
∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确；
∵80×（4﹣3.5）＝40（km），
∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确；
故选：BCD
10．（多选题）（2024·高一·福建福州·期末）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本的数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（ ）
A．取得最大值时每月产量为台
B．边际利润函数的表达式为
C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值
D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少
【答案】BCD
【解析】对于A选项，，
二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错；
对于B选项，
，B对；
对于C选项，，
因为函数为减函数，则，C对；
对于D选项，因为函数为减函数，
说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对.
故选：BCD.
11．（多选题）（2024·高一·全国·课后作业）某工厂八年来产品累积产量C(即前t年年产量之和)与时间t(年)的函数如图，下列四种说法中正确的是（ ）
A．前三年中，产量增长的速度越来越快B．前三年中，产量增长的速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产D．第三年后，年产量保持不变
【答案】BC
【解析】利用函数的图象，结合问题的实际意义，即可求解.由函数图象可知,
在区间[0，3]上，图象凸起上升的，表明年产量增长速度越来越慢；
在区间(3，8]上，如果图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0.
B、C正确
故选：BC
12．（2024·高一·全国·课后作业）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米．

【答案】2080
【解析】设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为
，
设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：，
解得：
∴小明家到学校的路程为：（米）.
故答案为：2080．
13．（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量x件（单位：件）（x∈N*）与货价p（单位：元/件）之间的关系为p＝160－2x，生产x件所需成本C＝100＋30x（单位：元），当工厂日获利不少于1 000元时，该厂日产量最少生产风衣的件数是
【答案】10
【解析】由题意，设该厂月获利为元，则：
，
当工厂日获利不少于1 000元时，即，
即，
解得：.
故该厂日产量最少生产风衣的件数是10.
故答案为：10
14．（2024·高一·全国·课后作业）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为 (万元)．一万件售价为万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为 万件．
【答案】
【解析】根据题意，可得利润=售价-成本，将利润表示出来，得到关于的二次函数，再根据二次函数性质求解最大值即可.设利润为，则，当时，有最大值，
故答案为：18.
15．（2024·高一·河南新乡·阶段练习）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.
(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值.
【解析】（1）由题意，，
因为时，，所以，
所以，.
（2）因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取“”，
所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为.
16．（2024·高一·湖北·阶段练习）学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材．学习机较其他移动终端更注重学习资源和教学策略的应用，课堂同步辅导､全科辅学功能､多国语言学习､标准专业词典以及内存自由扩充等功能成为学习机的主流竞争手段，越来越多的学习机产品全面兼容网络学习､情境学习､随身学习机外教､单词联想记忆､同步教材讲解､互动全真题库､权威词典､在线图书馆等多种模式，以及大内存和SD/MMC卡内存自由扩充功能根据市场调查．某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
【解析】（1）因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元，
所以，解得，
当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元，
所以，解得，
当时，，
当时，，
综上．
（2）①当时，单调递增，所以；
②当时，，
由于，
当且仅当，即时取等号，
所以此时的最大值为，
综合①②知，当时，取得最大值为3680万元．
17．（2024·高一·辽宁·开学考试）如图，在矩形中，，.动点P，Q从A同时出发，且速度均为，点P，Q分别沿折线，向终点C运动．设点P的运动时间为，的面积为.
(1)当点P与点B重合时，x的值为______.
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.
(3)当PQ长度不变时，直接写出x的取值范围及PQ的长度.
【解析】（1）当点P与点B重合时，，且点P速度为，
所以点P的运动时间.
（2）分类讨论：当时，如图，
所以，
所以；
当时，如图，
∴，的高即为长，
∴；
当时，如图，
所以，，，
∴.
综上可知：.
（3）由题意可知当点在上运动或点在上运动时长度一定发生变化，
所以讨论 即可，此时点在上运动，点在上运动，如图，
过点作于.
所以，，，
所以，，
所以当长度不变时，，且.
18．（2024·高一·上海·期中）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150％”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润．
【解析】由题意知，且.
每件产品售价定为，
设该公司的月利润为y万元，
则
，
当且仅当时，即时取等号，
答：该公司最大月利润为37.5万元．
19．（2024·高一·江西上饶·期末）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?
【解析】（1）由题意可得，
所以.
（2）当时，，
当时，取最大值，（万元）；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为，
故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）.
【高考真题、模拟题】
1．（2024·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135B．149
C．165D．195
【答案】B
【解析】由题意得，，当且仅当，即时取“=”，
所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.
故选：B
2．（2024·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量（单位：）与时间（单位：）的关系是：当时，；当时，，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过 才可驾车.
【答案】
【解析】当时，，
当时，函数有最大值，所以当时，饮酒后体内每血液中的酒精含量小于，
当当时，函数单调递减，令，因此饮酒后小时体内每血液中的酒精含量等于，
故答案为：
3．（2024·上海徐汇·一模）某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100公里，票价是每公里0.5元，如果超过100公里，超过部分按每公里0.4元定价，则客运票价（元）与行程公里数（公里）之间的函数关系式是 ．
【答案】
【解析】设运输里程为,运费为元.
则
即,
故填: ,
月份
1
2
3
合计
计费金额/元
114
75
45.6
234.6
销售单价（元/件）
…
30
40
50
60
…
明天销售量（件）
…
500
400
300
200
…
1
4
9
16
1
可享受折扣优惠的金额
折扣率
不超过400元部分

超过400元部分