2025届广东省部分学校高三上学期11月联考数学试题（解析版）

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这是一份2025届广东省部分学校高三上学期11月联考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题可知，,
则的离心率 .
故选：A.
2. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由得：，；
由得：，或，；
.
故选：B.
3. 曲线在x=0处的切线方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，得，
当x=0时，，
故曲线在x=0处的切线方程为，即.
故选：D.
4. 如图，在下列正方体中，分别为正方体的顶点或所在棱的中点，则在这四个正方体中，四点共面的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A选项，如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，
假设四点共面，则设，
即，
即，方程无解，故四点不共面；
同理，BC选项，四点也不共面；
D选项，如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，
假设四点共面，设，
即，
则有，解得，故，
四点共面，D正确.
故选：D
5. 我们把向量叫做直线的正交单位方向向量. 设分别是直线与直线的正交单位方向向量，且，则（）
A. 2B. 2C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知，
因为，所以，解得 .
故选：C.
6. 已知，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，当且仅当时，等号成立，
所以
故选：A.
7. 某景区新开通了个游玩项目，并邀请了甲、乙、丙、丁 4 名志愿者体验游玩项目，每名志愿者均选择 1 个项目进行体验，每个项目至少有 1 名志愿者进行体验，且甲不体验项目，则不同的体验方法共有（）
A. 12 种B. 18 种
C. 24 种D. 30 种
【答案】C
【解析】若乙、丙、丁 3 人体验的项目各不相同，则有种体验方法，
若乙、丙、丁 3 人有 2 人体验的项目相同，则有种体验方法，
故不同的体验方法共有 24 种.
故选：C.
8. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.若在上单调递增，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可得，
因为，所以当时，，
且
因为在单调递增，所以，
又，解得.
故选：B
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知随机变量服从标准正态分布，令函数，则（）
A.
B. 是减函数
C. 是偶函数
D. 的图象关于点对称
【答案】ABD
【解析】因为，所以正确;
显然是减函数，正确.
因为，的图象关于点对称，
且 ,所以不是偶函数,不正确，正确.
故选：ABD.
10. 已知，函数，则（）
A. 若为偶函数，则
B. 若，则恰有 1 个极值点
C. 若，则对任意，均有
D. 当时，恒有
【答案】AD
【解析】对于选项A：若为偶函数，则由，得，则，从而，A正确.
对于选项B：若，由，得或
当时，．
由，得或，可知有 2 个极值点，不正确.
对于选项C：若，不妨取此时，
则不正确.
对于选项D：当时，
.
因为，所以，
则正确.
故选：AD．
11. 已知正项数列满足，记的前项和为Sn，前项积为，则（）
A. B. 不可能为常数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于选项A：因为是正项数列，则，解得，
所以，故A正确；
对于选项B：若，满足，故B错误；
对于选项C：因为，故C正确.
对于选项D：因为，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
可得，
当且仅当时，等号成立，
又因为，当且仅当时，等号成立，
可得，
当且仅当时，等号成立，
故，等号可以同时成立，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知为虚数单位，若，则__________.
【答案】
【解析】，.
故答案为：.
13. 已知，则 __________.
【答案】
【解析】由，
得 .
因为，所以，即，
则
故答案为：
14. 已知，直线与相交于点，是抛物线上一点，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】，，
由得：，恒过定点0,1；
由知：恒过定点；
，点轨迹是以为圆心，半径的圆（不含点0,1）；
设，，
则当，即时，.
故答案为：.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 目前，国际上常用身体质量指数()来衡量人体胖瘦程度. 我国的值标准如下.
某单位采用分层随机抽样的方法抽取了 50 名男员工，30 名女员工，其中 30 名女员工的值如下.
（1）以频率估计概率，若在该单位任选 3 名女员工，求这 3 人中至少有 1 人的值处于肥胖等级的概率；
（2）若被抽中的 50 名男员工中有 14 人的值处于肥胖等级，根据这 80 人的值，将列联表补充完整，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该单位员工的性别与肥胖有关?
附: ，其中 .
解：（1）由表格数据可知 30 名女员工中， BMI 值处于肥胖等级的有 6 人，
则估计该单位女员工的 BMI 值处于肥胖等级的概率 .
在该单位任选 3 名女员工，则这 3 人中至少有 1 人的值处于肥胖等级的概率

（2）列联表如下:
零假设为 : 该单位员工的性别与肥胖之间无关联.

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为该单位员工的性别与肥胖之间无关联.
16. 已知的内角的对边分别为，且 .
（1）判断的形状；
（2）若为锐角三角形，且 b=4 ，求面积的取值范围.
解：（1）由，得 .
因，
所以 .
又，所以，
又为三角形内角，
则，从而是等腰三角形.
（2）因为，所以.
由余弦定理知，
因为 b=4 ，所以，得 .
的面积 .
因为为锐角三角形，所以得，
则，
故面积的取值范围为 .
17. 如图，在四面体中, .

（1）证明: ;
（2）已知棱上两点,满足，且点到平面的距离为，点到平面的距离为，点到平面的距离为. 若，求直线与 CD所成角的余弦值.
（1）证明:取的中点，连接 .
因为 ,所以.
,平面，从而平面.
又平面，所以.因为 ,
平面,所以平面. 又平面 ,所以 .
因为,所以平面 .
又平面,所以.
（2）解：由（1）可知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴,轴,轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，由，
得
即，则.
由，得，则.

则.
则
故直线与CD所成角的余弦值为.
18. 已知椭圆的上、下顶点分别为是上一点（异于），且直线与的斜率之积为.
（1）求的方程；
（2）过的上焦点且斜率为的直线与相交于两点，其中点在第一象限内，且点关于轴对称的点为.
①设为坐标原点，证明：；
②若k=1，求过三点的圆的方程.
（1）解：由题可知，，，设，
则，整理得.
因为点在上，所以，解得，故的方程为.
（2）①证明：由（1）可知F0,1，则，
设Ax1,y1，Bx2,y2，联立方程组，整理得，
则，所以，.
因为点关于轴对称的点为，
所以
同理可得，
则，
因点在第一象限内，，所以，则，
从而，即.
②解：因为k=1，所以，，则，
所以线段AB的中点为，
则线段AB的垂直平分线的方程为，即.
由两点关于轴对称，可得过三点的圆的圆心在轴上，
令，得，即过三点的圆的圆心为.
，
，
设过三点的圆的半径为，则，
则过三点的圆的方程为.

19. 已知函数的定义域为，若，则称为类周期函数，为的一个类周期.
（1）证明：不是类周期函数；
（2）若是函数的一个类周期，且，记，求数列的前项和；
（3）若且是类周期函数，求的取值范围.
（1）证明：假设是类周期函数，且为的一个类周期，
则由，得，
令，得，从而，
若为奇数，则由，得，即①
若为偶数，则由，得，即②，
，②式不可能恒成立，故假设不成立，从而不是类周期函数.
（2）解：因为是函数的一个类周期，所以，
令，则，
令，则，即，
因为，所以是首项为，公比为的等比数列，
则.
（3）解：设的类周期为，则由，得，
则，
方法一：由，得，即，
令，则，
当时，单调递增；当时，单调递减，
若，从而，解得或，
即的取值范围为；
方法二：令，由题意可知在上存在零点，
，
若，则单调递减，
因为，所以在上存在零点，符合题意，
若，则，由，得，
若，则，当时，单调递减，
当时单调递增，
从而当时，，故在上不存在零点，不符合题意，
若，则，当时，单调递减，当时，单调递增，
从而当时，
由上存在零点，得，
则，则，从而，
综上，的取值范围为.BMI 值
(0，18.5)
等级
偏瘦
正常
偏胖
肥胖
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
值
21.6
18.4
16.5
16.1
24.5
19.4
21. 3
21.6
26.6
30. 6
编号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
值
21.8
18.7
26.6
20.8
288
27. 1
20.9
32.2
22.4
17.9
编号
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
值
26.2
19.8
22.3
29.7
30. 3
24.5
18.8
23.3
28.2
18.4
肥胖
不肥胖
总计
女员工
30
男员工
50
总计
80
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
肥胖
不肥胖
总计
女员工
6
24
30
男员工
14
36
50
总计
20
60
80