2025届广西高三上学期期末调研考试数学试题 （解析版）

这是一份2025届广西高三上学期期末调研考试数学试题 （解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，则.
故选：C
2. 复数的实部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，故实部为
故选：C
3. 若非零向量，满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，
即，又，
.
故选：D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
，
，
.
故选：A.
5. 如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面直径为12cm，且杯子的容积为，则该杯子的高度为（ ）
A. 12cmB. 13cmC. 14cmD. 15cm
【答案】B
【解析】当杯子盛满水时，该杯子中水的高度为cm，
则杯子的容积为，可得，
所以该杯子的高度为cm.
故选：B
6. 已知函数，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由，
则，
而，
所以，
又，
显然上，
即在上递减，
所以.
故选：D
7. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数的图象向右平移个单位长度得到函数，
函数的图象关于直线对称，
所以，
得
所以的最小值是4，则的最小正周期的最大值为.
故选：A
8. 已知函数，若函数零点的个数为3或4，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数零点的个数，即为的交点个数，
画出与的大致图像，
结合图像可知：当的交点个数为3或4时，
的取值范围是，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知点，若点在圆：上，则（ ）
A. 点在直线上
B. 点可能在圆上
C. 的最小值为1
D. 圆上至少有2个点与点的距离为1
【答案】AC
【解析】对于选项A：点，
代入直线得，故点在直线上，A正确
对于选项B：圆心到直线的距离为，
故直线与圆相离，结合选项A可知，点不可能在圆上，故B错误.
对于选项C：结合选项B可知，，故C正确
对于选项D：由选项C可知圆上只有1个点与点的距离为1，故D错误.
故选：AC
10. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若随机变量，则
B. 若随机变量，则
C. 数据，，，，与数据，，，，的中位数可能相等
D. 数据，，，，与数据，，，，的极差不可能相等
【答案】ABC
【解析】A：由二项分布的方差公式有，真命题；
B：由题设，随机变量的分布曲线关于，根据对称性知，真命题；
若，，，，依次为，则，，，，依次为，
显然两组数据的中位数都是3，极差都是4，C为真，D为假.
故选：ABC
11. 已知函数，则（ ）
A. 为偶函数
B. 曲线在点处的切线斜率为
C. ，
D. 不等式对恒成立
【答案】ABD
【解析】对于A，函数定义域为关于原点对称，
又，故为偶函数，A正确，
对于B，，故，
故在点处的切线斜率为，B正确，
对于C，，
当时，，则，故C错误，
对于D，令，则，
令，得；令，得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
又，当且仅当时，等号成立，
所以，故D正确，
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若双曲线：与双曲线：的焦距相等，则的离心率为______.
【答案】2
【解析】由题设，可得，则，
所以，即离心率为2.
故答案为：2
13. 在中，角，，的对边分别为，，，，则______.
【答案】
【解析】由正弦边角关系，可得，
又，，
所以.
故答案为：
14. 数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有______个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为______.
【答案】 ①. 240 ②.
【解析】由数字组成的五位五进制数，要求每个数字都要出现，
则需要先从中选取一个数字作为重复出现的数字，
再将不重复出现的3个数字从五个位置中选3个进行排列，
最后剩余两个位置排重复数字，
故所求不同的五位五进制数共有个，
数字组成的三位五进制数总共有个，
设这个三位五进制数从左到右的数字分别为，
转化成十进制数后此数为，
此数能被3整除等价于能被3整除，
因为，所以能被3整除的只有三种情况，
若，则的取值有、两种，
若，则的取值有、、、、五种，
若，则的取值有、两种，
故能被3整除的数共有个，则所求概率为.
故答案为：240，
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某企业有甲，乙两条生产线，每条生产线都有，，三个流程，为了比较这两条生产线的优劣，经过长期调查，可知甲生产线的，，三个流程的优秀率分别为0.9，0.9，0.8，乙生产线的，，三个流程的优秀率分别为0.8，0.85，0.92.已知每个流程是否优秀相互独立.
（1）求甲生产线的三个流程中至少有一个优秀的概率.
（2）为了评估这两条生产线哪个更优秀，该企业对，，三个流程进行赋分.当流程优秀时，赋30分，当流程不优秀时，赋0分；当流程优秀时，赋40分，当流程不优秀时，赋0分；当流程优秀时，赋50分，当流程不优秀时，赋0分.记甲生产线的，，流程的赋分分别为，，，乙生产线的，，流程的赋分分别为，，，计算与，并据此判断甲、乙哪条生产线更优秀.
解：（1）设甲生产线的流程优秀分别记为事件，
甲生产线的三个流程中至少有一个优秀为事件，
则，
所以.
（2）由题设，易知；
；
由，即乙生产线更优秀
16. 已知抛物线：的焦点为椭圆：的一个焦点，且的短轴长为4.
（1）求的方程；
（2）过点且倾斜角为的直线与交于，两点，线段AB的中垂线与轴交于点，求的面积.
解：（1）由抛物线：的焦点，所以，即，
又的短轴长为，所以，则，故；
（2）依题意有，联立，整理得，

设，，显然，则，，
所以，
设线段的中点为，则，，
故线段的中垂线为，令有，故，
所以到直线的距离为，
所以的面积.
17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，PD，BC的中点分别为，，，，且平面平面ABCD.
（1）证明：平面PAF.
（2）若直线PB与平面PAF所成角的正弦值为，求棱PB的长.
（1）证明：取的中点，连接，则且，
由底面为菱形，为的中点，则且，
所以且，即四边形为平行四边形，所以，
由面，面，故平面PAF.
（2）解：取的中点，连接，又，所以，
因为面面ABCD，面面ABCD，面，
所以面ABCD，
由底面为菱形，，则为正三角形，所以，
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
所以，，，
令面的一个法向量为，则，
令，则，
设直线与平面的夹角为，则，
可得或，故或.
18. 设函数.
（1）证明：曲线关于点对称.
（2）已知为增函数.
①求的取值范围.
②证明：函数存在唯一的极值点.
③若不等式对恒成立，求的取值范围.
（1）证明：因为，
所以曲线关于点对称.
（2）①解：因为增函数，所以恒成立，
即恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
则的最大值为，
所以，即的取值范围是.
②证明：因为，所以为增函数，
又，，而，，
，所以在上存在唯一的零点，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以函数存在唯一的极值点.
③解：由（1）知，曲线关于点对称，所以为奇函数，
由，，得，
则，即，
因为为增函数，所以为增函数，则，
即，，
设函数，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以的取值范围为.
19. 定义：若存在，，使得数列（，均为常数）是公差为的等差数列，则称是和比等差数列，也称是和比等差数列，且称为该和比等差数列的系数.
（1）若数列是和比等差数列，且，求的通项公式.
（2）设数列的前项和为，且.
①试问是否为和比等差数列？若是，求该和比等差数列的系数；若不是，请说明理由.
②证明：.
（1）解:因为数列是和比等差数列，所以，，即是首项为，公差为的等差数列，
所以，故
（2）①解：由①，当时，，，
当，②，由①②得：
整理得：.
构造，得，
即，解得，又，
故数列是以为首项，2为公比的等比数列.
所以，整理得，
，
故数列是公差为的等差数列，所以是和比等差数列，系数为3.
②证明：令，故，故
由糖水不等式得，即，
设的前n项和为，
则③，
④，
由③④得
即，
所以，故，
所以，故得证.