数学人教A版 (2019)4.5.3 函数模型的应用同步达标检测题

这是一份数学人教A版 (2019)4.5.3 函数模型的应用同步达标检测题，共27页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc182511853" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc182511853 \h 2
\l "_Tc182511854" 题型一：一次函数与二次函数模型的应用 PAGEREF _Tc182511854 \h 2
\l "_Tc182511855" 题型二：分段函数模型的应用 PAGEREF _Tc182511855 \h 4
\l "_Tc182511856" 题型三：指数或对数函数模型的应用 PAGEREF _Tc182511856 \h 6
\l "_Tc182511857" 题型四：拟合函数模型的应用问题 PAGEREF _Tc182511857 \h 8
\l "_Tc182511858" 题型五：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型 PAGEREF _Tc182511858 \h 10
\l "_Tc182511859" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc182511859 \h 16
\l "_Tc182511860" 【高考真题】 PAGEREF _Tc182511860 \h 26
【题型归纳】
题型一：一次函数与二次函数模型的应用
1．（2024·高一·江苏无锡·期中）某地区上年度电价为元/（kW·h），年用电量为kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价-成本价））
(1)写出本年度电价下调后电力部门收益为关于实际电价为的函数解析式；
(2)当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长?
(3)当时，求收益的最小值.
【解析】（1）由题意知，下调电价后新增用电量为，
故电力部门的收益，.
（2）当时，，
由题意知且，
化简得，解得或，
又，，
所以实际电价最低定为：0.6元/（kW·h）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.
（3）当时，，
令，，，
，
，
当且仅当时取等号，
故收益的最小值.
2．（2024·高一·江西景德镇·期中）景德镇市，别称“瓷都”，设镇于东晋时期，始称“昌南”，后易名“新平”，作为世界著名的陶瓷圣地，拥有丰富的文化遗产和自然资源，为旅游业的发展提供了得天独厚的条件.近年来，随着人们对传统文化和手工艺的兴趣日益增加，景德镇的陶瓷文化和制作过程吸引了越来越多的游客.小李看到了旅游带来的商机，想在景德镇开民宿，他发现一处拥有40间房间的酒店正在转让，他有了想盘下来开民宿的想法.通过调研，该位置附近的其他相似的酒店每间定价150元时，每天都可租出全部所有的房间，若每间房价上涨10元，则会少租出一间.已知盘下这个酒店开民宿，小李投入成本需要252万元，小李准备依照调研的数据来预算盘下该酒店后的收支情况，按照每间房基础定价150元，若每间房上涨了元，每天收入为元.
(1)求出和之间的函数关系式.
(2)若小李想要一年（按照360天计算）收回成本，请问每间房价应该定为多少元？
(3)每间客房定价为多少时，利润最大？
【解析】（1）当且时，；
当时，.
∴
（2）由题意分析可知：
即：或
故：或
即：每间房价应该定为之间.
（3）设利润为，则
故对称轴为，而，即：或12时，利润最大.
即：房价为270或280时，利润最大，最大值为201600.
3．（2024·高一·北京大兴·期中）已知经过年某汽车的总花费由购车费、维修费和其他费用组成，其中购车费用是22.5万元，使用年的维修费为万元，且每年的其他费用为0.8万元．
(1)求经过2年该车的总花费为多少万元；
(2)设经过年该车的年平均花费为万元，写出关于的函数解析式，并求的最小值．
【解析】（1）设总花费为万元，
则，
当，（万元），
答：经过2年该车的总花费为万元；
（2）由题意得：，
，，
当且仅当：，即，等号成立，
故的最小值为万元．
题型二：分段函数模型的应用
4．（2024·高一·福建泉州·阶段练习）某开发商计划2024年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在2024年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元．
(1)求2024年该项目的利润（万元）关于人数（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）；
(2)当2024年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少．
【解析】（1）依题意，
又，
所以，
即；
（2）当时，单调递增，且当时，
所以，
当时，，
则在上单调递增，所以，
当时，，
当且仅当即时等号成立，故，
，
综上，游客为万人时利润最大，最大为万．
5．（2024·高一·江苏·期中）中国“一带一路”战略构思提出后，宜兴某企业为抓住“一带一路”的机遇，决定开发一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为400万元，每生产 x台需要另投入成本万元，当年产量不足80台时，；当年产量不少于80台时，若每台售价为200万元.通过市场分析，该企业生产的该设备能全部售完.
(1)求年利润万元)关于年产量x台的函数关系式;
(2)当年产量为多少台时，该企业所获的利润最大，并求出最大利润.
【解析】（1）当且时，
；
当且时，
综上所述：
（2）当且时，
当时，此时最大值为2000，
当，且时，，
当且仅当，即时，取得最大值2200，
又，
故当年产量为91台时，企业所获利润最大，最大值为2200万元.
6．（2024·高一·贵州·期中）某市出租车收费标准如下：2公里以内（包含2公里）收费6元，不到2公里按2公里算；超过2公里但不超过8公里的部分，每公里收费2元，不到1公里按1公里计算；超过8公里的部分，每公里收费3元，不到1公里按1公里计算.已知某人某次乘坐出租车从该市的A地到该市的B地，共付车费33元，则该出租车从A地到B地行驶的最大距离是 里.
【答案】13
【解析】出租车行驶的距离为8公里时，乘客所付费用元，
因为乘客共付车费33元，
设出租车行驶的距离为公里，
则乘客所付费用元，
解得.
故答案为：13
7．（2024·高一·吉林松原·阶段练习）稿酬所得，是指个人因其作品以图书､报刊形式出版､发表而取得的收入，稿酬所得税是获得稿酬所得时所缴纳的一种税款.当每次稿酬所得不超过4000元时，扣除800元，剩余部分为应纳税所得额；当稿酬所得超过4000元时，扣除20%的费用，剩余部分为应纳税所得额.已知某人某次税后稿酬（作者在获得稿酬所得后，缴纳稿酬所得税后实际到手的收入金额）为5328元，则此人这次稿酬所得为 元.（注：稿酬所得税=应纳税所得额×14%）
【答案】6000
【解析】设某人某次税后稿酬为元，此人这次稿酬所得为元.
当时，，此时；
当时，，此时.
因为，所以，解得.
故答案为：6000.
8．（2024·北京西城·一模）调查显示，垃圾分类投放可以带来约元/千克的经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励分（为正整数）.月底积分会按照元/分进行自动兑换.
①当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换 元；
②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的%，则的最大值为 .
【答案】
【解析】①若某家庭某月产生生活垃圾，则该家庭月底的积分为分，
故该家庭该月积分卡能兑换元；
②设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元.
若时，恒成立；
若时，，可得.
故的最大值为.
故答案为：①；②.
题型三：指数或对数函数模型的应用
9．（2024·高一·上海·课后作业）通过实验数据可知，某液体的蒸发速度（升/小时）与液体所处环境的温度（℃）近似地满足函数（、为常数）．该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为 升/小时．
【答案】0.4/
【解析】由及已知条件得，所以，解得．
又，所以，解得，所以，
则该液体在20℃的蒸发速度为．
故答案为：0.4.
10．（2024·高一·上海·单元测试）里氏震级是由来自美国加州理工学院的地震学家里克特（C．F.Richter）和古登堡（B．Gutenberg）于1935年提出的．里氏震级M的计算公式是，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6.0级地震给人的震撼已十分强烈．按照里氏震级M的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6.0级地震最大振幅的 倍．
【答案】1000
【解析】，
，所以，
所以．
故答案为：1000.
11．（2024·高一·湖南邵阳·期末）创新是一个国家､一个民族发展进步的不竭动力，是推动人类社会进步的重要力量.某学校为了培养学生科技创新能力，成立科技创新兴趣小组，该小组对一个农场内某种生物在不受任何条件的限制下其数量增长情况进行研究，发现其数量（千只）与监测时间（单位：月）的关系与函数模型且）基本吻合.已知该生物初始总量为3千只，2个月后监测发现该生物总量为6千只.若该生物的总量再翻一番，则还需要经过 个月.
【答案】24
【解析】由题意，当时，，当时，，
则，解得，
所以，
设还需要经过个月，该生物的总量再翻一番，
则，
所以，
即，
因为，所以，
而函数在上时单调函数，
所以，解得，
所以该生物的总量再翻一番，则还需要经过个月.
故答案为：.
12．（2024·高一·上海·随堂练习）某驾驶员喝了少量酒后，血液中酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时50％的速度减少．为了保障交通安全，某地交通规则规定，驾驶员血液酒精含量不得超过0.02 mg/mL，那么该驾驶员至少要过几小时才能驾驶？（精确到1小时）
【解析】1小时后驾驶员血液中的酒精含量为：
，
2小时后其血液中酒精含量为
，
即，…，
x小时后其血液中酒精含量为
，
由题意知，
即，用计算器可得，x最少4小时．至少要过2小时驾驶员才能驾驶．
题型四：拟合函数模型的应用问题
13．（2024·高一·上海·随堂练习）某地区上年度电价为0.8元/kw·h，年用电量为akw·h，本年度计划将电价降到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之间，而用户期望电价为0.40元/kw·h.经测算，下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k），该地区电力的成本价为0.30元/kw·h.本年度电价下调后，试用实际电价x表示电力部门的收益 ，（指出x的范围），设，当电价最低为 时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长.注：收益=实际用电量（实际电价-成本价）
【答案】 0.6元/kw·h
【解析】第一空，由题意得：本年度实际用电量为：，
所以；
第二空，上年度电力部门实际收益为：，
本年度电力部门预收益为，
依题意，知：，
化简得，即，解得或，
又因为，所以，
即当电价最低为0.60元/kw·h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长.
故答案为：；0.6元/kw·h.
14．（2024·高一·广东河源·期中）科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则根据以上信息可得里氏9.0级地震释放的能量是8.0级地震所释放能量的 倍.
【答案】100
【解析】由题意得，所以，
即里氏9.0级地震释放的能量是8.0级地震所释放能量的100倍.
故答案为：100
15．（2024·高一·广东佛山·期末）表观活化能的概念最早是针对Arrhenius（阿伦尼乌斯）公式中的参量提出的，是通过实验数据求得，又叫实验活化能，Arrhenius公式中的k为反应速率常数，为摩尔气体常量，为热力学温度（单位为开尔文，简称开），为阿伦尼乌斯常数．已知某化学反应的温度每增加开，反应速率常数变为原来的倍，则当温度从开上升到开时，= ．（参考数据：）
【答案】
【解析】根据题意，温度每增加开，反应速率常数变为原来的倍，
则当温度从开上升到开时，反应速率常数变为开时的倍，
由，
当开，，
当开，，
所以，
，
，
，
，
，
故答案为：.
16．（2024·高一·四川广元·阶段练习）设某公司原有员工100人从事产品的生产，平均每人每年创造产值万元（为正常数），公司决定从原有员工中分流人去进行新开发的产品的生产，分流后，继续从事产品生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了.若要保证产品的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）
A．15B．16C．23D．28
【答案】C
【解析】依题意，分流前每年创造的产值为（万元），
分流人后，每年创造的产值为，
则，解得，
又，所以的最大值为，即最多能分流的人数是.
故选：C.
题型五：根据实际问题的增长率选择合适的函数模型
17．（2024·高一·湖南株洲·期末）从A地到B地的距离约为，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q（单位：L）与速度v（单位：）（）的如下数据：
为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系，下列最符合实际的函数模型是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】依题意以及表中数据画出散点图，可知该函数必须满足三个条件：
第一，定义域为；第二，在定义域上单调递增；第三，函数经过坐标原点.
由散点图可知，函数图象不符合函数图象特征，排除A，
函数单调递减，排除C，
当时，没有意义，排除D，
故最符合实际的函数模型为.
故选:B．
18．（2024·高一·全国·课后作业）某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（ ）
A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝aex＋bD．y＝aln x＋b
【答案】B
【解析】从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，所以该函数模型是二次函数.
故选：B
19．（2024·高三·重庆·阶段练习）薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Hestn Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.

在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（ ）
A．2.25minB．2.75minC．3.25minD．3.75min
【答案】C
【解析】由图2知，解得，，，
所以，
所以当时，取得最大值.
故选：C.
20．（2024·高一·湖北黄冈·阶段练习）某企业现有，两条生产线，根据市场调查，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，，生产线的利润（单位：万元）与投入金额（单位：万元）的关系式为，．假定且．
(1)求实数，，的值；
(2)该企业现有万元资金全部投入，两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．
【解析】（1）因为，，
，，
所以，，，
所以，
所以，，
（2）设生产线投入万元，则生产线投入万元，设企业获得利润为,
则，，
所以，
所以，
所以，
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以生产线投资万元，生产线投资万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为为万元.
21．声音强度（分贝）由公式给出，其中为声音能量．能量小于时，人听不见声音．强度大于60分贝时属于噪音，其中70分贝开始损害听力神经，90分贝以上就会使听力受损，而一般的人待在100分贝至120分贝的空间内，一分钟就会暂时性失聪．
(1)求时的声音强度；
(2)求噪音的能量范围；
(3)当能量达到多少时，人会暂时性失聪？
【解析】（1）当时，代入公式，可得（分贝）．
（2）噪音的强度大于60分贝，代入公式可得，
解得．
故噪音的能量范围为．
（3）人在100分贝至120分贝的空间内会暂时失聪．令，
解得，令，解得，
所以当能量达到时会暂时失聪．
22．（2024·高一·吉林延边·期中）某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：
其函数解析式为，其中，，，均为常数，且.
(1)求出关于的函数解析式；
(2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，计算+-的值.
【解析】（1）由表中数据知，时间每增加1个月，浮萍的面积增加量逐渐变大，，
当依次取1，2，3得，解得，即；
（2）由（1）知，，则有，
理出如下：依题意，得，，，
即，，，于是，
则，所以，则+-=1
23．（2024·高一·重庆·期中）为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据：
为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，，
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值；
(2)计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度．
【解析】（1）根据表格数据可知，随着汽车平均速度的增大，车流量呈现出先增大后减少的趋势；
再由一次函数性质可知成持续增大模式，由幂函数性质可知成持续减少模式；
只有符合题意；
将代入表达式可得，
解得
（2）由（1）可知，
由基本不等式可得，
因此，当且仅当时，即时，等号成立；
因此该路段最大车流量为千辆/小时,最大车流量时汽车的平均速度千米/小时.
24．（2024·高二·浙江·期中）生物钟（昼夜节律）是生物体内部的一个调节系统，控制着生物的日常生理活动．研究显示，人体的某些荷尔蒙（如皮质醇）在一天中的分泌量会随着时间的不同而发生变化，从而影响人的活力和认知能力．假设人体某荷尔蒙的分泌量（单位：）与一天中的时间（单位：小时，以午夜0点为起点）的关系可以通过以下分段函数来描述：
●在夜间，荷尔蒙分泌量保持在较低水平，可以近似为常数．
●在早晨，随着人醒来和太阳升起，荷尔蒙分泌量线性增加，其关系为，当时，分泌量达到最大值
●在下午和晚上，荷尔蒙分泌量逐渐降低，可以用指数衰减模型描述，即．
已知午夜时荷尔蒙分泌量为，峰值分泌量为
(1)求参数，和的值以及函数的解析式；
(2)求该同学一天内荷尔蒙分泌量不少于的时长．
【解析】（1）根据题意得，午夜时荷尔蒙分泌量，，
在早晨，荷尔蒙分泌量满足关系式：，
当时，分泌量达到峰值即，即，
解得：，
因此早晨时段的荷尔蒙分泌量关系为，
在下午和晚上时段，荷尔蒙分泌量满足：，
所以，解得，
所以荷尔蒙分泌量为，
综上，荷尔蒙分泌量的函数关系为；
（2）①当时，，
解得，所以，
②当时，，
，，
，，
综上所述，
该同学一天之内荷尔蒙分泌不少于的时长为10个小时.
【重难点集训】
1．（2024·高一·陕西西安·期中）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（元/件）与月销售量（件）之间的关系为，生产件的成本为若每月获得的利润不少于元，该厂的月销售量的不可能取值为（ ）
A．B．C．. D．
【答案】D
【解析】设该厂月获得的利润为元，
则.
由题意，， 解得：，
∴当月产量在至件（包括和）之间时，月获得的利润不少于元.
故选：D.
2．（2024·高一·四川广安·期中）友谊中学学校每周对会议室进行消毒，设在药物释放过程中，会议室空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后（此时药物含量），与满足关系（为常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时.会议室才能进入使用.则工作人员至少在会议开始时提前（ ）分钟进行消毒工作.
A．50B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，当时，过点，
则，解得，所以，
当时，空气中每立方米的含药量逐渐升高至毫克，
当时，空气中每立方米的含药量逐渐降低，
由，解得，
又，所以工作人员至少在会议开始时提前分钟进行消毒工作.
故选：.
3．（2024·高一·全国·专题练习）某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后发现，一天中环境污染指数与时刻（时）的关系为，其中是与气象有关的参数，且．如果以每天的最大值为当天的环境污染指数，并记为，若规定为环境污染指数不超标，则该市中心的环境污染指数不超标时，的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，设，当时，，
当且仅当，即时，等号成立，故，
当时，，
所以，
其中在上单调递减，在上单调递增，
有，，，
所以
即，当时，，
当时，，当时，，
所以该市中心的环境污染指数不超标时，的取值范围为．
故选：B．
4．（2024·高二·湖南·开学考试）近日，我国某生命科学研究所的生物研究小组成员通过大量的实验和数据统计得出睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位时间内心跳的次数）与其自身体重满足的函数模型.已知一只恒温动物兔子的体重为2kg、脉搏率为205次，若经测量一匹马的脉搏率为41次，则这匹马的体重为（ ）
A．350kgB．450kgC．500kgD．250kg
【答案】D
【解析】根据题意，当时，，则，
当时，则，故.
故选：D.
5．（2024·福建福州·模拟预测）大气压强（单位：）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为两地的大气压强分别为.若测得某地的大气压强为80，则该地的海拔约为（ ）（参考数据：）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题知①，②，
①②两式相比得到，
所以③，
当时，由④，②④得到，
所以⑤，
由⑤④，得到，
解得.
故选：C.
6．（2024·高一·湖北·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（ ）（附：）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可得，当时，，
当时，，
所以
，
所以的增长率约为.
故选：D
7．（2024·高一·全国·课后作业）某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5％，后5个交易日内，平均每天下跌4.9％，则股民的股票盈亏情况（不计其他成本，精确到元）为（ ）
A．赚723元B．赚145元
C．亏145元D．亏723元
【答案】D
【解析】由题意知第10个工作日股票剩余价值为，
所以万元，也就是亏723元.
故选：D
8．（2024·高一·浙江杭州·期末）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（ ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：）
A．4B．5C．6D．7
【答案】D
【解析】物实验中，血液中药物含量为的浓度为，
设至少经过个小时才会“药物失效”，根据题意
，两边取对数得，
可得.
所以至少经过个小时才会“药物失效”.
故选：D.
9．（多选题）（2024·高一·浙江绍兴·期中）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系为常数.若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则（ ）
A．
B．储存温度越高保鲜时间越短
C．在的保鲜时间是小时
D．在的保鲜时间是小时
【答案】BCD
【解析】对于A，由题可知，，
则，即，
可得，即，故A错误；
对于B，由A可知，在上是减函数，且在上是增函数，
所以在上是减函数，则储存温度越高保鲜时间越短，B正确；
对于C，由A可知，小时，C正确；
对于D，由A可知，小时，D正确.
故选：BCD.
10．（多选题）（2024·高一·山东济宁·期末）计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除．现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存y（单位：KB）与计算机开机后使用的时间t（单位：min）的关系式为，则下列说法中正确的是（ ）
A．在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90KB
B．计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等
C．计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1
D．计算机开机后，该计算机病毒占据内存到6KB，9KB，18KB所经过的时间分别是，，，则
【答案】ACD
【解析】对于选项A：令，可得，
所以在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90KB，故A正确；
对于选项B：因为不是定值，
可知计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存不相等，故B错误；
对于选项C：因为，
所以计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1，故C正确；
对于选项D：由题意可得：，可得，
则，即，故D正确；
故选：ACD.
11．（多选题）（2024·高一·广东惠州·期末）现代研究结果显示，饮茶温度最好不要超过60，一杯茶泡好后置于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度分别为80，65，给出两个茶温T（单位：）关于茶泡好后置于室内时间t（单位：分钟）的函数模型：①；②.根据所给的数据，下列结论中正确的是（ ）（参考数据：）
A．选择函数模型①B．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待3分钟
C．选择函数模型②D．该杯茶泡好后到饮用至少需要等待分钟
【答案】AD
【解析】选择函数模型①，则当时，，
当时，，符合要求，
选择函数模型②，则当时，，不符合要求，
故选选择函数模型①，即A正确，C错误；
令，则有，即，
即，
故该杯茶泡好后到饮用至少需要等待分钟，故B错误，D正确.
故选：AD.
12．（2024·高一·广东深圳·期中）将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加（只考虑涨价的情况），售价的取值范围应是 .
【答案】
【解析】设总利润元，因为每个售价为元，则根据题意可得
，
现在商家的售价为90元，将其代入解析式得：
，
要使商家总利润有所增加，则要满足，
即，则，
所以，解得，
所以售价的取值范围应是.
故答案为：.
13．（2024·高一·江苏·阶段练习）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的䟬离为3千米时，运费为9万元，仓储费为4万元，则运费与仓储费之和的最小值为 万元.
【答案】12
【解析】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，
依题意可设.
工厂和仓库之间的距离为3千米时，运费为9万元，仓储费用为4万元，
代入求得：于是，运费与仓储费之和为万元，
因，由，当且仅当，
即时，运费与仓储费之和最小，最小为12万元.
故答案为：12.
14．（2024·高三·云南楚雄·阶段练习）已知海面上的大气压强是，大气压强P（单位：）和高度（单位：）之间的关系为（为自然对数的底数，是常数），根据实验知高空处的大气压强是型直升机巡航高度为型直升机的巡航高度为时，A型直升机所受的大气压强是B型直升机所受的大气压强的 倍（精确到0.01）.
【答案】
【解析】依题意，即，
则A型直升机所受的大气压强，型直升机所受的大气压强，
所以，
所以A型直升机所受的大气压强是B型直升机所受的大气压强的倍.
故答案为：.
15．（2024·高一·福建福州·期中）某汽车制造企业计划在2025年利用新技术生产某款新能源电动汽车.通过市场分析，生产此款新能源电动汽车全年需投入固定成本300万，每生产x百辆新能源电动汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆新能源电动汽车总售价700万元，且全年生产的新能源电动汽车当年能全部销售完.
(1)求出2025年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式.（注：利润＝销售额－成本）；
(2)当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润、
【解析】（1）由题意可得：.
（2）当时，，
当且仅当时，取到最大值；
当时，，
当且仅当时，取到最大值；
因为，可知当2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元.
16．（2024·高一·江苏无锡·期中）如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形、、、与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．设长为（单位：）．

(1)用表示的长度，并写出的取值范围；
(2)用表示花坛与地坪的造价之和；
(3)设总造价为元，当长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价．
【解析】（1）由题意：矩形的面积为，
因此，
因为，所以．
（2）.
（3）由题意可得：
，（）
由基本不等式，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，总造价最小，最小值为元．
17．（2024·高一·重庆·期中）为了缓解交通压力，需要限定汽车速度，交管部门对某路段作了调研，得到了某时间段内的车流量（千辆/小时）和汽车平均速度（千米/小时）的下列数据：
为了描述车流量和汽车平均速度的关系，现有以下三种模型供选择：，，
(1)选出你认为最符合实际的函数模型，请说明理由并计算的值；
(2)计算该路段最大车流量及最大车流量时汽车的平均速度．
【解析】（1）根据表格数据可知，随着汽车平均速度的增大，车流量呈现出先增大后减少的趋势；
再由一次函数性质可知成持续增大模式，由幂函数性质可知成持续减少模式；
只有符合题意；
将代入表达式可得，
解得
（2）由（1）可知，
由基本不等式可得，
因此，当且仅当时，即时，等号成立；
因此该路段最大车流量为千辆/小时,最大车流量时汽车的平均速度千米/小时.
18．（2024·高一·吉林·期中）某水库有a万条鱼，计划每年捕捞一些鱼，假设水库中鱼不繁殖，只会因捕捞而减少鱼的数量，且每年捕捞的鱼的数量的百分比相等.当捕捞的鱼的数量达到原数量的时，所用时间是6年.为了保证水库的生态平衡，鱼的数量至少要保留原数量的.已知到今年为止，水库里鱼的剩余数量为原数量的
(1)求每年捕捞的鱼的数量的百分比.
(2)到今年为止，该水库已捕捞了多少年?
(3)今年之后，为了保证水库的生态平衡，最多还能捕捞多少年?
【解析】（1）由题意可得，即，解得，
则每年捕捞的鱼的数量的百分比为.
（2）设到今年为止该水库已捕捞t年，则，所以，
所以，解得，
即到今年为止，该水库已捕捞了3年.
（3）设今年之后，最多还能捕捞n年，
则n年后，水库里鱼的剩余数量为.
题意可得，则，
所以，解得，
故今年之后，最多还能捕捞9年.
19．（2024·高一·浙江杭州·期中）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时．
(1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；
(2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数）
参考数据：
【解析】（1）依题意得，则，
当时，，
即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时；
（2）由题意令，得，即，
则，
则，
即
解得：
故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于摄氏度.
【高考真题】
1．（2024·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：百万元）与新设备运行的时间（单位：年，）满足，当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润，
当时，，当且仅当时，等号成立，
则，
所以当时，取得最大值，且最大值为，
当时，，
所以函数在上单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为，
故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间.
故选：.
2．（2024·四川绵阳·一模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（e是自然对数的底数，，k为正的常数）．如果前9h消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（ ）（参考数据：）
A．33hB．35hC．37hD．39h
【答案】C
【解析】依题意，，解得，即，
当时，，即，
解得，
所以污消除60%的污染物需要的时间约为37h.
故选：C
3．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知某细菌是以简单的二分裂法进行无性繁殖，在适宜的条件下分裂一次（1个变为2个）需要23分钟，那么适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要（参考数据：）（ ）
A．3小时B．4小时C．5小时D．6小时
【答案】C
【解析】设适宜条件下1万个该细菌增长到1亿个该细菌大约需要分钟，则，
两边同时取对数得，，解得，
所以大约需要小时.
故选：C.
v
0
40
60
80
120
Q
0
7
8
10
20
时间月
1
2
3
浮萍的面积
3
5
9
10
30
40
60
70
0.8
6
8
4.8
3.5
10
30
40
60
70
0.8
6
8
4.8
3.5