中考数学一轮复习知识梳理+考点精讲专题05 一次方程（组）及其应用（2份，原卷版+解析版）

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本节主要考查基本的计算能力和简单的应用，中考以容易题为主，题型多为选择题、填空题和解答题。
考标要求
1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程；
2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组；
考点精讲
3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想.
考点1：等式的基本性质
1.等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，
即如果a=b，那么a±c=b±c
2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，
即如果a=b,那么ac=bc;如果a=b（c≠0）,那么
考点2：一元一次方程
考点3：二元一次方程组
1.定义：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程组
2.解法基本思想：消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程
（1）代入消元法：当方程组中一个方程的常数项为0或者方程组中某个未知数的系数为1或-1时，用代入消元法比较简单
（2）加减消元法：当两个方程中某个未知数的系数相同、互为相反数或成整数倍数关系时，用加减消元法比较简单
考点4：一次方程（组）应用
(1)审清题意，搞清楚什么是条件，求什么
(2)设未知数(直接设未知数，问什么就设什么；或间接设未知数)
(3)找出能够包含未知数的等量关系(一般情况下设几个未知数，就找几个等量关系)
(4)列出方程(组)
(5)求出方程(组)的解
(6)检验(看是否符合题意)
(7)写出答案(包括单位名称)
母题精讲
【典例1】（2022•柳州）解方程组：．
【解答】解：①+②得：3x＝9，
∴x＝3，
将x＝3代入②得：6+y＝7，
∴y＝1．
∴原方程组的解为：．
【典例2】（2020秋•原州区期末）希腊数学家丢番图（公元3﹣﹣4世纪）的墓碑上记载着：
“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世常辞了．”
根据以上信息，请你求出：
（1）丢番图的寿命；
（2）儿子死时丢番图的年龄．
【解答】解：（1）设丢番图的寿命为x岁，
依题意得：x+x+x+5+x+4＝x，
解得：x＝84．
答：丢番图的寿命为84岁．
（2）84﹣4＝80（岁）．
答：儿子死时丢番图的年龄为80岁．
【典例3】（2021•桂林）为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积．
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：
①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成．
哪一种方案的施工费用最少？
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成（x+200）平方米的绿化改造面积，
依题意得：x+200+x＝800，
解得：x＝300，
∴x+200＝300+200＝500．
答：甲工程队每天能完成500平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积．
（2）选择方案①所需施工费用为600×＝14400（元）；
选择方案②所需施工费用为400×＝16000（元）；
选择方案③所需施工费用为（600+400）×＝15000（元）．
∵14400＜15000＜16000，
∴选择方案①的施工费用最少．
【典例4】（2012秋•北仑区期末）某种原料的价格为每吨1000元，用该原料制成产品后原料将损耗25%，产品的价格是每吨8000元，如图，长青化工厂与A、B两地游公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，将原料制成产品后全部运往B地．已知公路运价为1.5元/（吨•千米），铁路运价为1.2元/（吨•千米）．
（1）若设购买原料x吨，则可制成产品 吨；
（2）若两次运输共支出公路运输费和铁路运输费112200元，求该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？
（3）在（2）的条件下，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
【解答】解：（1）∵用该原料制成产品后原料将损耗25%，
∴购买原料x吨，则可制成产品75%x吨；
故答案为：75%x；
（2）由题意得出：1.5（10x+20×75%x）+1.2（120x+110×75%x）＝112200，
整理得出：280.5x＝112200，
解得：x＝400，则75%x＝300，
答：从A地购买了400吨，制成运往B地的产品300吨；
（3）依据题意得出：
300×8000﹣400×1000﹣112200＝1887800，
∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
【典例5】（2021•贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
【解答】解：（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元．
（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，
∴用水量超过12m3．
设用水量为am3，
依题意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，
解得：a＝16．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为16m3．
【典例6】（2018•长沙）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？
【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
根据题意得：，
解得：．
答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．
（2）80×70×（1﹣80%）+100×80×（1﹣75%）＝3120（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．
真题精选

命题1 一次方程（组）的解法
1．（2022•青海）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A．若＝，则a＝bB．若ac＝bc，则a＝b
C．若a2＝b2，则a＝bD．若﹣x＝6，则x＝﹣2
【答案】A
【解答】解：A、若＝，则a＝b，故A符合题意；
B、若ac＝bc（c≠0），则a＝b，故B不符合题意；
C、若a2＝b2，则a＝±b，故C不符合题意；
D、﹣x＝6，则x＝﹣18，故D不符合题意；
故选：A．
2．（2022•黔西南州）小明解方程﹣1＝的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得3（x+1）﹣1＝2（x﹣2）①
去括号，得3x+3﹣1＝2x﹣2②
移项，得3x﹣2x＝﹣2﹣3+1③
合并同类项，得x＝﹣4④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【解答】解：方程两边同乘6应为：3（x+1）﹣6＝2（x﹣2），
∴出错的步骤为：①，
故选：A．
3．（2021•温州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（ ）
A．﹣4x+1＝﹣xB．﹣4x+2＝﹣xC．﹣4x﹣1＝xD．﹣4x﹣2＝x
【答案】D
【解答】解：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，
去括号得：﹣4x﹣2＝x，
故选：D．
4．（2022•株洲）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
A．x+2x﹣1＝7B．x+2x﹣2＝7C．x+x﹣1＝7D．x+2x+2＝7
【答案】B
【答案】B
【解答】解：，将①式代入②式，
得x+2（x﹣1）＝7，
∴x+2x﹣2＝7，
故选：B．
5．（2022•随州）已知二元一次方程组，则x﹣y的值为 ．
【答案】1
【解答】解：解法一：由x+2y＝4可得：
x＝4﹣2y，
代入第二个方程中，可得：
2（4﹣2y）+y＝5，
解得：y＝1，
将y＝1代入第一个方程中，可得
x+2×1＝4，
解得：x＝2，
∴x﹣y＝2﹣1＝1，
故答案为：1；
解法二：∵，
由②﹣①可得：
x﹣y＝1，
故答案为：1．
6．（2022•桂林）解二元一次方程组：．
【解答】解：①+②得：2x＝4，
∴x＝2，
把x＝2代入①得：2﹣y＝1，
∴y＝1，
∴原方程组的解为：．
命题1 一次方程（组）的应用
7．（2022•营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（ ）
A．240x+150x＝150×12B．240x﹣150x＝240×12
C．240x+150x＝240×12D．240x﹣150x＝150×12
【答案】D
【解答】解：依题意得：240x﹣150x＝150×12．
故选：D．
8．（2022•铜仁市）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（ ）
A．14B．15C．16D．17
【答案】B
【解答】解：设小红答对的个数为x个，
由题意得5x﹣（20﹣x）＝70，
解得x＝15，
故选：B．
9．（2022•十堰）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A．10x+3（5﹣x）＝30B．3x+10（5﹣x）＝30
C．+＝5D．+＝5
【答案】A
【解答】解：设清酒x斗，则醑酒（5﹣x）斗，
由题意可得：10x+3（5﹣x）＝30，
故选：A．
10．（2022•贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”．如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y＝23，则表示的方程是 ．
【答案】x+2y＝32
【解答】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，
一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：x+2y＝32．
11．（2022•张家界）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．
【解答】解：设高铁的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为（x﹣200）km/h，
由题意得：x+40＝3.5（x﹣200），
解得：x＝296，
答：高铁的平均速度为296km/h．
12．（2022•重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．
【解答】解：（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，
依题意得：×1.2x＝2+x，
解得：x＝20，
∴1.2x＝1.2×20＝24．
答：甲骑行的速度为24千米/时．
（2）设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时，
依题意得：﹣＝，
解得：y＝15，
经检验，y＝15是原方程的解，且符合题意，
∴1.2y＝1.2×15＝18．
答：甲骑行的速度为18千米/时．
13．（2022•泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．
【解答】解：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，
依题意得：，
解得：．
答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒．
14．（2022•安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．
注：进出口总额＝进口额+出口额．
（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？
【解答】解：（1）由表格可得，
2021年进出口总额为：1.25x+1.3y，
故答案为：1.25x+1.3y；
（2）由题意可得，
，
解得，
∴1.25x＝400，1.3y＝260，
答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元．
15．（2020•百色）某玩具生产厂家A车间原来有30名工人，B车间原来有20名工人，现将新增25名工人分配到两车间，使A车间工人总数是B车间工人总数的2倍．
（1）新分配到A、B车间各是多少人？
（2）A车间有生产效率相同的若干条生产线，每条生产线配置5名工人，现要制作一批玩具，若A车间用一条生产线单独完成任务需要30天，问A车间新增工人和生产线后比原来提前几天完成任务？
【解答】解：（1）设新分配到A车间x人，分配到B车间y人．
由题意可得，，解得，
∴新分配到A车间20人，分配到B车间5人．
（2）由（1）可得，分配后，A车间共有50人，
∵每条生产线配置5名工人，
∴分配工人前共有6条生产线，分配工人后共有10条生产线；
分配前，共需要的天数为30÷6＝5（天），
分配后，共需要的天数为30÷10＝3（天），
∴5﹣3＝2（天），
∴A车间新增工人和生产线后比原来提前2天完成任务．
年份
进口额/亿元
出口额/亿元
进出口总额/亿元
2020
x
y
520
2021
1.25x
1.3y