中考数学一轮复习知识梳理+考点精讲专题19 相似三角形（2份，原卷版+解析版）

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中考命题解读
相似三角形的应用在中考中主要考察热点有：8字图、A字图等简单相似模型。出题类型可以是选择填空这类小题，也可以是18~19这类解答题，难度通常不大，问题背景多以现实中的实物如树高、楼高、物体尺寸等为背景，提炼出数学模型，进而利用（或构造）简单相似模型求解长度等问题。
考标要求
1.比例的基本性质，线段的比。成比例线段
2.认识图形的相似，探索相似图形的性质
3.相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比等于对应边比的平方
4.两个三角形相似的概念，图形的位似
5.探索两个三角形相似的条件
6.利用位似将一个图形放大或缩小
考点精讲
考点1：平行线分线段成比例定理
1、比例线段的有关概念：在比例式（）中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，叫第四比例项，如果，那么叫做、的比例中项．
2、把线段AB分成两条线段AC和BC，使，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。
比例性质：
；；
；
4、平行线分线段成比例定理
（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
如图，已知∥∥，可得
等．
（2）推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．由DE∥BC可得：．此推论较原定理应用更加广泛．
（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．那么这条直线平行于三角形的第三边．
此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线．
定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
考点2：相似三角形的性质
性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例.
性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比.
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
性质3：相似三角形周长的比等于相似比
如图一： ∽，则
由比例性质可得：
图一
性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方
如图二，∽，则分别作出与的高和，则

图二
考点3 ：相似三角形的判定
1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
相似三角形的基本图形：
母题精讲
【典例1】（2022•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF．已知四边形BFED是平行四边形，＝．
（1）若AB＝8，求线段AD的长．
（2）若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
真题精选
命题点1 相似三角形的有关计算
1．（2022•兰州）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，则EF＝（ ）
A．4B．6C．8D．16
2．（2022•贵阳）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，则△ADC与△ACB的周长比是（ ）
A．1：B．1：2C．1：3D．1：4
3．（2022•百色）已知△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C'的面积比是（ ）
A．1：3B．1：6C．1：9D．3：1
4．（2022•临沂）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，则EC＝（ ）
A．B．C．D．
5．（2022•贺州）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022•达州）如图，点E在矩形ABCD的AB边上，将△ADE沿DE翻折，点A恰好落在BC边上的点F处，若CD＝3BF，BE＝4，则AD的长为（ ）
A．9B．12C．15D．18
7．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ．
命题点 相似三角形的实际应用
8．（2022•百色）数学兴趣小组通过测量旗杆的影长来求旗杆的高度，他们在某一时刻测得高为2米的标杆影长为1.2米，此时旗杆影长为7.2米，则旗杆的高度为 米
9．（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 米．
10．（2022•陕西）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为 米．
11．（2022•菏泽）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是边AC上一点，且BE＝BC，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：△ADE∽△ABC．
12．（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物OB的影长OC为16米，OA的影长OD为20米，小明的影长FG为2.4米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF为1.8米，求旗杆的高AB．
1、“A”字型
DE∥BC
2、“X”字型
AB∥CD
3、斜交型
∠1=∠2
4、蝴蝶型
∠A=∠D或∠B=∠C
5、双垂型
，
6、双垂型拓展图
∠ABD=∠C