中考数学一轮复习知识梳理+考点精讲专题24 正方形的性质与判定（2份，原卷版+解析版）

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以正方形为载体的中考题，往往以基础知识、基本技能、基本数学思想和基础数学活动经验为依托，考查考生运用基础知识分析、解决问题的能力。
考标要求
1.掌握正方形的概念、判定和性质，会用正方形的性质和判；
2.会运用正方形的知识解决有关正方形定解决简单问题问题。
考点精讲
考点1：正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
考点2：正方形的性质：
1、正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。
2、正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
3、正方形对边平行且相等。
4、正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
5、正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；6、正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
考点3：正方形的判定：
1）有一个角是直角的菱形是正方形；
2）对角线相等的菱形是正方形；
3）一组邻边相等的矩形是正方形；
4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
正方形的面积公式：面积=边长×边长=对角线×对角线
母题精讲
【典例1】（2021•德州）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，点G，H分别在边AB，BC上，且FG⊥EH，垂足为P．
（1）求证：FG＝EH；
（2）若正方形ABCD边长为5，AE＝2，tan∠AGF＝，求PF的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，
∴∠AGF+∠AFG＝90°，
∵FG⊥EH，
∴∠AGF+∠GEP＝90°，
∴∠AFG＝∠GEP＝∠BEH，
∵AE＝DF，
∴AD﹣DF＝AB﹣AE，
即AF＝BE，
在△AFG和△BEH中，
，
∴△AFG≌△BEH（ASA），
∴FG＝EH；
（2）解：∵AD＝5，AE＝DF＝2，
∴AF＝5﹣2＝3，
在Rt△AFG中，tan∠AGF＝，
即＝，
∴AG＝4，
∴EG＝2，
在Rt△AFG中，FG＝＝＝5，
∵∠A＝∠EPG＝90°，∠AGF＝∠PGE，
∴△AFG∽△PEG，
∴＝，
即＝，
∴PG＝，
∴PF＝FG﹣PG＝5﹣＝．
【变式1-1】（2022•随州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
（1）求证：AE＝CF；
（2）已知平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形BEDF为正方形，
∴DF＝EB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，
∴DC﹣DF＝AB﹣EB，
∴CF＝AE，
即AE＝CF；
（2）解：∵平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，四边形BEDF为正方形，
∴5DE＝20，DE＝EB，
∴DE＝EB＝4，
∴AE＝AB﹣EB＝5﹣4＝1，
由（1）知：AE＝CF，
∴CF＝1．
【变式1-2】（2022•贵阳）如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，点F在DC上，且MF∥AD．
（1）求证：△ABE≌△FMN；
（2）若AB＝8，AE＝6，求ON的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，AB∥CD，∠A＝∠D＝90°，
又∵MF∥AD，
∴四边形AMFD为矩形，
∴∠MFD＝∠MFN＝90°，
∴AD＝MF，
∴AB＝MF，
∵BE的垂直平分线交AB于点M，交CD于点N，垂足为O，
∴∠MFN＝∠BAE＝90°，∠FMN+∠BMO＝∠BMO+∠MBO＝90°，
∴∠FMN＝∠MBO，
在△ABE和△FMN中，
∴△ABE≌△FMN（ASA）；
（2）∵∠MOB＝∠A＝90°，∠ABE是公共角，
∴△BOM∽△BAE，
∴OM：AE＝BO：BA，
∵AB＝8，AE＝6，
∴BE＝＝10，
∴OM：6＝5：8，
∴OM＝，
∵△ABE≌△FMN，
∴NM＝BE＝10，
∴ON＝MN﹣MO＝．
【典例2】（2021•兴安盟）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD相交于点H．
（1）求证：AD⊥EF；
（2）△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？说明理由．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△AED与△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
∴AD⊥EF；
（2）解：△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形，
理由：∵∠AED＝∠AFD＝∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵EF⊥AD，
∴矩形AEDF是正方形．
【变式2】（2022•邵阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA．
求证：四边形AECF是正方形．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是菱形；
∵OE＝OA＝OF，
∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC，
∴菱形AECF是正方形．
真题精选
命题点1 正方形的判定
1．（2021•娄底）如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BE＝DF，则四边形AECF是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】A
【解答】解：A．∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵BE＝DF，
∴EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
故本选项符合题意；
B．∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四边形AECF不是矩形，
故本选项不符合题意；
C．∵四边形ABCD是矩形，
∴不能证明AC⊥BD，
∴不能证明AC⊥EF，
故本选项不符合题意；
D．∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴AC≠EF，
∴四边形AECF不是正方形，
故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（2022秋•漳州期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，添加下列一个条件，能使矩形ABCD成为正方形的是（ ）
A．BD＝ACB．DC＝ADC．∠AOB＝60°D．OD＝CD
【答案】B
【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形．
故选：B．
3．（2022春•东莞市期中）下列给出的条件中，不能判断▱ABCD是正方形的是（ ）
A．AC＝BD，AD＝ABB．AD＝AB，∠A＝90°
C．AC＝BD，AC⊥BDD．AC⊥BD，AD＝AB
【答案】D
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形为矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以能判断四边形ABCD是正方形；
B、根据一个角是直角的平行四边形是矩形，且有一组邻边相等，所以能判断四边形ABCD是正方形；
C、对角线相等的平行四边形为矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以能判断四边形ABCD是正方形；
D、只能证明四边形ABCD是菱形，不能判断四边形ABCD是正方形．
故选：D．
4．（2021•玉林）一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等
b．一组对边平行且相等
c．一组邻边相等
d．一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是（ ）
A．仅①B．仅③C．①②D．②③
【答案】C
【解答】解：①由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，再添加d即一个角是直角的菱形是正方形，故①正确；
②由b得到一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加d即有一个角是直角的平行四边形是矩形，再添加c即一组邻边相等的矩形是正方形，故②正确；
③由a得到两组对边分别相等的四边形是平行四边形，添加b得到一组对边平行且相等的平行四边形仍是平行四边形，再添加c即一组邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到四边形是正方形，故③不正确；
故选：C．
命题点2 正方形的性质及其应用
5．（2022•什邡市校级二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°
B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD
D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC
【答案】D
【解答】解：因为矩形的四个角是直角，
故A正确，
因为菱形的对角线互相垂直，
故B正确，
因为正方形的对角线相等，
故C正确，
菱形的对角线和边长不一定相等，
例如：∠ABC＝80°，因为AB＝BC，所以∠BAC＝∠ACB＝50°，此时AC＞AB，
故选：D．
6．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．∠AFP＝∠BPQ
B．EF∥QP
C．四边形EFPQ是正方形
D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝BP＝CQ＝DE，
∴DF＝CE＝BQ＝AP，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），
∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；
∵EF＝FP＝PQ＝QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意；
∵△APF≌△BQP，
∴∠AFP＝∠BPQ，
∵∠AFP+∠APF＝90°，
∴∠APF+∠BPQ＝90°，
∴∠FPQ＝90°，
∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意；
∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2，
若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半，
则EF2＝AB2，即EF＝AB．
若EF≠AB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半，
故D选项不一定正确，符合题意．
故选：D．
7．（2020•湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：△BAE≌△CDE；
（2）求∠AEB的度数．
【解答】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴∠EAB＝∠EDC＝150°，
在△BAE和△CDE中
，
∴△BAE≌△CDE（SAS）；
（2）∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠EAB＝150°，
∴∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°．
8．（2022•雅安）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°，
又∵BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
（2）解：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
又∵DF＝BE，
∴OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形，
∵AB＝3，
∴AC＝BD＝6，
∵BE＝DF＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6．
9．（2021•梧州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH．
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝6，BE＝BC，求GH的长．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BF，∠ABE＝90°，
∴∠EAB+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
在△ABE与△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF；
（2）∵∠EAB＝∠CBF，
∴∠GAE＝∠PBH，
∵PH⊥GP，
∴∠GPH＝90°，
∵∠APB＝90°，
∴∠GPA+∠APH＝∠APH+∠HPB，
∴∠GPA＝∠HPB，
∴△GPA∽△HPB，
∴，
∵tan∠EAB＝，
∵BE＝BC，
∴＝3，
∵G为AD的中点，
∴AG＝3，
∴HB＝1，
∴AH＝5，
∴GH＝＝．