人教A版高中数学(必修第二册)期末考测试卷（三角函数+必修二）（2份，原卷版+解析版）

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2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2023春·广东深圳·高一深圳外国语学校校考阶段练习）复数化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用复数的乘除运算化简复数即可.
【详解】.
故选：A
2．（2023秋·广东广州·高一校考期末）要得到函数的图象,只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】将写为,根据三角函数的平移变换即可得出选项.
【详解】解:由题知,
所以由变到只需向左平移个单位,
故由变到只需向右平移个单位.
故选:B
3．（2023春·广东揭阳·高二校考阶段练习）已知向量，且，则（ ）
A．B．C．6D．-9
【答案】B
【分析】根据平面向量平行的坐标公式计算即可.
【详解】因为向量，且，
所以，解得.
故选：B.
4．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据已知向量坐标，求投影向量公式求解即可.
【详解】因为，所以，，
向量在向量方向上的投影向量为
.
故选：D.
5．（2023·全国·高一专题练习）已知是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若且，则B．若且，则
C．若且，则D．若且，则
【答案】D
【分析】对于A：直接判断出m与n可能平行、相交，也可能异面，即可判断；对于B：直接判断出m与n可能平行，也可能异面；对于C：直接判断出与可能相交，也可能平行；对于D：利用线面垂直的判定定理直接判断.
【详解】对于A：若且，则m与n可能平行、相交，也可能异面，故A错误；
对于B：若且，则m与n可能平行，也可能异面，故B错误；
对于C：若且，则与可能相交，也可能平行，故C错误；
对于D：因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确.
故选：D.
6．（2023·广东·统考一模）如图所示是中国2012-2021年汽车进､出口量统计图，则下列结论错误的是（ ）
A．2012-2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的
B．从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量
C．2012-2021年中国汽车出口量的第60百分位数是106万辆
D．2012-2021年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差
【答案】D
【分析】根据条形图，结合百分位数、方差的性质逐一判断即可.
【详解】由条形图可知2012-2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的，所以选项A正确；
由条形图可知从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量，所以选项B正确；
2012-2021年中国汽车出口量由小到大排列为：，因此第60百分位数是，所以选项C正确；
由条形图可知2012-2021年中国汽车进口量的波动小于出口量的波动，因此2012-2021年中国汽车进口量的方差小于出口量的方差，所以选项D不正确，
故选：D
7．（2023春·山东枣庄·高一山东省滕州市第五中学校考阶段练习）已知三棱锥的所有棱长均为2，球为三棱锥的外接球，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】把正四面体放置在正方体中，转化为正方体外接球问题，求出半径，代入球的表面积公式求解即可.
【详解】三棱锥的所有棱长均为2，
故可把三棱锥放置在正方体中，
如图
设正方体的棱长为a，则，解得，
三棱锥的外接球就是正方体的外接球，
故球的半径，所以球的表面积.
故选：D
8．（2023春·广东广州·高一广州市第六十五中学校考期中）如图，在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c（），分别以边AB，AC，BC所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其体积分别为，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由直角三角形绕其直角边旋转可以得到一个圆锥，直角三角形绕其斜边旋转可以得到两个共用同一底面的圆锥的组合体，绕三边旋转一周分别形成三个几何体的形状，求出他们的体积，即可得答案．
【详解】解：当绕边旋转时，其体积；
当绕边旋转时，体积；
当绕边旋转时，体积．
∴．
故选：A．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023春·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）已知复数（其中i是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ）
A．B．z的虚部是-4
C．是纯虚数D．z在复平面上对应点在第四象限
【答案】ABD
【分析】根据复数模的定义、复数虚部的定义，结合纯虚数的定义、复数在复平面对应点的特征逐一判断即可.
【详解】A：复数，则，故A正确；
B：的虚部是，故B正确；
C：，是实数，故C错误；
D：z在复平面上对应点的坐标为，在第四象限，故D正确.
故选：ABD.
10．（2023春·广东·高一校联考阶段练习）下列式子中，一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】根据向量的运算法则和向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】根据向量的运算法则，可得，，所以A、B正确；
由，
，
当向量，的夹角大于时，此时，所以C错误；
由向量，，的方向不一定相同，所以D错误.
故选：AB.
11．（2023春·广东佛山·高一统考期末）广东某高校为传承粤语文化，举办了主题为“粤唱粤美好”的校园粤语歌手比赛在比赛中，由A，B两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下列说法正确的是（ ）
A．A组打分的众数为47B．B组打分的中位数为75
C．A组的意见相对一致D．B组打分的均值小于A组打分的均值
【答案】AC
【分析】由折线图中的数据，结合众数、中位数、平均数的定义对四个选项逐一分析判断即可．
【详解】解：由折线图可知，小组打分的分值为：42，47，45，46，50，47，50，47，
则小组打分的分值的众数为47，故选项A正确；
小组打分的分值为：55，36，70，66，75，68，68，62，58，
按照从小到大排列为：36，55，58，62，66，68，68，70，75，
中间数为66，故中位数为66，故选项B错误；
小组的打分成绩比较均匀，波动更小，故A小组意见相对一致，故选项C正确；
小组的打分分值的均值，而小组的打分分值的均值，
所以小组打分的分值的均值大于小组打分的分值的均值，故选项D错误．
故选：AC．
12．（2023春·广东·高一校联考期中）如图，点是棱长为的正方体中的侧面上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（ ）
A．有无数个点满足
B．当点在棱上运动时，的最小值为
C．若，则动点的轨迹长度为
D．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
【答案】AC
【分析】对于A，根据线面垂直性质定理以及判定定理，可得其正误；
对于B，利用“将军饮马”模型，旋转平面化折为直，结合勾股定理，可得其正误；
对于C，利用直观想象圆锥的模型，利用勾股定理，求得其底面轨迹，可得其正误；
对于D，根据异面直线夹角的定义，利用数形结合以及三角函数的定义，可得其正误.
【详解】对于A，若M在上，则此时有无数个点M满足，
证明如下：由正方体的性质得平面，因为平面，所以.
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，即此时有无数个点M满足，故A正确；
对于B，旋转平面使之与平面共面，如图中，连接交于点M，
此时最短为，大小为，故B错误；
对于C，当点在平面内时，面，面，则，
所以，所以，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆弧，
从而动点轨迹长度为，故C正确；
对于D，因为，所以直线与所成的角，即为直线与所成角，即或其补角，
由在线段上存在点知，，由，得，
即最小值大于，故D错误.
故选：AC.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023春·广东揭阳·高一揭阳第一中学校考期末）某单位有青年职工200人，中年职工120人，高级职称人员n人，为了了解单位人员的健康情况，采用分层抽样的方法共抽取30人进行调查，已知中年职工抽10人，则n=___________.
【答案】40人
【分析】按照分层抽样的特点，即按比例抽取，列式求解即可．
【详解】解：因为共抽取30人，中年职工抽10人
所以抽取的比例为，
则有，
所以．
故答案为：40．
14．（2023春·广东佛山·高一统考期末）已知，是单位向量，且，设向量，当时，___________；当时，的最小值为__________．
【答案】 /
【分析】（1）根据平面向量夹角公式计算即可；
（2）建立平面直角坐标系，再根据的几何意义求解即可
【详解】（1）由题意，因为，是单位向量，且，，数形结合可得；
（2）不妨设，，故，将移至坐标原点建立平面直角坐标系.则当时，的终点在直线上. 的几何意义为到直线上的点的距离.故的最小值为到直线的距离即.
故答案为：；
15．（2023春·广东佛山·高一统考期末）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为__________．
【答案】
【分析】根据题意可得球O的半径，结合外接球的性质可得外接球心O在底面的中心，再根据几何关系求解侧棱长即可
【详解】设上下底面互相平行的两对角线分别为，则由球O的表面积为可得球O的半径，又正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，故，所以球O的球心正好在中点.故.所以正，故，所以正，故此正四棱台的侧棱长
故答案为：
16．（2023春·广东梅州·高三校考期中）在等边三角形中，，点在内部，且满足，则的最大值为_______
【答案】
【分析】设，由正弦定理可得，再化简计算的最大值即可
【详解】设，,则，在中，..
由正弦定理可得，
则.
.
当时，，取最大值2.
故答案为：2.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）已知函数，．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在上的最大值及相应自变量的值．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）首先利用辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的周期公式，可求函数的最小正周期，根据正弦函数的增区间求得函数的单调递减区间；
（2）根据正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．
【详解】（1）因为
由题意得：，即最小正周期为．
由，
解得：，
故函数的单调递减区间为；
（2）由得，
在区间上的最大值为．
当，即，所以时
18．（2023春·广东佛山·高一统考期末）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（Bdy Mass Index，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为：BMI