专题2-4+构造函数以及切线归类（14题型+解题攻略）【高考数学】二轮复习：题型归纳+专项训练

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22126" 题型01切线求参 PAGEREF _Tc22126 \h 1
\l "_Tc11527" 题型02 求“过点”型切线方程 PAGEREF _Tc11527 \h 2
\l "_Tc17425" 题型03“过点”切线求参 PAGEREF _Tc17425 \h 3
\l "_Tc25700" 题型04“过点”切线条数的判断 PAGEREF _Tc25700 \h 3
\l "_Tc28997" 题型05 由切线条数求参 PAGEREF _Tc28997 \h 4
\l "_Tc26242" 题型06 公切线 PAGEREF _Tc26242 \h 4
\l "_Tc17116" 题型07 特殊构造：幂积型构造 PAGEREF _Tc17116 \h 5
\l "_Tc2703" 题型08 特殊构造：幂商型构造 PAGEREF _Tc2703 \h 6
\l "_Tc10850" 题型09 特殊构造：ex的积型构造 PAGEREF _Tc10850 \h 6
\l "_Tc32406" 题型10 特殊构造：ex的商型构造 PAGEREF _Tc32406 \h 7
\l "_Tc23969" 题型11特殊构造：对数型构造 PAGEREF _Tc23969 \h 8
\l "_Tc2430" 题型12特殊构造：正弦型构造 PAGEREF _Tc2430 \h 9
\l "_Tc22302" 题型13特殊构造：余弦型构造 PAGEREF _Tc22302 \h 10
\l "_Tc13829" 题型14复合型构造 PAGEREF _Tc13829 \h 11
\l "_Tc20392" 高考练场 PAGEREF _Tc20392 \h 12

题型01切线求参
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·重庆·高二校联考期中）若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．2或C．2D．1或

【典例1-2】(山东省烟台市2021-2022学年高三数学试题)已知曲线在点（0，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则实数a的值为（ ）
A．B．1C．2D．
【变式1-1】（河南省郑州市2021-2022学年高三考试数学（理科）试题）若曲线在点处的切线与直线平行，则___________.
【变式1-2】（河南省许昌市2021-2022学年高三数学文科试题）已知曲线在点处的切线方程为，则___________.
【变式1-3】已知函数，函数（且）的图象过定点，若曲线在处的切线经过点，则实数的值为______．
题型02 求“过点”型切线方程
【解题攻略】
【典例1-1】（2023下·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线方程 ．
【典例1-2】（2023下·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 .
【变式1-1】）（云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷二数学（理）试题）函数过原点的切线方程是_______.
【变式1-2】（2023春·河北邢台·高三统考）过点作曲线的切线，则该切线的斜率为（ ）
A．1B．C．D．
【变式1-3】（（天津市北京师范大学天津附属中学2022-2023学年高三线上检测数学试题））过点作曲线的切线，则切线方程是__________．
.
题型03“过点”切线求参
【典例1-1】（2023上·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期中）已知曲线过点处的切线与曲线相切，则
【典例1-2】（2023下·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）已知函数，过点作与轴平行的直线交函数的图象于点，过点作的切线交轴于点，则面积的最小值 .
【变式1-1】（2023·河北保定·统考二模）已知函数，过点且平行于轴的直线与曲线的交点为，曲线过点的切线交轴于点，则面积的最小值为（ ）
A．1B．C．D．
【变式1-2】（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知曲线，过点作该曲线的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．B．C．D．3
【变式1-3】.直线是曲线的切线，则______.
题型04“过点”切线条数的判断
【解题攻略】
【典例1-1】.（湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期数学试题）已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（ ）
A．1B．2C．3D．不确定
【典例1-2】已知曲线，则过点可向引切线，其切线条数为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（湖南省长沙市长郡中学2021届高三第一次暑假作业检测数学试题）已知函数，过点可作曲线切线的条数为
A．0B．1C．2D．3
【变式1-2】（2021-2022学年广东省东莞市高三数学A卷）已知函数，则过点（0，0）可作曲线的切线的条数为( )
A．3B．0C．1D．2
【变式1-3】（北京市北京理工大学附属中学通州校区2019-2020学年高三年级考试数学试题）已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）条.
A．0B．1C．2D．3
题型05 由切线条数求参
【典例1-1】若过点可作出曲线的三条切线，则实数的取值范围是___________
【典例1-2】（福建省福州华侨中学2023届高三上学期第二次考试数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围为__________．
【变式1-1】过点作曲线的切线，若切线有且只有两条，则实数的取值范围是___________.
【变式1-2】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数a的取值可能为（ ）
A．B．C．D．
题型06 公切线
【解题攻略】
【典例1-1】已知直线是函数与函数的公切线，若是直线与函数相切的切点，则____________．
【典例1-2】（2023春·高三课时练习）已知直线：既是曲线的切线，又是曲线的切线，则（ ）
A．0B．C．0或D．或
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）若直线是曲线的切线，也是的切线，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）曲线过点的切线也是曲线的切线，则 ；若此公切线恒在函数的图象上方，则a的取值范围是 .
【变式1-3】若曲线与曲线存在2条公共切线，则a的值是_________．
.
题型07 特殊构造：幂积型构造
【解题攻略】
【典例1-1】设定义在的函数的导函数为，且满足，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．

【典例1-2】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．

【变式1-1】已知定义在R上的偶函数，其导函数为．当时，恒有，若，则不等式的解集为
A．B．
C．D．

【变式1-2】.已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为( )
A．B．C．D．

【变式1-3】已知奇函数的导函数为，当时，，若，，则的大小关系正确的是
A．B．C．D．

题型08 特殊构造：幂商型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省宜春市奉新县第一中学2019-2020学年高三第一次月考数学试题）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f′（x）为f（x）的导函数，且满足当x＜0时，有xf′（x）﹣f（x）＜0，则不等式f（x）﹣xf（1）＞0的解集为（ ）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
【典例1-2】（2020届高三1月）》函数在定义域内恒满足，其中为导函数，则（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高三考试数学试题）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【变式1-2】（湖北省仙桃市汉江中学2018-2019学年高三试题）已知定义在上的函数的导函数为，若， 则不等式的解集为
A．B．C．D．
【变式1-3】（甘肃省张掖市第二中学2019-2020学年高三4月线上测试数学（理）试卷）已知定义在上的函数满足，其中是函数的导函数若，则实数m的取值范围为
A．B．C．D．
题型09 特殊构造：ex的积型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（江西省上饶中学2019-2020学年高三上学期第二次月考数学试题）已知函数是定义在上的可导函数，，且，则不等式的解集为
A．B．C．D．
【典例1-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考）设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023春·河南洛阳·高三统考）设是定义在上的函数的导函数，且．若（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数的导函数为，满足．当时，．当时，，且，其中是自然对数的底数．则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
题型10 特殊构造：ex的商型构造
【解题攻略】
【典例1-1】定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．

【典例1-2】已知在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为
A．B．C．D．

【变式1-1】已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】设函数f(x)的导函数为，f(0)=1，且,则的解集是
A．B．C．D．

【变式1-3】已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．

题型11特殊构造：对数型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2023·江西宜春·校联考模拟预测）已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）设函数是奇函数的导函数，时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）已知函数是奇函数的导函数，且满足时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）已知函数的定义域为，导函数为，不等式恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2022·广东梅州·统考二模）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
题型12特殊构造：正弦型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2023春·四川成都·高三阶段练习）记函数的导函数为，若为奇函数，且当时恒有成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【典例1-2】（2021·贵州遵义·高三遵义航天高级中学阶段练习）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2023春·重庆·高三统考）设是函数的导函数，当时，，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】（2021下·江西·高三校联考）已知是定义域为的奇函数的导函数，当时，都有，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
题型13特殊构造：余弦型构造
【解题攻略】
【典例1-1】（2020下·安徽六安·高二六安一中校考期中）设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，，有，若，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【典例1-2】（2020下·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知奇函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2020下·广西桂林·高二校考阶段练习）函数定义在上，是它的导函数，且在定义域内恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2020下·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且对于任意的，都有(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2021下·江苏·高二期中）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
题型14复合型构造
【典例1-1】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为
A．B．C．D．
【典例1-2】定义在上的偶函数的导函数为，若对任意的实数，都有恒成立，则使成立的实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】设函数时定义在上的奇函数，记其导函数为当时，恒成立，则关于的不等式的解集为
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数定义域为R，导函数为，满足下列条件：①任意，恒成立，②时，恒成立，则关于t的不等式：的解集为（ ）
A．B．C．D．
【变式1-3】已知函数，其中为自然对数的底数.若是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
高考练场
1.（湖南省永州市2022届高三下学期第三次适应性考试数学试题已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________．
2.过点作曲线的两条切线，则这两条切线的斜率之和为______.
3.（2022·全国·高三专题练习）过曲线上一点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为
A．B．
C．D．
4.（2023春·陕西宝鸡·高三统考）若过点可作曲线的两条切线，则点可以是（ ）
A．B．C．D．
5.已知直线是曲线与的公切线，则__________.
6.（内蒙古赤峰市、呼伦贝尔市等2022-2023学年高三上学期开学考试数学（文）试题）若直线是曲线与的公切线，则______.
7.（重庆大学城第一中学校2021-2022学年高三下学期第一次月考数学（理）试题）函数是定义在区间上可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为
A．B．
C．D．
8.是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记,,则（ ）
A．B．C．D．
9.（内蒙古赤峰二中2021-2022学年高三4月月考数学试题）已知定义在上的可导函数满足：，则与的大小关系是
A．B．C．D．不确定
10.定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是
A．B．C．D．
11.已知是定义在上的奇函数，是的导函数，且满足:则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
12.（贵州省遵义航天高级中学2018届高三第五次模拟考试数学试题）已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则
A．B．
C．D．
13.（2021下·江苏镇江·高三江苏省镇江第一中学校考）已知奇函数的定义域为，且是的导函数，若对任意，都有则满足的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．

14.（河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检数学（理）试题）已知函数的导函数为，若，则不等式的解集为
A．B．C．D．求曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程：
(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率．
(2)切线方程为：y＝y0＋f′(x0)(x－x0)．
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x) k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
1、设切点（或者给出了切点）：P(x0，y0)
2、y0=f(x0)
3、y＝f′(x) k=f′(x0)
4、切线方程：y-y0＝k(x－x0)
5、过（a,b）,代入y-y0＝k(x－x0)，得
“过点型”切线条数判断：
有几个切点横坐标，就有几条切线。
切线条数判断，转化为关于切点横坐标的新的函数零点个数判断。
交点处公切线，可以直接参照直线在点处的切线求法设交点（切点）
对函数，如果要求它们的图象的公切线，只需分别写出两条切线：
) 和
再令 ，消去一个变量后，再讨论得到的方程的根的个数即可。
但在这里需要注意 x1 和 x2 的范围，例如，若f（x）=lnx，则要求 x1>0
幂函数积形式构造：
1.对于构造
2.对于构造
幂函数商形式构造：
1.对于构造
2. 对于构造
ex函数积形式构造：
1.对于构造
2. 对于构造
ex函数商形式构造：
1.，
2.

1.
2.授课时，可以让学生写出y=ln（kx+b）与y=f(x)的加、减、乘、除各种结果
三角函数形式构造：
1.，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
三角函数形式构造：
1.，
2.
3.对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型