龙岗区 2024-2025 学年第一学期高三期末质量监测数学试卷及参考答案

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对于B， 当时，方程变换为，由，解得，所以的最大值为，故B正确；
对于C，当时，由可得，（当时取等号），，.故C正确；
对于D，当时，由可得，（当时取等号），，.又.故D错误；
另解：有对称性可知，只需要讨论即可，此时
变为，令，其中.
则.故(当取等号).

因为，故，，.
.
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD【解析】函数的定义域为
选项A.当时，，故在上为单调递增函数，由，，根据零点存在性定理，在上存在唯一的一个零点.故选项A错误.
选项B.由选项A知，当时，在上单调递增，无最小值，且，不合题意.
故.当时，，，
令，则，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
故时，有极小值，也是最小值.
，
由题意，，又，则，可得
所以（），则.选项B正确.
选项C. 由选项B知，（），，令，则，
在单调递减，在单调递增.
故，即的最小值为.选项C正确.
选项D.由选项B知，，且.
，由得，
令，，则，易知，故
由对数平均不等式得，得，即
由，故，故选项D正确.
12. 【答案】2；13.【答案】453；
14.【答案】【解析】不妨设，，，，
则，．
有，得，
故.解得，，
故，得，双曲线的离心率．
15.【解析】（1）由题意得：， （1分）
由正弦定理得：， （2分）
所以，
所以， （3分）
又，得，所以，即，（4分）
由，解得； （6分）
（2）由题意得：，故， （8分）
由得：，故（10分）
故解得 （11分）
由余弦定理得 （12分）
故 （13分）
16．【详解】（1）证明：由于底面ABCD是边长为2的正方形，则，
又，，平面PCD，平面PCD，则平面PCD，（2分）
则PD，又，，则
于是，即（4分）
由于，又，故（5分）
又，平面PBC，则平面PBC（6分）
（2）取CD中点为O，连结PO，取AB中点为E，连结OE．
因为，点O是CD中点，所以.
又因为平面PCD，故平面ABCD平面，又平面平面，平面PCD，所以平面ABCD．
因为点O、E分别是CD、AB的中点，所以，则.
则，（8分）
以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系
，
则，，，，，，，，，（10分）
设是平面PAB的一个法向量，
则，取，则，
所以是平面PAB的一个法向量（12分）
由（1）知，平面.故平面的法向量为. （13分）
设平面PBC与平面PAB所成角为，
所以平面PBC与平面PAB所成角的余弦值为. （15分）
17.【解析】（1）的所有可能取值为0，1，2，3 （1分）
，
，
，
（5分）
的分布列为
（6分）
（8分）
（2）设“第一天打乒乓球”，“第一天打羽毛球”，“第二天打乒乓球”，“第二天打羽毛球”，则，，，.（10分）
由题意得： （11分）
故 （12分）
可得 （13分）
易知，故是以为首项，为公比的等比数列.
所以，故 （15分）
18．【解析】（1）由题意得（2分）
解得（4分）
故椭圆的标准方程为．（5分）
（2）①设，
由得：，（6分）
有，且（7分）
所以
故为定值，定值为．（10分）
②设直线为，令，则，所以点坐标为．
同理点坐标为（12分）
根据对称性可知，如果以为直径的圆过定点，那定点一定在轴上． （13分）
设定点坐标为，则，即（14分）
由①知，故（15分）
解得或（16分）
故以为直径的圆过定点，定点坐标为和. （17分）
19.【解析】（1）, （1分）
当时，，在上单调递增 （2分）
当时，令，得.
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增. （4分）
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增. （5分）
（2）当时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增.
故，则，即，当时取等号. （6分）
当时，令，则，故. （7分）
故易得，，， （8分）
故， （9分）
所以当时，. （10分）
（3）解法1：由题意知时，恒成立，
令，则在恒成立，
故由可得.即当时，由于，显然不满足题意. （11分）
当时，，
只要证明即可. （12分）
令，
由(1)知，当时，，即，故（14分）
在上为增函数，又
当时，，为减函数；当时，，为增函数.
故， （16分）
即恒成立.综上所述，. （17分）
解法2：由题意知时，恒成立，
令，则在恒成立，
故由可得.即当时，由于，显然不满足题意. （11分）
当时，，
只要证明即可. （12分）
令，
（14分）
令，则
当时，，为减函数；当时，，为增函数.
故， （16分）
即恒成立.综上所述，. （17分）
解法3：由题意知时，恒成立，则.
令，.
， (12分)
令，
（14分）
当时，，为减函数；当时，，为增函数.
故， （15分）
令，得，且当时，，为减函数；
当时，，为增函数. （16分）
故，从而有.综上所述，. （17分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
D
A
A
B
B
C
D
ABC
ABD
BCD
0
1
2
3