2025届浙江省杭州市萧山区高三上联考（三）数学试卷（解析版）

这是一份2025届浙江省杭州市萧山区高三上联考（三）数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了 设集合，，则， 设，向量，，则是的， 已知，，则， 函数的图象大致为， 下列命题中正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】集合，则，
集合，则，
∴，
故选：D.
2. 设复数，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意，，
所以在复平面内对应点的坐标为.
故选：A
3. 设，向量，，则是的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时，向量，，
此时有，所以，故是充分条件；
当时，，解得，故不是必要条件；
所以是的充分不必要条件，
故选：B.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】两边平方得①，
又，故，两边平方得
②，
式子①+②得，，
故，故.
故选：C
5. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】由解析式，知的定义域为，
，
所以为奇函数，
当时，，，
则，
所以，在上，
结合各项函数图象，知：C选项满足要求.
故选：C
6. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】显然在上单调递减，
要想在R上单调递减，
则，解得.
故选：D
7. 已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成截面图形为（ ）
A. 六边形B. 五边形
C. 四边形D. 三角形
【答案】B
【解析】如图，
因为点、满足，
点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，
延长与交于点，连接交于，
延长交于点，连接交于，连接，
则五边形为所求截面图形.
故选：B．
8. 已知，若有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可知，若有两个零点，则有两个解，
等价于有两个解，因为，x>0，所以，
令，原式等价于有两个解，又在上单调递增，
所以有两个大于零的解.
解，可得，令，
则，当时，，当时，，
所以hx在上单调递增，在上单调递减，且，hx的图象如图：
所以当时，有两个交点，即有两个零点.
故选：A
二､多项选择题（本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知随机变量，则
B. 已知随机变量，
C. 数据，，，，，，10的第百分位数是
D. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，所以，
所以，故A正确；
对于B，因为随机变量，所以，故B正确；
对于C，因为，所以数据的第百分位数是，故C正确；
对于D，记样本甲，乙的平均数分别为，由甲乙组成的总体样本的平均数为，
则甲乙组成的总体样本的方差为，
故D不正确.
故选：ABC.
10. 已知曲线，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线表示两条直线
B. 若，则曲线是椭圆
C. 若，则曲线是双曲线
D. 若，则曲线的离心率为
【答案】ACD
【解析】由题意，曲线，，
若，则，此时曲线，表示两条直线，故A正确；
若，又，则，
曲线，可化为，
当时，则曲线表示圆，
当时，则曲线表示椭圆，故B错误；
若，又，则，则曲线表示双曲线，故C正确；
若，又，
所以，
则曲线为，
则曲线为等轴双曲线，离心率为，故D正确.
故选：ACD.
11. 在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（ ）
A. 正三棱台的高为
B. 正三棱台的体积为
C. 与平面所成角的正切值为1
D. 正三棱台外接球的表面积为
【答案】BCD
【解析】将正棱台补全为一个正棱锥，如下图示，
其中分别为上下底面的中心，为的中点，
易知，则为等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角，
所以，而，则，
根据棱台上下底面相似，知，即，
故，A错；
由，，
所以，B对；
由图知：为与平面所成角，则，C对；
若为正三棱台外接球的球心，则其半径，
即，
令，则，可得，
所以，故外接球表面积为，D对.
故选：BCD
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知为等差数列的前项和，若，则______.
【答案】
【解析】由数列前项和的性质可知：，即，
则.
故答案为：
13. 从数字，，，中随机取一个数字，第一次取到的数字为，再从数字，…，中随机取一个数字，则第二次取到数字为的概率是______.
【答案】
【解析】记事件为“第一次取到数字”， ，
事件B为“第二次取到的数字为”，
由题意知是两两互斥的事件，且（样本空间），

.
故答案为：.
14. 已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为______.
【答案】
【解析】由抛物线的光学性质知，直线与轴的交点为抛物线的焦点，
的焦点为，故与轴的交点横坐标为，
根据题意，画出草图，如下图所示，
令得，解得，又过焦点，
所以方程为：，
即，联立，
得，解得或，所以
∴的边上的高为，
又，
所以，
故答案为：.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 若锐角中，、、所对的边分别为、、，且的面积为
（1）求；
（2）求的取值范围.
解:（1）由余弦定理，，又三角形面积为，
则，又由题，则；
（2）由（1），，又为锐角三角形，
则.
由正弦定理： .
因在上单调递增，则时，.
则，
即.
16. 如图，在四面体中，，，，，M是的中点，是的中点，点在线段上，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
（1）证明：因为，且，
由余弦定理可得，
即，即，
所以，即，又，
且，平面，所以平面，
又，则，即，
以为原点，分别以为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
又M是的中点，则，是的中点，则，
且，则，则，
所以，因为平面，取为平面的一个法向量，
且，因为，所以，
则平面.
（2）解：由（1）可知，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则，解得，取，则，
则平面的一个法向量为，
设平面的法向量为n=a,b,c，
则，解得，取，则，
则平面的一个法向量为，
设二面角为，显然为锐角，
则.
所以二面角的余弦值为.
17. 已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到左焦点的距离的最小值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线与椭圆交于、两点，且，求△OMN面积的取值范围.
解：（1）依题意，设椭圆的标准方程为，半焦距为，
由椭圆的离心率为，得，则，
设，则，椭圆的左焦点，
则，
当且仅当时取等号，因此，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）当直线不垂直于坐标轴时，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，
由消去得，
则，
直线，同理，
则△OMN的面积
，令，，
当直线垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令，，
所以△OMN面积的取值范围是.
18. 已知函数，其中为常数.
（1）当时，试讨论的单调性；
（2）若函数有两个不相等的零点，，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
（1）解：由题设，且，
当时，在上，在上，在上，
所以，在、上单调递增，在上单调递减；
当时，在上恒成立，故在上单调递增；
当时，在上，在上，在上，
所以，在、上单调递增，在上单调递减.
（2）（i）解：由，
若时，，
令且，则，
所以时，时，
故在上递增，在上递减，则，
所以，
结合（1）中的单调性，易知不可能出现两个不相等的零点，
又时，在上只有一个零点，不满足，
所以，此时，在上，在上，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
又趋向于0或负无穷时，趋向正无穷，只需成立，
显然在上递减，且当时，
所以，时恒成立，即所求范围为；
（ii）证明：由（i），在时，存在两个不相等的零点，
不妨令，要证，即证，而，
由（i）知：在上单调递增，只需证，
由，则
令，且，
则
，
所以，在上，即在上递增，
所以，即成立，
所以，得证.
19. 已知数列是正整数的一个全排列，若对每个都有或，则称为数列
（1）列出所有数列情形；
（2）写出一个满足的数列的通项公式；
（3）在数列中，记，若数列是公差为的等差数列，求证：或.
（1）解：若，则或，
当，时，，，，此时为，
当，时，，，，此时为，
同理可得可能为：或或或
或或或或，
（2）解：若将记为的第一组数，
构造数列满足，
则对任意的，，
或，
当时， 符合要求，
，
.
综上所述： ，
同理可得若将记为的第一组数，则 ，，
（3）证明：为等差数列 .
且由或3，可得或，
且，
① 若 ，则，，不符题意，
② 若，则 ，，不符题意，
③ 若，则，
当时， ，不符题意，
当时， 或，
所以可以找到这样的使之成立(例如第 (2) 问中的结论)，
④ 若，则，可得，不符题意，
⑤ 若，则，
当时，，不符题意
当时，同③可以找到这样的使之成立 (例如第(2)问中的结论)
⑥ 若，则，，不符题意，
综上所述，若为等差数列，则或.