2023~2024学年江苏省苏州市高二上期末学业质量阳光指标调研数学试卷（解析版）

这是一份2023~2024学年江苏省苏州市高二上期末学业质量阳光指标调研数学试卷（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在平面直角坐标系中，直线：的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由化简得：，
所以直线的斜率为，为倾斜角，
所以直线的倾斜角为.
故选：A
2. 在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左焦点为，点在的右支上，关于的对称点为，则（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】由题可得.如图，设双曲线右焦点为，因与都关于原点中心对称，则，
后由双曲线的定义知.
故选：D

3. 若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A，，所以三个向量共面，故A错误，
对于B，，所以三个向量共面，故B错误，
对于C，假设三个向量共面，则存在非零实数，，满足，整理可得，因为，，不共面，所以，无解，所以假设不成立，则三个向量不共面，故C正确，
对于D，，所以三个向量共面，故D错误.
故选：C
4. 已知等比数列，若，，则（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】因是等比数列，设公比为，则由，因，则，
又由，代入解得，故.故选：A.
5. 在平面直角坐标系中，直线：被圆：截得的最短弦的长度为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】直线：过定点，圆：，圆心，半径,因为点在圆内，由圆的几何性质可知，当直线时，
弦长最短为，故选：C

6. 已知平面，其中，法向量，则下列各点不在平面内的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对A，，，
则该点不在平面内，A正确；
对B，，，
则该点在平面内，B错误；
对C，，,
则该点在平面内，C错误；
对D，,,
则该点在平面内，D错误；
故选：A
7. 在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（ ）
A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 拋物线
【答案】B
【解析】因为，所以点在圆内，
所以圆内切与圆，
由两圆内切的关系可知，，
从而，
所以点轨迹是以为焦点的椭圆.
故选：B.
8. 2020年7月23日，“天问一号”在中国文昌航天发射场发射升空，经过多次变轨后于2021年5月15日头现软着陆火星表面．如图，在同一平面内，火星轮廓近似看成以为圆心、为半径的圆，轨道Ⅰ是以为圆心、为半径的圆，着陆器从轨道Ⅰ的点变轨，进入椭圆形轨道Ⅱ后在点着陆．已知直线经过，，与圆交于另一点，与圆交于另一点，若恰为椭圆形轨道Ⅱ的上焦点，且，，则椭圆形轨道Ⅱ的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】法1：不妨设，，，
则，，，
所以，
所以①，
②，
联立①②解得，，所以椭圆离心率；
法2：，，设轨道Ⅱ的长轴和焦距分别为和，
，，
则，
，
，得：，
则，，
，得：，故.
故选：A.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 在平面直角坐标系中，已知曲线：，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则是椭圆B. 若，则是椭圆
C. 若，则是双曲线D. 若，则是双曲线
【答案】BC
【解析】当时，若，方程为，此时为圆，故A错误；
当时，方程化为，
因为，则，且，
符合椭圆方程的标准形式，故B正确；
若时，，
因为，则，符合双曲线的标准方程形式，故C正确；
若，令，方程化为，即，故D错误，
故选：BC.
10. 已知数列满足，（，，），设的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】AD
【解析】若，，则，，两式相减可得，
所以为周期2的周期数列，，，则，A正确；，B错误；
若，，则，因为，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，则，所以，C错误；
，D正确.
故选：AD.
11. 如图,在平行六面体中,已知,,为棱上一点，且，则（ ）
A.
B. 平面
C.
D. 直线与平面所成角为
【答案】ACD
【解析】法1：由，可知
，
所以，设，为中点，
则，因为四边形为菱形，所以，，
平面，平面，所以平面，
又平面，所以，A正确；
对于B，因为，所以，
所以
，
所以与不垂直，即与不垂直,所以与平面不垂直，B错误；
对于C，，
所以
，所以，C正确
对于D，选项A中已经证明平面，
所以直线与平面所成角即为直线与所成角的余角，，
而，，
所以，所以直线与所成角，
所以直线与平面所成角为，D正确.
故选：ACD
法2：由题意知：，
，
，则，
，故A正确，B错误；
，
则，C正确；
显然有，且，
又，
故，从而易得是平面的一个法向量，
，
设与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角为，D正确；
故选：ACD
12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，点，为上异于不同两点，故，的斜率分别为，，是的准线与轴的交点．若，则（ ）
A. 以为直径的圆与的准线相切B. 存在，，使得
C. 面积的最小值为D.
【答案】ABD
【解析】根据题意，，则焦点坐标为，准线为：，,
设，，则,解得：,
联立，则，
则，所以，
所以直线方程: ，，
则直线过焦点，故，则的中点到准线的距离为，故选项A正确；
所以，解得，
故存在,使得，故选项B正确；
到直线的距离为，
则，
当时等号成立，故选项C错误；
根据题意，
所以,
在和中，由正弦定理可得，
,,
即可得,故选项D正确.
故选:ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在平面直角坐标系中，已知菱形的边长为2，一个内角为60°，顶点，，，均在坐标轴上，以为焦点的椭圆经过，两点，请写出一个这样的的标准方程：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】如图，以菱形的对角线的交点为原点建立平面直角坐标系，
因为菱形的边长为2，一个内角为60°，
不妨取，
则为等边三角形，
故，
则椭圆的焦距，短轴长，
所以，
则长轴长，
所以，
所以此时椭圆的标准方程为.
故答案为：.（答案不唯一）
14. 在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为______．
【答案】
【解析】由抛物线的定义知，，
所以
所以，当点位于射线与抛物线交点时，取最大值.
故答案为：
15. 已知圆台的高为2，上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为4，，两点分别在圆、圆上，若向量与向量的夹角为60°，则直线与直线所成角的大小为______．
【答案】
【解析】法1：在上的投影向量为，故，
，
设直线与直线所成角为，
则，所以，
即直线与直线所成角的大小为.
法2：如图，，
则即为向量与向量的夹角，
所以，
所以为等边三角形，
设点在圆上的射影为，
则为中点，且，
所以即为与所成角的平面角，
，，
在中，
则，
即与所成角为.
法3：因为，
则即为向量与向量的夹角，
所以，
所以为等边三角形，
以为原点建系，则，，
故，
即直线与直线所成角的余弦值为，
所以直线与直线所成角的大小为．
16. 函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中为不超过实数的最大整数，例如：，．已知数列的通项公式为，设的前项和为，则使得的最大正整数的值为______．
【答案】59
【解析】，
，
故时，，共项
其和为，
，又时，，故，
因此，所求正整数的最大值为59.
故答案为：59
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，．
（1）设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程；
（2）求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程．
解：（1）因为为中点，，，所以．
因为四边形为平行四边形，所以，
由，，得，
所以．由知直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即所求直线的方程为．
（2）因为四边形为平行四边形，且，，，
设，由得解得，
又由得，且，
所以点为圆心，与直线相切的圆的标准方程为．
18. 已知数列的前项和为，且（）．
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
解：（1）令，得
因为（），所以（，），
两式相减得（，），
即．所以（，），
所以，即，
所以（，），
又，符合上式，所以（）．
（2）由（1），
所以．
19. 如图，在直三棱柱中，已知，，点，分别为线段，上的动点（不含端点），且，．
（1）求该直三棱柱的高；
（2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
解：（1）在直三棱柱中，因为，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图.
设（），，则，又，
所以可得，，，，，
所以，
因为，所以，所以,
解得：，即该直三棱柱的高为2．
（2）直三棱柱中，有平面，
又，由（1）知，,（），
所以
因，则当且仅当时，三棱锥的体积最大，此时点，分别为线段，的中点，
故有，，，所以，
设是平面的一个法向量，
则故可取，
又平面的一个法向量可取为，设平面与平面的夹角，易知为锐角，
故，
即平面与平面夹角的余弦值为．
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为．
（1）求的标准方程；
（2）若斜率为的直线（不过原点）交于，两点，点关于的对称点在上，求四边形的面积．
解：（1）由题意，
所以，
又因为，所以，，
所以的标准方程为．
（2）设直线：（），，，．
将代入：中，化简整理得，
于是有
所以
，
因为点关于的对称点为，所以解得
即
因为在上，所以，
解得．
又因为点到直线的距离，
所以由对称性得
第二问法2：设：，：，
则，
，，解得，则
代入：，得：，则
，则
故．
21. 已知数列满足，（）．
（1）求，及的通项公式；
（2）若数列满足且，（），记的前项和为，试求所有的正整数，使得成立．
解：（1）将代入，得，，
令，得，，
所以，又，从而，
所以，从而
（2）法一：由，又，，
所以是以2为首项、3为公比的等比数列，
所以，所以.
因为，所以．
因为
，
所以，即，
当时，无解；
当时，
因为，
所以当且仅当时，取最大值1，即的解为．
综上所述，满足题意的的值为2．
法二：，，，则，
故是首项为2，公比为3的等比数列，则，
，
，即，
即，
，即，
令，则，
时，，即，
时，，即，
时，，
故满足方程的正整数只有2，
即使得成立的正整数为2.
22. 如图,在平面直角坐标系中,已知双曲线：的右焦点为，左、右顶点分别为，，过且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于、两点，与的两条渐近线分别交于、两点（从左到右依次为、、、），记以为直径的圆为圆．
（1）当与圆相切时，求；
（2）求证：直线与直线的交点在圆内．
解：（1）法一：因为，所以．所以，
所以圆的半径．由题意知的斜率存在，
设：（）．
当与圆相切时，到的距离，
即，解得，
由得，即，
解得，，所以．
法2： ，得：，故：，
则，圆半径为1，
设：，则：，得：
联立，得，易得，
所以，
故，
则；
（2）法一：设，，
由得，
此时，，，解得，
且所以，
因为，，所以：，：，
联立，方程，消去得．
所以，
即，所以．
将代入方程得，即．
因为，所以
所以，即直线，的交点在圆内．
法二：设：，，，，
，易得，
则，，显然有，
故，，
则，
即，双曲线的渐近线斜率为，故，
所以，因此点在圆内.