辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

这是一份辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，二十六指出了三角形田面积算法，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知λ、μ∈R，下列可使非零向量a，b，c组成的集合{a,b,c}成为空间的一组基底的条件是( )
A. b=λcB. a，b，c两两垂直
C. a=λb+μcD. a+b+c=0
2.直线3x+2y+1=0与圆(x+1)2+(y-1)2=r2(r>0)的位置关系是( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 与r有关
3.在一个系统中，每一个部件能正常工作的概率称为部件的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度.现有甲、乙、丙3个部件组成的一个如图所示的系统，已知当甲正常工作，且乙、丙至少有一个能正常工作时，系统就能正常工作，其中甲部件的可靠度为0.9，乙、丙部件的可靠度均为0.7，而且甲、乙、丙互不影响，则系统的可靠度为( )
A. 0.441B. 0.63C. 0.819D. 0.9
4.抛物线y=4x2的准线方程是( )．
A. x=-116B. y=-116C. x=-1D. y=-1
5.某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有( )
A. 14种B. 16种C. 18种D. 20种
6.已知(ax-1 x)6的展开式中，常数项为135，则a的值为( )
A. 2B. 2或-2C. 3D. 3或-3
7.《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”.数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有( )
A. 48种B. 96种C. 102种D. 120种
8.已知抛物线E:x2=4y的焦点为F，圆C:x2+(y-1)2=16与抛物线E交于A，B两点，点P为劣弧AB上不同于A，B的一个动点，过点P作平行于y轴的直线l，直线l交抛物线E于点N，则△PFN周长的取值范围是( )
A. (7,9)B. (7,10)C. (8,10)D. (8,10]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.从6名女生和8名男生中任选5人去阳光敬老院参加志愿服务，用X表示所选5人中女生的人数，用Y表示所选5人中男生的人数，则下列结论正确的是( )
A. X~B(5,37)B. Y~H(14,5,8)C. E(X)< E(Y)D. E(X)+E(Y)=5
10.如果a，b分别是平面α，β的一个法向量，设α，β所成角的大小为θ，以a为方向向量的直线l与平面β所成角的大小为φ，则( )
A. sinθ=sinB. csθ=cs
C. csφ=sinD. sinφ=cs
11.已知点M是圆A:(x+2)2+y2=r2(r>0)上的动点，点B为(2,0)，线段BM的垂直平分线交直线MA于点P，点Q为(-1,2)，则下列结论正确的是( )
A. 若r=1，且圆C与圆A外切，与y轴相切，则点C的轨迹为抛物线
B. 若r=3，动点P的轨迹是双曲线的右支
C. 若r=4，D，E在圆A上运动，且∠DQE=90∘，F为线段DE的中点，则点F的轨迹是圆
D. 若r=8，动点P的轨迹是椭圆
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩X近似服从正态分布N(108,σ2)，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在108∼140之间的人数约为 ．
13.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦点分别为F1(0,-c)，F2(0,c)，过椭圆外一点P(0,3c)和右顶点M的直线交椭圆于另一点N，若MF1//NF2，则椭圆的离心率为 ．
14.有一种运算a◊b，三个互异的数a，b，c运算时可以有不同的运算方法，如(a◊b)◊c，a◊(b◊c)，(b◊a)◊c，b◊(a◊c)，(b◊c)◊a，b◊(c◊a)就是其中6种不同的运算方法.设n个互异的数的不同运算方法共有In种，则I3= ，I4= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知抛物线y2=-x与过点(-2,0)直线l相交于A，B两点，点O为坐标原点．
(1)求OA⋅OB的值;
(2)若△OAB的面积等于3，求直线l的一般方程．
16.(本小题15分)
若(2x-1)n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯+anxn.(n∈N*)
(1)求x2的系数a2;
(2)求|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|的值．
17.(本小题15分)
某中学计划举行力“拔”千钧，“河”作共赢——庆十一拔河比赛.共15个队抽签参加单淘汰制(赢得比赛就进入下一轮比赛，否则就被淘汰)比赛，赛程如下：周一八强赛(有一队轮空，直接进入下一轮比赛)，周二四强赛，周三半决赛，周四决赛．
(1)比赛共需进行多少场?
(2)假设各队实力相当(每场比赛参赛双方获胜的概率均为12)，设一号队参加比赛场数为X，
(ⅰ)求随机变量X的分布列和数学期望;
(ⅱ)求一号队在X=3的条件下获得冠军的概率．
18.(本小题17分)
如图，四边形ABCD是正方形，四边形AEPD是直角梯形且PD//EA，PD⊥CD，PD⊥AD，AD=PD=2EA=2，BP，BE，PC的中点分别为F，G，H
(1)画出过点F，G，H的截面(不必写出证明过程);
(2)求直线CE与平面FGH所成角的正弦值;
(3)若M是(1)中过点F，G，H的截面上一点，二面角M-PE-D的余弦值为 53，求满足题意的M点轨迹的长度．
19.(本小题17分)
已知F1(-2,0)，F(2,0)，动点P满足|PF1|-|PF|=2 2，
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设在P点处曲线C的切线为l:y=kx+m，若M，N为l上两点，且满足OF⋅MF=0，PF⋅NF=0．
(ⅰ)证明：N点在定直线上，并求出定直线方程;
(ⅱ)是否存在点P使tan∠PNF⋅tan∠PFM=2成立，若存在，求出P点横坐标;若不存在，请说明理由．
1.B
2.A
3.C
4.B
5.A
6.D
7.B
8.C
9.BCD
10.AC
11.ACD
12.900
13. 33
14.12；120
15.解：(1)设A(-y12,y1)，B(-y22,y2)
由题直线l与x轴重合不满足题意，
设直线l: x=my-2
y2=-xx=my-2得y2+my-2=0，显然△>0，
有y1+y2=-m，y1y2=-2
OA⋅OB=(-y12)(-y22)+y1y2=4-2=2
，
解得m=±1，
即直线l的方程x+y+2=0或x-y+2=0．
16.解：(1)第3项与第9项的二项式系数相等，则Cn2=Cn8，解得n=10，
(2x-1)10的展开式中x2项为：C108(2x)2(-1)8=180x2，
所以a2=180．
(2)由(1)知，(2x-1)10的展开式中，
当x=0时，a0=1，
因为a0，a2，a4，a6，a8，a10∈(0,+∞)，a1，a3，a5，a7，a9∈(-∞,0)，
所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|a10|=a0-a1+a2-a3+⋯+a10，
当x=-1时，a0-a1+a2-a3+⋯+a10=(-3)10=310，
所以|a1|+|a2|+|a3|+⋯+|an|=310-1．
17.解：(1)周一进行7场比赛，周二进行4场比赛，周三进行2场比赛，周四进行1场比赛，共进行14场比赛；
(2)(i)易知该队抽到轮空签的概率为115，
根据题意可知，X的取值范围是{1,2,3,4}，
P(X=1)=115×12+1415×12=12，
P(X=2)=115×12×12+1415×12×12=14，
P(X=3)=115×12×12+1415×12×12×12=215，
P(X=4)=1415×12×12×12=760，
因此X的分布列如下表所示
E(X)=1×12+2×14+3×215+4×760=2815;
(ii)设A:该队共进行了3场比赛，B:该队获得冠军．
P(A∩B)=115×12×12×12=1120，
因此P(A|B)=P(A∩B)P(B)=1120215=116．
18.解：(1)过点F，G，H的截面如图所示：
(2)因为PD⊥CD，PD⊥AD，AD⊥CD，
如图以DA方向为x轴正方向，以DC方向为y轴正方向，以DP方向为z轴正方向建立空间直角坐标系，
则E(2,0,1)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，B(2,2,0)，可得G(2,1,12)，F(1,1,1)，H(0,1,1)
设平面FGH的法向量为n=(x,y,z)，
FH=(-1,0,0)，FG=(1,0,-12)，则-x=0x-z2=0，所以n=(0,1,0)，
CE=(2,-2,1)，
设直线CE与平面FGH成角为θ，
所以sinθ=|cs|=n·CEnCE=23，
故直线CE与平面FGH所成角的正弦值为23;
(3)因为M是截面FGH上一点，设M(x0,1,z0)，
设平面MPE的法向量为m=(x,y,z)，EM=(x0-2,1,z0-1)，PE=(2,0,-1)，
则x(x0-2)+y+z(z0-1)=02x-z=0，令x=1，有m=(1,4-x0-2z0,2)，
且易知面PED法向量s=(0,1,0)，
由题二面角M-PE-D的余弦值为 53，有|4-x0-2z0| 5+(4-x0-2z0)2= 53，整理得4-x0-2z0=±52，
截面FGH辅图如下：
所以满足题意的M点轨迹为(32,0)，(0,34)之间的线段，长度为3 54．
19.解：(1)根据题意有|PF1|-|PF|=2 20，可知|PF1|>|PF|，因此P点横坐标大于零，
P点轨迹方程为C:x2-y2=2(x>0);
(2)(i)联立x2-y2=2y=kx+m，得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0，
因为l与曲线C相切，所以△=0，即k2m2+(1-k2)(m2+2)=m2+2-2k2=0，m2=2k2-2；
①此时P点坐标为(km1-k2,m1-k2)，设N(x0,kx0+m)，
FP=(km1-k2-2,m1-k2)，FN=(x0-2,kx0+m)，因为PF⋅NF=0，
(km1-k2-2)(x0-2)+(m1-k2)(kx0+m)=0，
(km-2+2k2)(x0-2)+kmx0+m2=0，又m2=2k2-2，
(km-2+2k2)(x0-2)+kmx0+2k2-2=0，整理得(2km-2+2k2)(x0-1)=0，
所以x0=1，N点在定直线x=1上；
(ii)由(2)N(1,k+m)，kFN=-k-m=tan∠PFM，
因为PF⊥NF，所以∠PFM=∠OFN，
tan∠PNF=k+k+m1-k(k+m)，
tan∠PNF⋅tan∠PFM=|k+k+m1-k(k+m)|(-k-m)=2k2+3km+m2k2+km-1=2k2+3km+m2k2+km-(k2-m22)=4k2+6km+2m22km+m2=4(km)2+6km+22km+1 =|2km+2|=2
解得：km=0或km=-2，又因为k=0，不符合题意，所以km=0(舍)，
联立m2=2k2-2k=-2m，解得k2=87．
P点横坐标km1-k2=-k221-k2=-47-17=4，
存在点P使tan∠PNF⋅tan∠PFM=2成立，此时P点横坐标为4． X
1
2
3
4
P
12
14
215
760