高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.4* 数学归纳法习题，共27页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc185272466" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc185272466 \h 2
\l "_Tc185272467" 题型一：对数学归纳法的理解 PAGEREF _Tc185272467 \h 2
\l "_Tc185272468" 题型二：数学归纳法中的增项问题 PAGEREF _Tc185272468 \h 3
\l "_Tc185272469" 题型三：证明恒等式 PAGEREF _Tc185272469 \h 4
\l "_Tc185272470" 题型四：证明不等式 PAGEREF _Tc185272470 \h 6
\l "_Tc185272471" 题型五：归纳—猜想—证明 PAGEREF _Tc185272471 \h 9
\l "_Tc185272472" 题型六：用数学归纳法证明整除性问题 PAGEREF _Tc185272472 \h 10
\l "_Tc185272473" 题型七：用数学归纳法证明几何问题 PAGEREF _Tc185272473 \h 11
\l "_Tc185272474" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc185272474 \h 13
\l "_Tc185272475" 【高考真题】 PAGEREF _Tc185272475 \h 22
【题型归纳】
题型一：对数学归纳法的理解
2．（2024·高二·全国·课前预习）对于不等式，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当时，左边，右边，不等式成立.
（2）假设当（且）时，不等式成立，即，
那么当时，，
所以当时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确B．验证不正确
C．归纳假设不正确D．从到的推理不正确
【答案】D
【解析】在时，没有应用时的归纳假设，不是数学归纳法.
故选：D.
4．（2024·高二·全国·课后作业）已知命题及其证明：
（1）当时，左边，右边，所以等式成立．
（2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立．
由（1）（2）知，对任意的正整数命题都成立．判断以上评述（ ）
A．命题、证明都正确B．命题正确、证明不正确
C．命题不正确、证明正确D．命题、证明都不正确
【答案】B
【解析】证明不正确，错在证明当时，没有用到假设时的结论．
由等比数列求和公式知,命题正确.
故选：B．
9．（2024·高二·新疆伊犁·期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由题意，，
即从起连续项正整数之和.
则为从起连续3个正整数之和，
故第一步应证明.
故选：B.
10．（2024·高二·上海·专题练习）用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（ ）
A．1B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，
当时，左边，故C正确.
故选：C.
题型二：数学归纳法中的增项问题
18．（2024·高二·浙江杭州·期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项B．项C．项D．项
【答案】D
【解析】因为，
所以，共项，
则共项，
所以比共增加了项，
故选：D
19．（2024·高二·河南驻马店·期中）用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据数学归纳法可知：
当时，
当时，
相比从到，可知多增加的项为
故选：D
20．（2024·高二·浙江嘉兴·期中）用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】根据数学归纳法的推导可得，当时，当时.
左边增加的代数式是.
故选：A
题型三：证明恒等式
25．（2024·高二·全国·随堂练习）求凸n边形的对角线的条数．
【解析】因为三角形没有对角线，即；四边形有2条对角线，即；五边形有5条对角线，即；
猜想，下面利用数学归纳法证明：
（1）当时，，命题成立；
（2）假设当时命题成立，即凸k边形的对角线的条数；
当时，边形时在k边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点，
则增加的对角线是顶点与不相邻顶点连线再加上原k边形的一边，增加的对角线条数为，
所以，
可知：当时，命题成立，所以猜想正确；
综上所述：凸n边形的对角线的条数.
22．是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由．
【解析】存在．将，分别代入等式，得，
即，所以或.
猜测对一切正整数都成立．
证明：（1）当时，显然成立；
（2）假设时，成立；
则当时，
左边
右边，所以时，等式也成立．
综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立．
30．（2024·高二·全国·课后作业）用数学归纳法证明：
(1)；
(2)．
【解析】（1）证明：记，
当时，则有，等式成立，
假设当，等式成立，即，
则，
这说明当时，等式成立，
故对任意的，.
（2）证明：设，
当时，，等式成立，
假设当时，等式成立，
即，
所以，
，
这说明当时，等式成立，
所以，对任意的，.
31．（2024·高二·上海·课后作业）用数学归纳法证明（为正整数）．
【解析】设．
①当时，左边，右边，等式成立；
②设当时等式成立，即，
则当时，
．
由①②可知当时等式都成立．
题型四：证明不等式
38．数列满足且
(1)用数学归纳法证明：；
(2)已知不等式对成立，证明：，其中无理数….
【解析】（1）证明：将代入可得，
①当时，，满足，
②假设当时满足，
③当时，有
成立，
故得证；
（2）证明：由（1）知，
，
两边取对数可得：
，
，
，
，
，
将上式相加可得：
，
，
，
，
得证.
42．（2024·高三·全国·专题练习）若数列的通项公式为，，证明：对任意的，不等式成立.
【解析】证明：由于，故.
所证不等式为.
（1）当时，左式，右式，左式>右式，结论成立.
（2）假设当时结论成立，
即，则当时，
，
要证时结论成立，只需证，即证.
由基本不等式知成立.
故成立，所以当时，结论成立.
由（1）（2）可知，对任意的时，不等式成立.
43．（2024·高二·全国·课后作业）证明不等式1＋＋＋…＋