选择性必修 第二册4.2 等差数列同步训练题

这是一份选择性必修 第二册4.2 等差数列同步训练题，共29页。
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc185180979" 【题型归纳】 PAGEREF _Tc185180979 \h 2
\l "_Tc185180980" 题型一：等差数列前项和的有关计算 PAGEREF _Tc185180980 \h 2
\l "_Tc185180981" 题型二：等差数列前项和的比值问题 PAGEREF _Tc185180981 \h 3
\l "_Tc185180982" 题型三：等差数列前项和的性质 PAGEREF _Tc185180982 \h 4
\l "_Tc185180983" 题型四：等差数列前项和的最值问题 PAGEREF _Tc185180983 \h 5
\l "_Tc185180984" 题型五：求数列的前项和 PAGEREF _Tc185180984 \h 7
\l "_Tc185180985" 题型六：等差数列前n项和公式的实际应用 PAGEREF _Tc185180985 \h 9
\l "_Tc185180986" 题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列 PAGEREF _Tc185180986 \h 11
\l "_Tc185180987" 题型八：等差数列片段和的性质 PAGEREF _Tc185180987 \h 12
\l "_Tc185180988" 题型九：等差数列的奇数项与偶数项和 PAGEREF _Tc185180988 \h 13
\l "_Tc185180989" 【重难点集训】 PAGEREF _Tc185180989 \h 14
\l "_Tc185180990" 【高考真题】 PAGEREF _Tc185180990 \h 27
【题型归纳】
题型一：等差数列前项和的有关计算
1．（2024·高二·广西南宁·阶段练习）等差数列中，已知，则该数列的前9项和为（ ）
A．54B．63C．66D．72
【答案】A
【解析】由等差数列的性质可知，有，
故前9项的和为.
故选：A.
2．（2024·高二·全国·课后作业）设是等差数列的前n项和，已知，，则等于（ ）
A．13B．35C．49D．63
【答案】D
【解析】∵为等差数列，∴，
∴.
故选：D.
3．（2024·高二·福建·期中）已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A．880B．220C．110D．440
【答案】D
【解析】因为，所以，
故，
故选：D.
4．（2024·高二·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（ ）
A．5050B．10010C．10100D．11000
【答案】C
【解析】∵，
∴，解得，
所以.
故选：C.
5．（2024·高三·广西南宁·阶段练习）已知递增的等差数列的前项和为，则（ ）
A．70B．80C．90D．100
【答案】D
【解析】设等差数列的公差为d，
则由题得，解得，
所以.
故选：D.
题型二：等差数列前项和的比值问题
6．（2024·高三·全国·专题练习）在等差数列中，，其前项和为，若，则 .
【答案】
【解析】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．
因为，所以的公差为，又，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
故答案为：
7．（2024·高二·湖南常德·阶段练习）等差数列的前项和分别为，已知，则的值为
【答案】
【解析】由等差数列性质可得，
同理可得，
所以，由可得；
因此.
故答案为：
8．（2024·高二·安徽安庆·期中）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则 ．
【答案】
【解析】由题意知，，，，
∴.
故答案为：．
9．（2024·高二·四川成都·阶段练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于
【答案】
【解析】根两个等差数列和的前项和分别为、，且，
所以.
故答案为：.
题型三：等差数列前项和的性质
10．（2024·陕西·模拟预测）在等差数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A．18B．12C．10D．9
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，则，
所以，
所以．
故选：A．
11．（2024·山西临汾·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．28B．34C．40D．44
【答案】D
【解析】因为，
所以由，可得
所以，
所以，
故选：D
12．（2024·西藏林芝·一模）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据等差数列公式及性质可得，
所以，
所以.
故选：D
13．（2024·江西吉安·模拟预测）等差数列前项和为，，则（ ）
A．32B．42C．52D．62
【答案】C
【解析】先求出，再利用可求的值.等差数列中，∴.
从而，，
故选：C.
题型四：等差数列前项和的最值问题
14．（2024·高二·全国·课后作业）在等差数列中，，公差，，前n项和为，若取得最大值，则 .
【答案】7或8
【解析】在等差数列{an}中，，公差，
因为，所以，则，
所以，
当或8时，取得最大值.
故答案为：7或8
15．（2024·高二·福建·期中）若等差数列满足，，则当 时，的前项和最小.
【答案】18
【解析】由，所以，
又，所以，所以当时，的前项和最小.
故答案为：18
16．（2024·高二·全国·课后作业）已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
由可得，即，
又，解得，
即该数列为递减的等差数列，其通项公式为，
则当满足时，取得最大值，
即，解得，
即当或时，的最大值为．
故答案为：.
17．（2024·高二·吉林延边·期中）已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的个数是（ ）
（1） （2） （3） （4）的最小值为
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】因为①，
所以②，且，
①②两式相减得：，满足上式，
所以，所以（1）正确；
因为 ，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以（2）错误；
因为，
，
所以，所以（3）正确；
因为，
下面考察函数的图像（如图所示），
可知函数有最低点且在时取最小值，
由于，，所以当或者取得最小值，
即，所以（4）正确.
综上得，（1）（3）（4）正确.
故选：C.
题型五：求数列的前项和
18．（2024·高三·河北衡水·开学考试）已知为数列的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）因为，且，
当时，，
得，
整理得：，
所以为首项是，公差为的等差数列，
所以.
（2）由，所以当时，，当时，；
所以当，，
当时，，
而，
所以.
19．（2024·高二·辽宁丹东·阶段练习）已知等差数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【解析】（1）时，，
时，，
又，
所以；
（2）由（1），
当时，，
当时，
，
.
20．（2024·高二·河南南阳·期中）已知数列的前项和．
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）因为，
所以时，，
当时，适合上式，
故，
所以时，，
故数列是以为首项，以2为公差的等差数列；
（2），
当时，，
则
当时，
，
故.
题型六：等差数列前n项和公式的实际应用
21．（2024·高三·广东佛山·阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？现有一个相关的问题：将到这个自然数中被除余且被除余的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数为 ．
【答案】
【解析】由题知，满足上述条件的数列为，
该数列为首项是，公差为的等差数列，
则，
解得，故该数列的项数为.
故答案为：
22．（2024·高二·江苏徐州·阶段练习）《张邱建算经》记载：今有女子不善织布，逐日织布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织布 尺．
【答案】90
【解析】每日织布数可看作等差数列，其中，
故30天共织布尺.
故答案为：90
23．（2024·高二·河南平顶山·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述了如图所示的形状，后人称为“三角垛”.三角垛的最上层（即第一层）有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，从第二层开始，每层球数与上一层球数之差依次构成等差数列.现有60个篮球，把它们堆放成一个三角垛，那么剩余篮球的个数最少为 .

【答案】
【解析】设第层有和球，则，，，，，
所以当时，
，
当时，也适合上式，
故，
所以这层三角垛的球数之和为
，
因为，所以单调递增，
当时，，剩余球数为个，
当时，，
所以剩余球数的最小值为个.
故答案为：.
24．（2024·高二·安徽·期末）公元前1800年，古埃及的“加罕纸草书”上有这样一个问题：将100德本（德本是古埃及的重量单位）的食物分成10份，第一份最大，从第二份开始，每份比前一份少德本，求各份的大小.在这个问题中，最小的一份是 德本.
【答案】
【解析】由题意得，将份数从小到大构成等差数列，且，，，
∴，解得.
故答案为：
题型七：由等差数列的前n项和判断等差数列
25．（2024·高二·江苏苏州·期中）已知数列的前项的和为，且，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A．数列是等差数列B．对任意的自然数都有
C．是等差数列D．是等差数列
【答案】D
【解析】由求出，利用等差数列的定义，即可判断A；知求，有公式，即可判断B；对C，只需求出每一项，用等差数列定义判断即可；由求出，即可判断D．当时，；
当时，，不满足上式．
所以，故A、B错误；
因为；；
；，
所以；；，
因为，故C错误；
对D，因为，而当时，，
故，所以D正确．
故选：D
26．（2024·高一·安徽合肥·阶段练习）已知数列的前n项和
求数列的通项公式；
求证：数列是等差数列．
【解析】当时，，
当时，，满足，
即数列的通项公式．
证明：，
当时，为常数，
则数列是等差数列．
27．（2024·高二·浙江嘉兴·期末）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，.
(1)证明：数列是等差数列；
【解析】（1））当时，，得，
当时，，
又，两式相减得，，
整理得，
∵，∴，
∴数列是首项为1，公差为的等差数列.
题型八：等差数列片段和的性质
28．（2024·高二·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（ ）
A．7B．8C．9D．12
【答案】C
【解析】因为数列是等差数列，且，，
所以根据等差数列前项和的性质可得成等差数列，
所以，所以，解得．
故选：C.
29．（2024·高二·云南大理·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．34B．39C．42D．45
【答案】B
【解析】由成等差数列，
则，即，故.
故选：B
30．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（ ）
A．16B．12C．10D．8
【答案】B
【解析】由，得①，
因为，，
所以，即②，
①②两式相加，得，即，
所以，所以，解得.
故选：B.
31．（2024·高二·山东潍坊·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．54B．63C．72D．135
【答案】B
【解析】因为是等差数列，所以，，为等差数列，
即成等差数列，
所以，解得.
故选：B
题型九：等差数列的奇数项与偶数项和
32．（2024·重庆·二模）已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，首项为，
则，所以，
因为，即，则，
等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，
所以.
故选：B
33．（2024·高二·湖北·阶段练习）已知数列满足.
(1)记，写出，并求数列的通项公式；
(2)求的前100项和.
【解析】（1）由题意知：，又且，
所以，，
所以，所以，
因为，所以，
所以数列是以0为首项，以为公差的等差数列，
所以.
（2）当为奇数时，为偶数，则，
两式相减得：，
因为，所以，
当为偶数时，为奇数，则，
两式相减得：，
因为，所以，所以；
所以
.
34．（2024·高二·陕西榆林·期末）已知数列满足，，记.
(1)求，；
(2)求证：数列是等差数列；
(3)求数列的前项和.
【解析】（1），；
（2），所以数列是首项为19，公差为的等差数列；
（3）.
【重难点集训】
1．已知数列，，，且则数列的前项之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当为奇数时，，，
所以数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列；
当为偶数时，，，
所以数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列.
所以，数列的前项和为：
.
故选：B.
2．已知数列的前项和为，且，则的值为（ ）
A．300B．C．210D．
【答案】A
【解析】若为奇数，则是偶数，是奇数，
则 ， ①
， ②
①②得：，
所以的奇数项是首项为 ，公差为3的等差数列；
所以
.
故选:A.
3．已知若数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知
．
故选：D．
4．我们把各项均为0或1的数列称为数列，数列在计算机科学和信息技术领域有着广泛的应用．把佩尔数列（，，，）中的奇数换成0，偶数换成1，得到数列．记的前n项和为，则（ ）
A．16B．12C．10D．8
【答案】C
【解析】因为，，，，
所以，
，
，
，
，
，…，
可以看出数列的前20项为，
故.
故选：C.
5．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取该数列的项：第一次取1；第二次取2个连续的偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续的偶数10，12，14，16；第五次取5个连续的奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19…则这个数列中第2023个数是（ ）
A．3978B．3980C．3982D．3984
【答案】C
【解析】由题意可得：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，
前n次共取了个数，且第n次的最后一个数为，
当时，，故到第63次取时取了63个奇数，且前63次共取了2016个数，即第2016个数为，
∴时，依次为，
∴第2023个数为3982.
故选：C.
6．已知函数，且，则等于
A．-2014B．2014C．2019D．-2019
【答案】D
【解析】若 是奇数，则构成等差数列，
则公差 则前1009个奇数项的和
若是偶数，则 也构成等差数列，则，公差 则前1008个偶数项和
则 ，
故选：D．
7．若为等差数列，为的前项和，，，则当（ ）时 取最大值.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为若为等差数列，为的前项和，则，
因为，则，故，
设等差数列的公差为，则，即数列为递减数列，
故当时，，当时，，
所以，当时，取最大值.
故选：B.
8．已知等差数列的前和为，，则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【解析】在中取得，故，所以.
故选：A.
9．（河南省安阳市第一中学2024-2025学年高二上学期阶段二考试数学试题）（多选题）若等差数列的公差为，首项为，其前项和为，，其中，，，，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．中的最大项为D．中的不同数值有个
【答案】ACD
【解析】对于选项A：因为，可知.
则，可得，即，故A正确；
对于选项B：因为，可知等差数列为递减数列，
且，所以，故B错误；
对于选项C：可知，
根据的符号可知：，
当时，均为正数，且最大，最小，可知中的最大项为，且为正数；
当时，；
综上所述：中的最大项为，故C正确；
对于选项D：因为，
同理可得：，
可知当时，中的不同数值有10个；
当时，由选项C可知每个值均不同，共有81个；
综上所述：中的不同数值有个，故D正确；
故选：ACD.
10．（湖南省部分学校2024-2025学年高二上学期12月期中联考数学试题）（多选题）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．等差数列为单调递增数列
B．数列是递增数列
C．有最小值
D．存在正整数，当时，总有
【答案】ACD
【解析】设等差数列的公差为，则，
对于A选项，，则等差数列为单调递增数列，A对；
对于B选项，不妨取，则,
此时，数列不单调，B错；
对于C选项，若，则对任意的，，则，
所以，数列为单调递增数列，则的最小值为；
若，由，可得，
不妨取（其中为不超过的最大整数），
则当时，，当时，，
此时，为的最小项，
综上所述，的最小值，C对；
对于D选项，若，不妨取，则当时，，即；
若，由，可得，
取，当时，，
所以，存在正整数，当时，总有，D对.
故选：ACD.
11．（江苏省南京、镇江、徐州等十校联盟2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题）（多选题）记等差数列的前项和为，数列的前项和为.已知当且仅当时，取得最大值，则（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当或14时，取得最大值
D．若，则当或14时，取得最大值
【答案】ACD
【解析】等差数列中，当且仅当时，取得最大值可得数列为递减数列；
且当时，，当时，；
对于A，若，即可得，所以；
则，即有，
，，
以此类推可知，，
则当时，把数列中所有的非负数全部加完，取得最大值，即A正确；
对于B，若，即可得，则，
即有，
，；
以此类推可知，，
则当时，把数列中所有的非负数全部加完，取得最大值，即B错误；
对于C，若，即可得，所以；
则，即有，
，，
以此类推可知，，
则当或14时，把数列中所有的非负数全部加完，，取得最大值，即C正确；
对于D，若，可得，
由于，可得，
即，
，，
以此类推可知，，
则当或14时，把数列中所有的非负数全部加完，取得最大值，即D正确；
故选：ACD
12．设数列的前项和是，如果它的前项和，那么
【答案】
【解析】当时，，
当时，，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
13．已知数列满足，且，则 ；记的前项和为，则 .
【答案】
【解析】因为， 且，
则，，，
，，，
所以，
且是以为首项，为公差的等差数列，
是以为首项，为公差的等差数列，
是以为首相，为公差的等差数列，
则
.
故答案为：；
14．已知数列满足，在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前项和，则的值为 .
【答案】164
【解析】由题意得，，，，，，
其中，之间插入2个2，，之间插入4个2，，之间插入8个2，，之间插入16个2，，之间插入32个2，，之间插入64个2，
由于，，故数列的前70项含有的前6项和64个2，
故.
故答案为：164.
15．数列，，c的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为，则，
可知数列为等差数列，
则，解得，
所以c的取值范围为.
故答案为：.
16．已知等差数列中， ，
(1)求的通项公式.
(2)求数列的前项和，并求的最大值.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，解得，
所以，
所以；
（2）由（1），，
所以当或时，取最大值，最大值为.
所以，的最大值为.
17．设为等差数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最小值及此时的值.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，
所以，当时，取最小值.
18．已知在数列中，，记，，，若对于任意，，，构成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【解析】（1）根据题意成等差数列，∴；
整理得，
∴数列是首项为，公差为2的等差数列．
∴．
（2）由（1）知，
则，记数列的前项和为，
当时，；
当时，，
所以，
综上：.
19．已知数列的前项和为，且
(1)求数列的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为.求.
(3)在（2）条件下若都有不等式恒成立，求的取值范围.
【解析】（1）因为①，
当时可得，即.
当时，②
由①-②得，即，
即是以1为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）因为，
所以，
，
两式相得，，
即，
则，
故.
（3）由（2）知，
所以有，
即，
依题意，不等式恒成立，
因为随着n增大而减小，所以，
即的取值范围为.
20．在等差数列中，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和的最小值.
【解析】（1）因为，即，
又因为，可得，即，
则，可得，
所以数列的通项公式.
（2）令，解得，
可知当时，；当时，；
所以数列的前项和的最小值为.
21．记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）因为，
令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
22．设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【解析】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
23．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．
【解析】（1）设等差数列的公差为，而，
则，
于是，解得，，
所以数列的通项公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
当为偶数时，，
，
当时，，因此，
当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
方法2：由（1）知，，，
当为偶数时，，
当时，，因此，
当为奇数时，若，则
，显然满足上式，因此当为奇数时，，
当时，，因此，
所以当时，.
【高考真题】
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
【答案】95
【解析】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，
则.
故答案为：.
2．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则.
故选：D
3．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，则，
则等差数列的公差，故.
故选：B.
4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【解析】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
5．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C